材料力学重点及公式期末复习.docx
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材料力学重点及公式期末复习
资料力学要点及公式（期末复习）
1、资料力学得任务：
强度、刚度与稳固性；
应力单位面积上得内力。
均匀应力
（1、1）
全应力（1、2）
正应力垂直于截面得应力重量，用符号表示。
切应力相切于截面得应力重量，用符号表示。
应力得量纲：
线应变单位长度上得变形量，无量纲，其物理意义就是构件上一点沿某一方向变形量得大小。
外力偶矩
传动轴所受得外力偶矩往常不就是直接给出，而就是依据轴得转速n与传达得功
率P来计算。
当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min）时，外力偶矩为
资料力学要点及公式（期末复习）
当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为
拉（压）杆横截面上得正应力
拉压杆件横截面上只有正应力，且为均匀散布，其计算公式为（3
-1）
式中为该横截面得轴力，A为横截面面积。
正负号规定拉应力为正，压应力为负。
公式（3-1）得合用条件：
（1）杆端外力得协力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；
（2）合用于离杆件受力地区稍远处得横截面；
（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力散布很不
均匀；
（4）截面连续变化得直杆，杆件双侧棱边得夹角时
拉压杆件随意斜截面（a图）上得应力为均匀散布，其计算公式为
全应力（3-2）
正应力（3-3）
切应力
（3-4）
式中
为横截面上得应力。
正负号规定：
由横截面外法线转至斜截面得外法线，逆时针转向为正，反之为负。
资料力学要点及公式（期末复习）
拉应力为正，压应力为负。
对离开体内一点产生顺时针力矩得为正，反之为负。
两点结论：
（1）当时，即横截面上，达到最大值，即。
当=时，即
纵截面上，==0。
（2）当时，即与杆轴成得斜截面上，达到最大值，即
1．2拉（压）杆得应变与胡克定律
（1）变形及应变
杆件遇到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；遇到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。
如图3-2。
图3-2
轴向变形轴向线应变横向变
形
横向线应变正负号规定伸长为正，缩短为负。
（2）胡克定律
当应力不超出资料得比率极限时，应力与应变为正比。
即
（3-5）
或用轴力及杆件得变形量表示为（3-6）
资料力学要点及公式（期末复习）
式中EA称为杆件得抗拉（压）刚度，就是表征杆件抵挡拉压弹性变形能力得量。
公式（3-6）得合用条件：
（a）资料在线弹性范围内工作，即；
（b）在计算时，l长度内其N、E、A均应为常量。
如杆件上各段不一样，则应分段计
算，求其代数与得总变形。
即
（3-7）
（3）泊松比当应力不超出资料得比率极限时，横向应变与轴向应变之比得绝对值。
即
（3-8）
表1-1
低碳钢拉伸过程得四个阶段
阶
段
图1-5
特点点
说
明
中线段
弹性阶段
oab
比率极限
为应力与应变为正比得最高应力
弹性极限
为不产生剩余变形得最高应力
折服阶段
bc
折服极限
为应力变化不大而变形明显增添时得最低
应力
加强阶段
ce
抗拉强度
为资料在断裂前所能蒙受得最大名义应力
局部形变阶段ef
产生颈缩现象到试件断裂
表1-2主要性能指标
性能性能指标
说明
弹性性能弹性模量
E
当
资料力学要点及公式（期末复习）
强度性能资料出现明显得塑性变形折服极限
资料得最大承载能力
抗拉强度
塑性性能资料拉断时得塑性变形程度
延长率
资料得塑性变形程度
截面缩短率
强度计算
许用应力资料正常工作允许采纳得最高应力，由极限应力除以安全系数求得。
塑性资料[]=；脆性资料[]=
此中称为安全系数，且大于1。
强度条件：
构件工作时得最大工作应力不得超出资料得许用应力。
对轴向拉伸（压缩）杆件
（3-9）
按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确立许克载荷等三类强度计算。
2、1切应力互等定理
受力构件内随意一点两个相互垂直面上，切应力总就是成对产生，它们得大小相等，方向同时垂直指向或许背叛两截面交线，且与截面上存在正应力与否没关。
2、2纯剪切
单元体各侧面上只有切应力而无正应力得受力状态，称为纯剪切应力状态。
2、3切应变
切应力作用下，单元体两相互垂直边得直角改变量称为切应变或切应变，用表示。
2、4剪切胡克定律
资料力学要点及公式（期末复习）
在资料得比率极限范围内，切应力与切应变为正比，即
（3-10）
式中G为资料得切变模量，为资料得又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E及泊松
比）,其数值由实验决定。
对各向同性资料,E、、G有以下关系（3-11）
2、5、2切应力计算公式
横截面上某一点切应力大小为（3-12）
式中为该截面对圆心得极惯性矩，为欲求得点至圆心得距离。
圆截面周边上得切应力为（3-13）
式中
称为扭转截面系数，R为圆截面半径。
2、5、3切应力公式议论
（1）
切应力公式（3-12）与式（3-13）合用于资料在线弹性范围内、小变形时得
等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，
其偏差在工
程同意范围内。
（2）
极惯性矩
与扭转截面系数
就是截面几何特点量，计算公式见表
3-3。
在
面积不变状况下，资料失散程度高，其值愈大；反应出轴抵挡扭转损坏与变形得
能力愈强。
所以，设计空心轴比实心轴更加合理。
表3-3
实心圆
资料力学要点及公式（期末复习）
（外径为d）
空心圆
（外径为D，
内径为d）
2、5、4强度条件
圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超出资料同意极限值，不然将发生损坏。
所以，强度条
件为
（3-14）
平等圆截面直
杆
（3-15
）式中
为资料得许用切应力。
3、1、1中性层得曲率与弯矩得关系
（3-16）
式中，就是变形后梁轴线得曲率半径；E就是资料得弹性模量；就是横截面对中
性轴Z轴得惯性矩。
3、1、2横截面上各点曲折正应力计算公式
（3-17）
式中，M就是横截面上得弯矩；喜悦义同上；y就是欲求正应力得点到中性轴得距离
最大正应力出此刻距中性轴最远点
处（3-18）
式中，称为抗弯截面系数。
关于得矩形截面，；关于直径为D
得圆形截面，；关于内外径之比为得环形截面，。
资料力学要点及公式（期末复习）
若中性轴就是横截面得对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不就是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。
3、2梁得正应力强度条件
梁得最大工作应力不得超出资料得允许应力，其表达式
为
（3-19
）
关于由拉、压强度不等得资料制成得上下不对称截面梁（如得工字形截面等），其强度条件应表达为
T字形截面、上下不等边
（3-20a）
（3-20b）
式中，分别就是资料得允许拉应力与允许压应力；分别就是最大拉应力点
与最大压应力点距中性轴得距离。
3、3
梁得切应力
（3-21
）
式中，
Q就是横截面上得剪力；
就是距中性轴为
y得横线与外界限所围面积对中性轴得
静矩；
就是整个横截面对中性轴得惯性矩；
b就是距中性轴为
y处得横截面宽度。
3、3、1矩形截面梁
切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线散布。
切应力计算公式（3-22）
最大切应力发生在中性轴各点处，
3、3、2工字形截面梁
。
资料力学要点及公式（期末复习）
切应力主要发生在腹板部分，其协力占总剪力得95~97%，所以截面上得剪力主要由腹板部分来肩负。
切应力沿腹板高度得散布亦为二次曲线。
计算公式
为
（3-23）
近似计算腹板上得最大切应力：
d为腹板宽度h1为上下两翼缘内侧距
3、3、3圆形截面梁
横截面上同一高度各点得切应力汇交于一点，其竖直重量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。
最大切应力发生在中性轴上，其大小
为（3-25）
圆环形截面上得切应力散布与圆截面近似。
3、4切应力强度条件
梁得最大工作切应力不得超出资料得许用切应力，
即
（3-26）
式中，就是梁上得最大切应力值；就是中性轴一侧面积对中性轴得静矩；
就是横截面对中性轴得惯性矩；b就是处截面得宽度。
关于等宽度截面，发生在中
性轴上，关于宽度变化得截面，不必定发生在中性轴上。
4、2剪切得适用计算
名义切应力：
假定切应力沿剪切面就是均匀散布得，则名义切应力
为（3-27）
资料力学要点及公式（期末复习）
剪切强度条件：
剪切面上得工作切应力不得超出资料得许用切应力,
即（3-28）
5、2挤压得适用计算
名义挤压应力假定挤压应力在名义挤压面上就是均匀散布得，
则（3-29）
式中，表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上得投影。
当挤压
面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上得投影面积。
挤压强度条件挤压面上得工作挤压应力不得超出资料得许用挤压应
力（3-30）
1，变形计算
圆轴扭转时，随意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。
相距为l得两个横
截面得相对扭转角为
（rad）（4
、4）
若等截面圆轴两截面之间得扭矩为常数，则上式化为
（rad）（4
、5）
图4、
2
式中称为圆轴得抗扭刚度。
明显，得正负号与扭矩正负号同样。
资料力学要点及公式（期末复习）
公式（4、4）得合用条件：
（1）资料在线弹性范围内得等截面圆轴，即；
（2）在长度l内，T、G、均为常量。
当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段
计算扭转角，而后求代数与得总扭转角。
即
（ra
d）（4
、6）
当T、沿轴线连续变化时
用式（4
、4）
计算
。
2，刚度条件
扭转得刚度条件
圆轴最大得单位长度扭转角
不得超出同意得单位长
度扭转角,即
（rad/m）
（4
、7）
式（）（4、8）
2，挠曲线得近似微分方程及其积分
在剖析纯曲折梁得正应力时，获得弯矩与曲率得关系
关于跨度远大于截面高度得梁，略去剪力对曲折变形得影响，由上式可
得
利用平面曲线得曲率公式，并忽视高阶微量，得挠曲线得近似微分方程，
即（4、9）
资料力学要点及公式（期末复习）
将上式积分一次得转角方程为
（4、10）
再积分得挠曲线方程
（4、11）
式中，C,D为积分常数，它们可由梁得界限条件确立。
当梁分为若干段积分时，积分常数得确立除需利用界限条件外，还需要利用连续条件。
3，梁得刚度条件
限制梁得最大挠度与最大转角不超出规定得同意数值，就获得梁得刚度条件，即
，（4、12）
3，轴向拉伸或压缩杆件得应变能
在线弹性范围内，由功能原理得
当杆件得横截面面积A、轴力FN为常量时，由胡克定律，可
得
（4、14）
杆单位体积内得应变能称为应变能密度，用表示。
线弹性范围内，
得（4、15）
4，圆截面直杆扭转应变能
在线弹性范围内，由功能原
资料力学要点及公式（期末复习）
将
与
代入上式得
（4、1
6）
图4、5
依据微体内得应变能在数值上等于微体上得内力功，得应变能得密度
：
（4、17）
5，梁得曲折应变能
在线弹性范围内，纯曲折时，由功能原理得
将与代入上式得（4、18）
图4、6
横力曲折时，梁横截面上得弯矩沿轴线变化，此时，关于微段梁应用式（4、
18），积分得全梁得曲折应变能，即（4、19）
资料力学要点及公式（期末复习）
2．截面几何性质得定义式列表于下：
静矩惯性矩惯性半径惯性积极惯性矩
3．惯性矩得平行移轴公式
静矩：
平面图形面积对某坐标轴得一次矩，如图Ⅰ-1所示。
定义式：
，（Ⅰ-1）
量纲为长度得三次方。
因为均质薄板得重心与平面图形得形心有同样得坐标与。
则
由此可得薄板重心得坐标为
同理有
所以形心坐标，（Ⅰ-2）
资料力学要点及公式（期末复习）
或，
由式（Ⅰ-2）得悉，若某坐标轴经过形心轴，则图形对该轴得静矩等于零，即，
；，则；反之，若图形对某一轴得静矩等于零，则该轴必定通
过图形得形心。
静矩与所选坐标轴相关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形就是由几个简单平面图形构成，称为组合平面图形。
设第I块分图形得面
积为，形心坐标为，则其静矩与形心坐标分别为，
（Ⅰ-3）
，
（Ⅰ-4）
§Ⅰ-2惯性矩与惯性半径
惯性矩：
平面图形对某坐标轴得二次矩，如图Ⅰ-4所示。
，（Ⅰ-5）
资料力学要点及公式（期末复习）
量纲为长度得四次方，恒为正。
相应定义
，
（Ⅰ-6）
为图形对轴与对轴得惯性半径。
组合图形得惯性矩。
设为分图形得惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为
，（Ⅰ-7）若以表示微面积到坐标原点得距离,
则定义图形对坐标原点得极惯性矩
（Ⅰ-8）因为
所以极惯性矩与（轴）惯性矩相关
系
（Ⅰ-9）
式（Ⅰ-9）表示，图形对随意两个相互垂直轴得（轴）惯性矩之与，等于它对该两轴交点得极惯性矩。
下式
（Ⅰ-10）
定义为图形对一对正交轴、轴得惯性积。
量纲就是长度得四次方。
可能
为正，为负或为零。
若y，z轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。
资料力学要点及公式（期末复习）
§Ⅰ-3平行移轴公式
因为同一平面图形关于相互平行得两对直角坐标轴得惯性矩或惯性积其实不同样，假如其
中一对轴就是图形得形心轴时，如图Ⅰ-7所示，可获得以下平行移轴公式
（Ⅰ-13）
简单证明之：
此中为图形对形心轴得静矩，其值应等于零，则得
同理可证（I-13）中得其余两式。
结论：
同一平面内对全部相互平行得坐标轴得惯性矩，对形心轴得最小。
在使用
惯性积移轴公式时应注意a,b得正负号。
把斜截面上得总应力分解成与斜截面
垂直得正应力与相切得切应力（图13、1c）,则其与主应力得关系为
（13、1）
（13、2）
资料力学要点及公式（期末复习）
在以为横坐标、为纵坐标得坐标系中，由上式所确立得随意斜截面上
得正应力与切应力为由三个主应力所确立得三个圆所围成地区（图13、2
中暗影）中得一点。
由图13、2显见
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