平行四边形的性质与判定.docx

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平行四边形的性质与判定

平行四边形性质与判定检测题

一．选择题

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：

①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC．

其中正确结论的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

2．如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（　　）

A．

B．2C．2

D．4

3．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（　　）

A．22B．20C．22或20D．18

4．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6B．12C．18D．24

5．如果▱ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC的长是（　　）

A．5cmB．15cmC．6cmD．16cm

6．如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（　　）

A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE

7．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=

，AC=2，BD=4，则AE的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

8如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（　　）

A．14　　　　　　B．13　　　　　　C．12　　　　　　D．10

9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　　）

A．AB=CDB．BC∥ADC．∠A=∠CD．BC=AD

10．在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等

B．一组对边平行且相等

C．两组对边分别平行

D．对角线互相平分

11．如图，点E，F是□ABCD对角线上两点，在条件①DE=BF；②∠ADE=∠CBF；③AF=CE；④∠AEB=∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

12．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB∥CD，AD∥BCD．AB=CD，AD=BC

13．如图，▱ABCD中，过对角线BD上一点作EF∥BC，GH∥AB，图中面积相等的平行四边形有（　　）对．

A．2对B．3对C．4对D．5对

二．填空题

14．平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为　　．

15

16．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为4，▱ABCD的周长为28，则BC的长度为　　．

17．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则　　秒后四边形ABQP为平行四边形．

18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：

　　，使得四边形AECF为平行四边形（图中不再添加点和线）．

19．如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，3），B（2，1），直角坐标系中存在点C，使得点O，A，B，C四点构成平行四边形，则C点坐标为　　．

20.在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在平面直角坐标系内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是　　．

21．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=　　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

22．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，4），C（2，0），请直接写出以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标　　．

三．解答题

23．（2017秋•肇源县期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．

（1）求证：

△ABC≌△EAD；

（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．

24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．

（1）试说明△PCM≌△QDM．

（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？

并说明理由．

25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．

（1）用含t的代数式表示：

AP=　　；DP=　　；BQ=　　；CQ=　　．

（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？

（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

26．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：

∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）试说明AC=EF；

（2）求证：

四边形ADFE是平行四边形．

2018年04月02日150****2581的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

1．（2017•泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：

①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC．

其中正确结论的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．

【解答】证明：

∵BC=EC，

∴∠CEB=∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠CEB=∠EBF，

∴∠CBE=∠EBF，

∴①BE平分∠CBF，正确；

∵BC=EC，CF⊥BE，

∴∠ECF=∠BCF，

∴②CF平分∠DCB，正确；

∵DC∥AB，

∴∠DCF=∠CFB，

∵∠ECF=∠BCF，

∴∠CFB=∠BCF，

∴BF=BC，

∴③正确；

∵FB=BC，CF⊥BE，

∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，

∴PF=PC，故④正确．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．

2．（2017•丽水）如图，在▱ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（　　）

A．

B．2C．2

D．4

【分析】证出△ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD，即可得出BC的长．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，

∴AC=CD=2，∠ACD=90°，

即△ACD是等腰直角三角形，

∴BC=AD=

=2

；

故选：

C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ACD是等腰直角三角形是解决问题的关键．

3．（2017•黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（　　）

A．22B．20C．22或20D．18

【分析】根据AE平分∠BAD及AD∥BC可得出AB=BE，BC=BE+EC，从而根据AB、AD的长可求出平行四边形的周长．

【解答】解：

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，BC=BE+EC，

①当BE=3，EC=4时，

平行四边形ABCD的周长为：

2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．

②当BE=4，EC=3时，

平行四边形ABCD的周长为：

2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．

故选：

C．

【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定；根据题意判断出AB=BE是解答本题的关键．

4．（2017•贵阳）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6B．12C．18D．24

【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB，AD=BC，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB，AD=BC，

∵AC的垂直平分线交AD于点E，

∴AE=CE，

∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，

∴▱ABCD的周长=2×6=12；

故选：

B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

5．（2017秋•杜尔伯特县期末）如果▱ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC的长是（　　）

A．5cmB．15cmC．6cmD．16cm

【分析】直接利用平行四边形的对边相等，进而得出AB+BC的值即可得出答案．

【解答】解：

如图所示：

∵▱ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，

∴AB+BC=20cm，

∴AC=25﹣20=5（cm）．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确掌握平行四边形对边关系是解题关键．

6．（2017•威海）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（　　）

A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE

【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AH∥BG，AD=BC，

∴∠H=∠HBG，

∵∠HBG=∠HBA，

∴∠H=∠HBA，

∴AH=AB，同理可证BG=AB，

∴AH=BG，∵AD=BC，

∴DH=CG，故C正确，

∵AH=AB，∠OAH=∠OAB，

∴OH=OB，故A正确，

∵DF∥AB，

∴∠DFH=∠ABH，

∵∠H=∠ABH，

∴∠H=∠DFH，

∴DF=DH，同理可证EC=CG，

∵DH=CG，

∴DF=CE，故B正确，

无法证明AE=AB，

故选：

D．

【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

7．（2017•青岛）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB=

，AC=2，BD=4，则AE的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以平行四边形ABCD的面积即可求出．

【解答】解：

∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=

AC=1，BO=

BD=2，

∵AB=

，

∴AB2+AO2=BO2，

∴∠BAC=90°，

∵在Rt△BAC中，BC=

=

=

S△BAC=

×AB×AC=

×BC×AE，

∴

×2=

AE，

∴AE=

，

故选：

D．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．

8．（2017•肥城市二模）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG=4

，则△CEF的面积是（　　）

A．

B．2

C．3

D．4

【分析】首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，证明△ABE∽△FCE，再分别求出△ABE的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即可得到答案．

【解答】解：

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE；

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，

∴AB=BE=6，

∵BG⊥AE，垂足为G，

∴AE=2AG．

在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=4

，

∴AG═2，

∴AE=2AG=4；

∴S△ABE=

AE•BG=

×4×4

=8

．

∵BE=6，BC=AD=9，

∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，

∴BE：

CE=6：

3=2：

1．

∵AB∥FC，

∴△ABE∽△FCE，

∴S△ABE：

S△CEF=（BE：

CE）2=4：

1，

则S△CEF=

S△ABE=2

．

故选：

B．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．

9．（2017•衡阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　　）

A．AB=CDB．BC∥ADC．∠A=∠CD．BC=AD

【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴当AB=CD时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；

当BC∥AD时，由两组对边分别的四边形为平行四边形可知该条件正确；

当∠A=∠C时，可求得∠B=∠D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；

当BC=AD时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；

故选：

D．

【点评】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

10．（2017•娄底一模）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（　　）

A．一组对边平行，另一组对边相等

B．一组对边平行且相等

C．两组对边分别平行

D．对角线互相平分

【分析】平行四边形的判定：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

【解答】解：

根据平行四边形的判定，B、D、C均符合是平行四边形的条件，A则不能判定是平行四边形．

故选：

A．

【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：

“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．

11．（2017•台州模拟）如图，点E，F是□ABCD对角线上两点，在条件①DE=BF；②∠ADE=∠CBF；③AF=CE；④∠AEB=∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以．

【解答】解：

由平行四边形的判定方法可知：

若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，

①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以，

故选：

D．

【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

12．（2017•安宁区校级模拟）下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠C，∠B=∠DC．AB∥CD，AD∥BCD．AB=CD，AD=BC

【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．

【解答】解：

平行四边形的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，

平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；

平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；

平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；

平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；

故选：

A．

【点评】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．

13．（2017春•道里区期末）如图，▱ABCD中，过对角线BD上一点作EF∥BC，GH∥AB，图中面积相等的平行四边形有（　　）对．

A．2对B．3对C．4对D．5对

【分析】根据平行四边形的性质证全等三角形，然后利用等量关系推出面积相等．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴S△ABD=S△CBD．

∵BP是平行四边形BEPG的对角线，

∴S△BEP=S△BGP，

∵PD是平行四边形HPFD的对角线，

∴S△HPD=S△FPD．

∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△HPD=S△BCD﹣S△BGP﹣S△PFD，即S▱AEPH=S▱GCFP，

∴S▱ABGH=S▱BCFE，

同理S▱AEFD=S▱GCDH．

即：

S▱ABGH=S▱BCFE，S▱AHPE=S▱GCFP，S▱AEFD=S▱GCDH．

故选：

B．

【点评】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四，同时充分利用等量相加减原理解题．

二．填空题（共9小题）

14．（2017秋•肇源县期末）平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为　14cm或16cm　．

【分析】根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，然后分别讨论BE=2cm，CE=3cm或BE=3cm，CE=2cm，继而求得答案．

【解答】解：

如图，∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE为角平分线，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠AEB=∠BAE，

∴AB=BE，

∴①当AB=BE=2cm，CE=3cm时，

则周长为14cm；

②当AB=BE=3cm时，CE=2cm，

则周长为16cm．

故答案为：

14cm或16cm．

【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意分类讨论思想的应用．

15．（2017秋•林州市期末）平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为　32或34　cm．

【分析】由平行四边形ABCD推出∠AEB=∠CBE，由已知得到∠ABE=∠CBE，推出AB=AE，分两种情况

（1）当AE=5时，求出AB的长；

（2）当AE=6时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

（1）当AE=5时，AB=5，

平行四边形ABCD的周长是2×（5+5+6）=32；

（2）当AE=6时，AB=6，

平行四边形ABCD的周长是2×（5+6+6）=34；

故答案为：

32或34．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出AE=AB．用的数学思想是分类讨论思想．

16．（2017秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为4，▱ABCD的周长为28，则BC的长度为　9　．

【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出：

①BC+AB=14，②BC﹣AB=4，由①+②即可得出BC的长度．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，

∵▱ABCD的周长为28，

∴BC+AB=14①，

∵△BOC与△AOB的周长之差为4，

∴（OB+OC+BC）﹣（OA+OB+AB）=4，

即BC﹣AB=4②，

由①+②得：

2BC=18，

∴BC=9；

故答案为：

9

【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，根据题意得出相邻两边的关系式是解决问题的关键．

17．（2017春•宿州期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC=6cm，动点P，Q分别从A，C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，则　2　秒后四边形ABQP为平行四边形．

【分析】由运动时间为x秒，则AP=x，QC=2x，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程x=6﹣2x求解．

【解答】解：

∵运动时间为x秒，

∴AP=x，QC=2x，

∵四边形ABQP是平行四边形，

∴AP=BQ，

∴x=6﹣2x，

∴x=2．

答：

2秒后四边形ABQP是平行四边形．

故答案为：

2．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质．此题根据路程=速度×时间，得出AP、QC的长，然后根据已知条件列方程求解．

18．（2017春•夏津县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，现在请你添加一个适当的条件：

　BE=DF　，使得四边形AECF为平行四边形（图中不再添加点和线）．

【分析】添加条件是BE=DF，根据三角形全等的性质和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明．

【解答】解：

添加的条件：

BE=DF．

证明：

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AB=CD，∠ABE=∠CDF

又∵BE=DF

∴△ABE≌△CDF

∴AE=CF，∠AEB=∠CFD

∴∠AEF=∠EFC

∴AE∥FC

∴四边形AECF为平行四边形．“答案不唯一”

故答案为：

BE=DF．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，