分块矩阵的应用论文.docx
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分块矩阵的应用论文
分块矩阵的应用
引言
矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：
线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生
矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的•就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，-般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法•比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变
换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵,
Ab
其中A0,并且ACCA，则可求得ADBC;分块矩阵也可以在求解线性
CD
方程组应用•
本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1分块矩阵的定义及相关运算性质
1.1分块矩阵的定义
矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.
定义1设A是一个mn矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线条将它
A1s
...，其中Aij表示的是一个矩阵.
Ars
A11...
分成s块，于是有rs块的分块矩阵，即A....
Ar1.
1.2分块矩阵的相关运算性质
1.2.1加法
AAijrs，BBijrs，
其中Aij，Bij的级数相同，
ABAijBijrs
1.2.2
数乘
kA
1.2.3
乘法
1.2.4
转置
AAjisr
1.2.5分块矩阵的初等变换
分块矩阵A的下列三种变换称为初等行变换:
（1）对调A的两行（用斤rj表示对调i、j两行）;
（2）用一个可逆阵K左乘A的某一行的所有子矩阵（用Kri表示用K左乘第i行）;
（3）将A的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K再加到另一行的对应子矩阵上去
（riKrj表示将第j行左乘K再加到第i行）.
将上述定义中的“行”换成“列”，“左乘”换成“右乘”，即得分块矩阵的初等
列变换的定义，分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换•
2分块矩阵的应用
2.1用分块矩阵解决行列式的问题
利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一，但通常所用的
《高等代数》教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格，多数为形式较特殊的行列式•下面给出了一个应用围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法•
引理2.1（[3]）若A为k阶方阵，B为r阶方阵，C为rk矩阵,则有
A0
AB
CB
在上述引理中，要求子块当中有一个为零矩阵，更一般的有如下的结论.
AB
定理2.2（[3]）若n阶方阵P可分为P其中A为r阶方阵,B为
CD
rnr矩阵，C为nrr矩阵，D为nr阶方阵，则有
（1）当A为可逆矩时|p||a||dca1b；
（2）当D为可逆矩阵时IPIDABD1C.
（3）
在进行行列式的求值运算时，若能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法，就
解设A（C0），Bbb...b，Caa
c10...0
0c3...0
D,Ci0,i1,2,,n
00...cn
PABDABD1CCD
解：
行列式|P的主对角线元素为a，其余元素为b，因此:
（1）当ab时，由行列式的性质知P=0;
（2）当ab时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得
Cbbb...b,Da,
ij
i>j
计算结果得
n1
a+n1b.
若定理中的矩阵A和D均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式
进行转换求行列式的值，举例说明如下•
A
解对T进行分块T
C
定理2.7若A,B均为n阶方阵，则
例2.8计算行列式
1
2
3
4
3
4
1
2
4
1
2
3
其中
由于
所以
解对矩阵T进行分块T
2.2分块矩阵在解线性方程组中的应用
12
23，B
BAB
（20）
8）160.
例2.9设n个未知数m个方程的线性方程组为
x1
312X2
a1nXn
b
*21
*22X2.
a2nXn
b2
am1X1
am2X2.
am门人1
bm
T
.,Xn
（其中T
表示矩阵的转置）
AX
B.
记Aajmn，X=MX,..
（1）
Bb!
b2,...,bm
则方程
（1）
的矩阵形式为
把方程
（1）的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式
B1
B2，
其中
方程组
^a〔1
....a1r
a1r1
a1n
A11.....
，A12
…?
AA11
A2，
ar1..
...^3rr
arr1
arn
ar11...
...ar1r
，A22
ar1r1
ar1n
，A/
器1A22
am1…
...amr
amr1
amn
X1
X1X2
...
T，X2
Xr1
Xr2.
T
Xn，
T，B2
br1br
bT
2…bm
有解时,
我们解方程组
1）时总是把
（1）
（1）
X1
X2
A1
A21
AI2
A22
化成简单的同解方程组,
从而求出其解.
定理2.10.
设方程组
（1）有解且r
Arn,r歸r，则方程组A11A,2XB
与AXB同解.
例2.11．已知方程组
x112x12x131
2）
x22x23x242x31x322x33x3412x413x423x43x440
求此方程组的解并证明此方程组和方程组
3）
x112x12x131
x22x23x242
同解.
3
又2是方程组的一个特解，
0
0
所以此方程组的解为
c1
3
1
1
0
c2
2
1
0
1
3
2，
0
0
由上可知r（A）2并且r（AJ2，所以由定理3可证方程组
（2）和（3）同解.
3.3
分块矩阵在相似问题中的应用
证明因为方阵A~B，方阵C~D，
所以
3.4
用分块矩阵证明矩阵秩的问题
证明设A在初等变换下的标准形为
D1
Er
又设B在初等变换下的标准形为D2》0，SrB，
k行后l列也作初等变换可把M化为
那么，对M前m行前n列作初等变换，对它的后
现在利用Di左上角的1经列初等变换消去Ci位置中的非零元；再用D2左上角的1经行初等变换消去它上面Ci处的非零元素，于是把Mi再化作
Er000
M2
000C2
00Es0
0000
利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式
A
0
A
0
0
AB
0
0
0
0
rArBr
r
r
r
r
n，
0
B
En
B
En
B
En
B
En
0
所以
rA
rB
n.
证明因为
又EE，EBE都可逆，
0E0E
AABAB
rrABAB
0B
A0
r0AB0rArB，
3.5
用分块矩阵求逆矩阵的问题
求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用
定理2.16.对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAI
那么矩阵称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
若代B都可逆,
则
A
1
0
A1
0
0
B
0
B1
A
1
C
A1
A1CB1
A
1
0
A10
0
B
0
B1
C
B
B1CA1B
A
B
1
Ek
A1B
A1
0
Ek0
C
D
0
Enk
0
D11
1
CAEnk
其中DiDCA1B.
以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用
12002100
例已知矩阵A00i2，求A1
152500
所以
A1251500
0052
0021
2.6分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用
在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的容，特征值对于线性变换的研
究具有基本的重要性•而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.
定理2.18.设A为n阶矩阵，是一个数，如方程AXX,存在非零解向量，则
称为A的一个特征值，相应的非零解向量X称为与特征值对应的特征向量.
定理2.19.设A为n阶矩阵，含有未知量的矩阵|A称为A的特征矩阵，其行
列式IA为的n次多项式，称为A的特征多项式IA0称为A的特征方程，是矩阵A的一个特征值，则一定是|IA0的根，因此又称为特征根.若是IA0的山重根，则称为A的ni重特征值.
引理2.20.设A为n阶矩阵，则A为幕等矩阵的充要条件rAErAn,这里E为n阶单位矩阵，rA表示A的秩.
弓I理2.21.幕等矩阵AAXB与Er0或00相似，其中rrA.
000Er
例2.22.设A,A,A均为n阶方阵，且AA民，rAr,rAni1,2，
求证：
若A2A,rad，则代A,A2的特征值为1或0,且1的个数和它们的秩相等.
证明：
（1）当A可逆时，即rAn，因为A2A，所以AE，
又rr1r2，EA,A?
，
由已知得rArArA2n,由引理2.20得到A2A.
同理A；A，所以A1，A2是幕等矩阵，由引理2.21得
0
，A2~0
0
Er，
所以A,A,A2的特征值为1或0,且
特征值1的个数和它们的秩相等.
（2）当rA0时，即A0结论显然成立.
（3）设0rn,即A为非零由布可逆矩阵，又因为AA，故存在可逆矩阵P使
P1AP
P
1A1PP
Ap,
rr
A,
令
Er
0
A1
A2
B11
B12
0
0
A21
A22
B21
B22
这里
P1APAj
P1a2p
Bij
Er
A1
B11,
所以
r=rA11B11
rAn
rB11
rA
r
B1r,
从而
r=rA1B11
rAn
rB11
rA
r
Ar,
又因为
rA1rA110，rA2B11
0，
从而
rA1rA11，rA2
B11，
这样ErA11B11，且rA11B11
r，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵Q，使
-1
Er
0
Q1
A11Q=
r1
0
0
Q
10
1
Q
PA1P
0
En-r
0
Q
10
A1
A12
0
En-r
A2
1A22
Q
1A11Q
Q1
A12
A21Q
A22
Q
A11Q
Q1A1
A21Q
A22
1
QB11Q=
0
En-r
Q10
Er0
00
Er2
Er0C11又因为r00C21
G11G12A22
同上可得
Z11
0，
W11
从而A22
0，
同理
故有T
1AT
Er1
0
Q100En-r
P1A2P
0
En-r
Q10B11B12Q10
B21Q
B22
Er
0
C11
0
0
C21，
G11
G12
A22
0En-r
0En-r
Q1B11QQ1B12
r1，所以G210,G120，
1
Q1B11Q
B21Q
Q1B12
B22
Z11
0
Er2W21
Z12B22
W11
B21B220En-r
0，故C11
0,G11
0,W21
0,Z12
0，
Q1A11QA21QA22
1A12
Er1
0
0
0
A22
1B11Q
B21Q
Er2
2
0
Q1B12
B22
T1A1T
Er1
0
0
0
Er2
0
0
En
T1A2T
0
Er2
0
综上所述,结论成立.
小结
本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的叙述充分体现了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的叙述中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.
参考文献
[1]蓝以中.高等代数简明教程[M].：
大学，2007：
141-149.
[2]杜之,丽,吴曦.线性代数[M].：
西南财经大学，2003：
61-68.
[3]郝玉琴.利用矩阵的分块法解线性方程组[J].师专学报，1999（5）:
37-38.
[4]王萼芳.线性代数学习指导[M].：
清华大学，2008：
104-108.
[5]祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2009：
1-4.
[6]孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006（5）：
24-25.
[7]王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].师高等专科学校学报，2008（3）：
98-99.
[8]严坤妹.分块矩阵的应用[J].广播电视大学学报，2006（59）：
71-73.
[9]敏.分块矩阵的应用[J].师大学学报，2003
（1）：
118-120.
[10]周兴建.分块矩阵及其应用[J].科技资讯，2007（35）：
126-126.
[11]晓兰，子胥.分块矩阵的一些应用[J].师专学报，1995（4）：
1-14.
[12]钱钶.用分块矩阵证明矩阵秩的若干定理[J].高专学报，1995（4）：
11-14.
[13]徐常青，杜先能.高等代数方法与应用[M].：
大学，2002：
66-67.
[14]林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用[J].广播电视大学学报,2006,15
（2）:
109-112.
[15]敏.分块矩阵的应用[J].师大学学报（自然科学版），2003，1
（1）:
120.
[16]力.分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用[J].师专科学校学报,2006,22（4）:
40-41.
[17]玉梅.分块矩阵的几个重要应用[J].师专学报，2000，19（4）：
77-78.
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