平行四边形的性质及判定.docx

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平行四边形的性质及判定

平行四边形的性质及判定

第八讲：

平行四边形（基础篇）

【知识梳理】

1、平行四边形：

两组对边分别平行的四边形。

既可以作为性质，也可以作为判定。

平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：

（1）平行四边形对角相等；

（2）平行四边形对边相等；

（3）平行四边形对角线互相平分。

除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：

（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的面积：

①S=a·h②转化为三角形的面积来求。

平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。

2、特殊平行四边形：

一、矩形

（1）有一角是直角的平行四边形是矩形

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等。

（4）矩形判定定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形

（5）矩形判定定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形

（6）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

矩形即是中心对称图形，也是轴对称图形。

附加：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

反过来，如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、菱形

（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）定理1:

菱形的四条边都相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.

（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2

（5）菱形判定定理1：

四边都相等的四边形是菱形

（6）菱形判定定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

三、正方形

（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

（2）性质：

①四个角都是直角，四条边相等

②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

（3）判定：

①一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

【例题精讲】

【例1】填空题：

平行四边形具有的是：

矩形具有的是：

菱形具有的是：

正方形具有的是：

在下列特征中，

（1）四条边都相等

（2）对角线互相平分

（3）对角线相等

（4）对角线互相垂直

（5）四个角都是直角

（6）每一条对角线平分一组对角

（7）对边相等且平行

（8）邻角互补

【巩固】

1、下列说法中错误的是（B）

A.四个角相等的四边形是矩形B.四条边相等的四边形是正方形

C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形

2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是（C）

A.矩形B.菱形C.正方形D.菱形、矩形或正方形

3、下面结论中，正确的是（B）

A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

解析：

A选项中，对角线相等的平行四边形是矩形。

C、D选项也一样丢了“平行”二字。

4、如图，在

中，点D、E、F分别在边

、

、

上，且

，

．下列四种说法：

①四边形

是平行四边形；

②如果

，那么四边形

是矩形；

③如果

平分

，那么四边形

是菱形；

④如果

且

，那么四边形

是菱形.

其中，正确的有.（只填写序号）

1.已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．

四边形ABCD是平行四边形吗？

请说明理由．

2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．

求证：

四边形AECD是菱形．

3.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．

【例5】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.

（1）求证：

四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题：

（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足______

___________________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足______

___________________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足________

____条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.

平行四边形（提高篇）

1.四边形四条边的长分别为

，且满足

，则这个四边形是（C）

A.平行四边形B.对角线互相垂直的四边形

C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形

2.如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.

（1）求证：

DE－BF＝EF．

（2）当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．

（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

解析：

（1）AAS证△ADE≌△BAF

（2）设正方形的边长为2，算出各个边，然后求比值，2倍的关系。

（3）

3.如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。

求证：

AH＝CG。

解：

平行四边形ABCD中，∠ADC=∠CBA,AD//BC,AD=BC

DF,BE分别为∠ADC，∠CBA的角平分线

所以∠ADH=1/2ADC=1/2∠CBA=∠CBG

因为AD//BC，所以∠DAH=∠BCG

因为∠ADH=∠CBG，∠DAH=∠BCG，AD=BC

所以三角形ADH全等于三角形CBG

所以AH=CG

4.如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

解法1：

设对角线交点为0

△ADO为等腰三角形

等腰三角形有个结论：

等腰三角形底边上的一点到两腰距离之和等于一腰上的高

即在本题中

过A做AG⊥BD，AG为腰OD上的高，AG=PE+PF

∵AB=5AD=12∴BD=13

根据面积法有AB*AD=BD*AG；AG=5*12/13=60/13

解法2：

延长CD至M,使DM=CD,连接AM，过P作PN⊥AM,N为AM上的点。

在△ACM中，AD⊥CM且CD=DM,

则AD是△ACM的角平分线。

则PF=PN.

又在四边形ABDM中，AB平行等于DM。

则为平行四边形。

AM平行BD,

故PE,PN在同一直线上，那么PE+PF=PE+PN=EN

平行四边形ABDM面积，S=AB·AD=BD·EN，而BD=√（5×5+12×12）=13

则EN=AB·AD/BD=5×12/13=60/13.

5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：

GF∥AC。

解：

∠AEB=∠C+∠EBC=∠C+（∠ABC/2）

∠AGE=∠ABE+∠BAD=（∠ABC/2）+90°-∠ABC=（∠ABC/2）+∠C

∴∠AEB=∠AGE∴△AGE为等腰三角形

又∵AF是∠DAC的平分线，∴AF垂直平分GE

在△ABF中，BE是∠ABC的平分线，且BE⊥AF

∴△ABF是等腰三角形，∴AO=OF

在四边形AGFE中，AO=OF，GO=OE

∴四边形AGFE为平行四边形，∴GF∥AC

6.如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F。

求证：

AE＝CF。

解析：

证明：

过点E作EM⊥AB于M，过点F作FN⊥BC于N

∵AD⊥BC，EM⊥AB，BG平分∠ABC

∴EM＝ED，∠AME＝90

∵FN⊥BC，∴矩形EFND，∠CNF＝90

∴FN＝ED,∠CNF＝∠AME，∴EM＝FN

∵∠BAC＝90，∴∠BAD+∠CAD＝90

∵AD⊥BC，∴∠CAD+∠C＝90

∴∠BAD＝∠C，∴△AME≌△CNF，∴AE＝CF

第十讲：

梯形

【知识梳理】

与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。

通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：

1、平移腰：

过一顶点作一腰的平行线；

2、平移对角线：

过一顶点作一条对角线的平行线；

3、过底的顶点作另一底的垂线。

熟悉以下基本图形、基本结论：

【例题精讲】

中位线概念：

（1）三角形中位线定义：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

（2）梯形中位线定义：

连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

三角形的中位线性质：

三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。

梯形的中位线性质：

梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。

【例题精讲】

【例1】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。

（1）求证：

四边形MENF是菱形；

（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。

【巩固】如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD．

（1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；

（2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？

请回答并说明理由．

【例2】已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC

求证：

.

【巩固】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，若AD＝a，AB＝b，则CD的长是___________。

【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，若∠B＋∠C＝90°.AD＝7，BC＝15，求EF．

【例4】已知：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD.

求证：

梯形ABCD是等腰梯形.

【例5】已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE.

求证：

AD＋BC＝AB

【巩固】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AD＋BC＝AB

求证：

DE⊥AE。

【例6】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，CE、BE分别平分∠C和∠B，E为AD的中点。

求证：

AB＋DC＝BC．