第27讲 开放与探究.docx

第27讲 开放与探究.docx

《第27讲 开放与探究.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第27讲 开放与探究.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

第27讲开放与探究

第27讲开放与探究

考点•方法•破译

⒈中考对开放与探究的考察旨在检测学生的开放与探究能力．教师应重视学生的发散思维各归纳、猜想及推理能力；

⒉开放与探究类中考考题主要有：

规律探究、条件探究、几何关系探究、特殊——一般结论的论证探究；

经典•考题•赏析

【例1】（广西）一组按一定规律排列的式子：

－a2,

…，（a≠0）则第n个式子是（n为正整数）．

【解法指导】探求代数规律一定要先转化为同类，再从每部分去找规律．本题先要将第1个式子化为分数形式：

－

．每一个式子都满足①分母就是个数；②符号奇为负、偶为正；③分子是以a为底，个数的3倍少1为指数的幂．则第n个式子可表示为（－1）n•

．

【变式题组】

⒈（龙岩）观察下列一组数：

…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k个数是．

⒉（青海）观察下面的一列单项式：

x，－2x2，4x3，－8x4，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第n个单项式为．

⒊（广西）图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s＝（用n的代数式表示s）

⒋（鄂州）为了求1+22+23+…+22008，可令Ｓ＝1+22+23+…+22008，则2S＝22+23+24…+22009，因此2S－S＝22009－1，所以1+22+23+…+22008

＝22009－1仿照以上推理计算出1+52+53+…+52009的值是（）

A．52009－1B．52010－1C．52009＋1D．

【例2】（肇庆）观察下列各式：

，

，

，…，根据观察计算：

＝．（n为正整数）

【解法指导】本题先要探求第n个式子与n的关系．左边是算式最后一项

，右边是

与左边拆开式子

之积．即第n个等式为

＝

（

）．

则

＝

+

+…+

＝

【变式题组】

⒌（成都）已知an=

（n=1,2,3,…），记b1=2（1-a1）,b2=2（1-a1）（1-a2）,…，bn=2（1-a1）（1-a2）…（1－an）,则通过计算推测出bn=．（用含n的代数式表示）

⒍观察下列等式：

1×

＝1－

，2×

＝2－

，3×

＝3－

，…

⑴猜想并写出第n个等式；

⑵证明你写出的等式的正确．

【例3】（梅州）如下图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．

【解法指导】本题先要审请题意，从第2幅图开始每个图中菱形有大、小两类．再探究大菱形个数为n,小菱形个数为n－1．所以第n幅图中有（2n－1）个．本题答案为：

7，2n－1．

【变式题组】

⒎（铁岭）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．

⒏（济宁）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．

⒐（宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b,以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1,然后再以矩形A1B1C1D1各边的中点为顶点作菱形A2B2C2D2,…，如此下去．则得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积为含a、b的代数式表示为．

⒑（齐齐哈尔）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连结对角线，以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC＝60°；连结AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1＝60°；……，按此规律所作的第n个菱形的边长为．

【例4】（恩施）观察数表，根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是．

【解法指导】本题找规律要从三个方面入手：

①符号；②数字；③与相邻数的关系．每行从左到右数奇数个为正，偶数个为负；绝对值等于上一行左右最接近的两数绝对值之和．则字母A所表示的数是－10．

【变式题组】

⒒（南宁）正整数按图的规律排列．请写出第20行、第21列的数字是．

……第一排

……第二排

……第三排

……第四排

1

32

456

10987

第12题图

⒓（黄石）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（）

A．（11，3）B．（3，11）C．（11，9）D．（9，11）

【例5】（丹东）已知：

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．⑴试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；⑵若∠A＝120°，AD＝2，DC＝4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形？

并加以说明．

【解法指导】解：

⑴四边形EFPG是平行四边形．理由：

∵点E、F分别是BC、PC的中点，∴EF∥BP．同理可证EG∥PC，∴四边形EFPG是平行四边形．

⑵方法一：

当PC＝3时，四边形EFPG是矩形．

证明:

延长BA、CD交于点M．∵AD∥BC，AB＝CD，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝∠C＝60°．∴∠M＝60°．∴△BCM是等边三角形．∵∠MAD＝180°－120°＝60°，∴AD＝DM＝2．∴CM＝DM＋CD＝2＋4＝6．∵PC＝3，∴MP＝3，∴MP＝PC，∴BP⊥CM，即∠BPC＝90°．∵AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°．∵AB＝CD，∴∠C＝∠ABC＝60°．∴∠PBC＝30°且△BCM是等边三角形．∴∠ABP＝∠PBC＝30°，∴PC＝PM＝

CM．

同方法一，可得CM＝DM＋CD＝2＋4＝6，PC＝6×

＝3．即当PC＝3时，四边形EFPG是矩形．

【变式题组】

⒔（汕头）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AC＝20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再心A1B1、A1C为边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依次类推．⑴求矩形ABCD的面积；⑵求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积．

⒕（牡丹江）已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF＋S△CEF＝

S△ABC．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

【例6】（十堰）如图①，四边形ABCD是正方形,点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F．⑴求证：

DE－BF＝EF．⑵当点G为BC中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．⑶若点G为CB延长线上一点，其余条件不变，请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．

【解法指导】本题是结论探究题，①、②两个图形中的结论可能变化，但全等、相似的结论不变．

⑴证明：

∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，∴DA＝AB,∠BAF＋∠DAE＝∠DAE＋∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE,∴△ABF≌△DAE∴BF＝AE,AF＝DE∴DE－BF＝AF－AE＝EF

⑵EF＝2FG理由如下：

∵AB⊥BC,BF⊥AG,AB＝2BG∴△AFB∽△ABG

∴

=2∴AF＝2BF，BF＝2FG由⑴知，AE＝BF,∴EF＝BF＝2FG

⑶如图，DE＋BF＝EF

【变式题组】

⒖（昆明）四边形ABCD是正方形，⑴如图1，点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：

△ABF≌△DAE；

⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是（直接写出结论即可，不需要证明）；

⑶如图2，点G是CD边上任意一点（不与C、D两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，那么图中全等三角形是，线段EF与AF、BF的等量关系是（直接写出结论即可，不需要证明）．

演练巩固•反馈提高

⒈（綦江）观察下列等式：

⒈42－12＝3×5；

⒉52－22＝3×7；

⒊62－32＝3×9；

⒋72－42＝3×11；

……

则第n（n是正整数）个等式为．

⒉（湖州）如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1,连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2,连结BE2交CD1于D3;过D3作D3E，…，如此继续，可以依次得到点D4,D5,…Dn，分别记△BD1E1,△BD2E2,△BD3E3,…△BDnEn的面积分别为S1,S2,S3,…Sn．则Sn＝S△ABC（用含n的代数式表示）．

⒊（淄博）如图，网格中的每个四边形都是菱形，如果格点三角形ABC的面积为S，按照如图所示方式得到的格点三角形A1B1C1的面积是7S，格点三角形A2B2C2的面积是19S，那么格点三角形A3B3C3的面积为．

⒋（丽水）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为

的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的

）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn-1＝．

⒌（武汉）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：

第1个图形有6个小圆，第二个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第6个图形有个小圆．

⒍（莆田）已知：

等边△ABC的边长为a，探究⑴：

如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：

△MNG是等边三角形且MN＝

a；

探究⑵：

在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．

1如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：

结论1．OD＋OE＋OF＝

a；结论2．AD＋BE＋CF＝

；

2

如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1、2是否仍然成立？

如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

⒎（齐齐哈尔）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）．

（温馨提示：

在图1中，连结BD，取BD的中点H,连结HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．）

问题一：

如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；

问题二：

如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长．与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．

培优升级•奥赛检测

⒈已知：

等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，则有AD∥BC，

⑴若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD．上述结论还成立吗？

答（成立或者AD∥BC）

⑵若△ABC为任意等腰三角形，AB＝AC，如图3,E为AB上任一点，△DEC∽△ABC，连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？

答：

（AD∥BC）

⑶请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明．

⒉（河北）在图

（1）至图（3）中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，AE的中点是M．

⑴如图

（1），点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：

FM＝MH，FM⊥MH;

⑵将图

（1）中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图

（2），求证：

△FMH是等腰直角三角形；

⑶将图

（2）中的CE缩短到图（3）的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？

（不必说明理由）

⒊（仙桃）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM＝

BD，EN＝

CE，得到图③，请解答下列问题：

⑴若AB＝AC，请探究下列数量关系：

①在图②中，BD与CE的数量关系是；

3在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；

⑵若AB＝k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：

AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．

⒋（上海）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3,AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

（如图1所示）．

⑴当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；

⑵在图1中，连结AP．当AD＝

时，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，

＝y,其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

⑶当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．

⒌（黄石）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：

⑴如果AB＝AC，∠BAC＝90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．

②当点D在线段BC延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

⑵如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．

试探究：

当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？

画出相应图形，并说明理由．

⑶若AC＝4

，BC＝3，在⑵的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

⒍（大连）已知AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝α．

⑴若α＝60°（如图1）探究线段AD与CE的数量关系，并加以证明；

⑵若α＝120°，并且点D在线段AB上，（如图2）则线段AD与CE的数量关系为（直接写出答案）；

⑶探究线段AD与CE的数量关系（如图3），并加以证明．

⒎（武汉）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝nAC，CD⊥AB于点D，点P是AB边上一动点，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．⑴若n＝2，则

＝；

⑵当n＝3时，连EF、DF，求

的值；

⑶当n＝时，

（直接写出结果，不需证明）．

⒏（武汉）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点，连接OB交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．

⑴求证：

△ABF∽△COE;

⑵当O为AC边中点，

＝2时，如图2，求

的值；

⑶当O为AC边中点，

＝n时，请直接写出

的值．

⒐（哈尔滨）已知：

△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

⑴如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：

FG＋DC＝AD；

⑵如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是；

⑶在⑵的条件下，若AG＝

，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝

，求线段PQ的长．

⒑（广州）已知Rt△ABC中，AB＝AC，在Rt△ADE中，AD＝DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM,

⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：

BM＝DM且BM⊥DM；

⑵如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么

（1）中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

⒒（绵阳）如图甲，在平面直角坐标第中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

⑴若m=n时，如图乙，求证：

EF＝AE；

⑵若m≠n时，如图丙，试问边OB上是否存在点E，使得EF＝AE?

若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝（t＋1）AE成立？

并求出点E的坐标．

⒓（大连）如图，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连结EQ交PC于点H．猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想．