第一章 113 第2课时集合的全集补集.docx
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第一章113第2课时集合的全集补集
第2课时 集合的全集、补集
学习目标
1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合的综合运算问题.
知识点一 全 集
定义：
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.
记法：
全集通常记作U.
思考1 为了研究集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,2,3}，C＝{1,3,5}之间的关系，要从中选一个集合作为全集，这个集合应该是________.
答案 A
思考2 全集一定包含任何一个元素吗？
若全集是数集，则一定是实数集R吗？
答案 不一定；不一定.
知识点二 补 集
自然语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA
集合语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
性质
①A∪（∁UA）＝U，A∩（∁UA）＝∅；
②∁UU＝∅，∁U∅＝U
1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.（ √ ）
2.存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.（ × ）
3.设全集U＝R，A＝
，则∁UA＝
.（ × ）
4.设全集U＝
，A＝
，则∁UA＝
.
（ × ）
题型一 补集的运算
例1
（1）已知全集U＝{a，b，c}，集合A＝{a}，则∁UA等于（ ）
A.{a，b}B.{a，c}C.{b，c}D.{a，b，c}
考点 补集的概念及运算
题点 有限集合的补集
答案 C
解析 ∁UA＝
＝
.
（2）若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于（ ）
A.{x|0C.{x|0考点 补集的概念及运算
题点 无限集合的补集
答案 C
解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，
A＝{x∈R|－2≤x≤0}，
∴∁UA＝{x|0反思感悟 求集合的补集，需关注两处：
一是确认全集的范围；二是善于利用数形结合求其补集，如借助Venn图、数轴、坐标系来求解.
跟踪训练1
（1）设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝________.
考点 补集的概念及运算
题点 有限集合的补集
答案 {3,4,5}
（2）已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{b，c，d}，B＝{c，e}，则（∁UA）∪B等于（ ）
A.{b，c，e}B.{c，d，e}
C.{a，c，e}D.{a，c，d，e}
答案 C
解析 ∁UA＝{a，e}，（∁UA）∪B＝{a，c，e}.
（3）若全集U＝R，集合A＝{x|1A.{x|x<1或x≥3}B.{x|x≤1或x>3}
C.{x|x<1或x>3}D.{x|x≤1或x≥3}
答案 B
解析 U＝R，∁UA＝{x|x≤1或x>3}.
题型二 补集的应用
例2
（1）设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5,7}，则a的值为________.
答案 2或8
解析 由U＝{1,3,5,7}，M＝{1，|a－5|}，∁UM＝{5,7}知M＝{1,3}.
∴|a－5|＝3，∴a＝8或2.
（2）已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.
考点 补集的概念及运算
题点 有限集合的补集
解 ∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，
∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.
而∁UB＝{－1,0,2}，
∴B＝∁U（∁UB）＝{－3,1,3,4,6}.
反思感悟 从Venn图的角度讲，A与∁UA就是圈内和圈外的问题，由于（∁UA）∩A＝∅，（∁UA）∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.
跟踪训练2
（1）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2a＋1}，若A∩（∁RB）＝∅，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________.
答案 {a|a<0}
解析 ∁RB＝{x|x≤2a＋1}.
由A∩（∁RB）＝∅，
∴2a＋1<1，∴a<0.
（2）设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.
答案 －3
解析 ∵U＝{0,1,2,3}，∁UA＝{1,2}，
∴A＝{0,3}.
∴0,3是x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
题型三 集合的综合运算
例3
（1）已知全集U＝
，集合P＝
，Q＝
，则（∁UP）∪Q等于（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 C
解析 ∵∁UP＝
，
∴（∁UP）∪Q＝
.
（2）已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪（∁RB）＝R，则实数a的取值范围是________.
考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题
答案 {a|a≥2}
解析 ∵∁RB＝{x|x<1或x>2}且A∪（∁RB）＝R，
∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.
反思感悟 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集合混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴.
跟踪训练3
（1）已知M，N为集合I的非空真子集，且M≠N，若N∩（∁IM）＝∅，则M∪N等于（ ）
A.MB.NC.ID.∅
答案 A
解析 如图所示，因为N∩（∁IM）＝∅，所以N⊆M，所以M∪N＝M.
（2）设集合A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}.
①求a的值及A，B；
②设全集U＝A∪B，求（∁UA）∪（∁UB）；
③设全集U＝A∪B，写出（∁UA）∪（∁UB）的所有子集.
解 ①因为A∩B＝{2}，所以2∈A，且2∈B，代入可求得a＝－5，所以A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝
，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5,2}.
②由①可知U＝
，所以∁UA＝{－5}，∁UB＝
，
所以（∁UA）∪（∁UB）＝
.
③由②可知（∁UA）∪（∁UB）的所有子集为∅，{－5}，
，
.
根据补集的运算求参数
典例
（1）设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m.
解 ∵∁UA＝{5}，
∴5∈U且5∉A，
∴
由m2－m－1＝5，得m2－m－6＝0，
∴m＝－2或m＝3.
①当m＝－2时，|3－2m|＝7≠5，
此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，
不符合要求，舍去；
②当m＝3时，|3－2m|＝3，
此时，U＝{3,5,6}，A＝{3,6}满足∁UA＝{5}.
综上所述m＝3.
（2）已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}，且A⊆（∁UB），求实数a的取值范围.
解 若B＝∅，则a＋1>2a－1，即a<2，此时∁UB＝R，所以A⊆（∁UB）.
若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁UB＝{x|x2a－1}，
又A⊆（∁UB），所以a＋1>5或2a－1<－2，所以a>4或a<－
（舍去）.
所以实数a的取值范围为{a|a<2或a>4}.
[素养评析]
（1）由集合的补集求解参数的方法
①有限集：
由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解.
②无限集：
与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解.
（2）理解运算对象，掌握运算法则，选择运算方法，求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.
1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于（ ）
A.UB.{1,3,5}C.{3,5,6}D.{2,4,6}
考点 补集的概念及运算
题点 有限集合的补集
答案 C
2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U（A∪B）等于（ ）
A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 D
3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T等于（ ）
A.{x|－2C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}
考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
答案 C
4.设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则（∁UM）∪N＝________.
答案 {0,2,3}
5.设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁UA与∁UB的关系是________.
答案 ∁UA∁UB
解析 ∁UA＝{4,5,6，…}，∁UB＝{3,4,5,6，…}，
∴∁UA∁UB.
1.全集与补集的互相依存关系
（1）补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.
（2）∁UA的数学意义包括两个方面：
首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.
2.补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U（∁UA）＝A，求A.
一、选择题
1.已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（ ）
A.{1,2,4}B.{2,3,4}
C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}
考点 交并补集的综合问题
题点 有限集合的交并补运算
答案 C
解析 ∁UA＝{0,4}，所以（∁UA）∪B＝{0,2,4}，故选C.
2.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∪（∁UB）等于（ ）
A.{2}B.{1,3}C.{3}D.{1,3,4,5}
答案 D
3.已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA等于（ ）
A.{x|－22}
C.{x|－2≤x≤2}D.{x|x≤－2或x≥2}
考点 补集的的概念及运算
题点 无限集合的补集
答案 C
解析 ∁UA为数轴上去掉集合A的剩余部分.
4.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A.{4}B.{2,4}
C.{4,5}D.{1,3,4}
答案 A
解析 （∁UB）∩A＝{4,5}∩{2,4}＝{4}.
5.设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩（∁UB）等于（ ）
A.{x|0≤x<1}B.{x|0C.{x|x<0}D.{x|x>1}
答案 B
解析 ∵∁UB＝{x|x≤1}，
∴A∩（∁UB）＝{x|06.若全集U＝{0,1,2,3,4,5}，且∁UA＝{x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有（ ）
A.3个B.4个C.7个D.8个
答案 C
解析 ∁UA＝{x∈N*|1≤x≤3}＝{1,2,3}，
∴A＝{0,4,5}，∴集合A的真子集共有23－1＝7（个）.
7.已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于（ ）
A.0或2B.0C.1或2D.2
考点 补集的概念及运算
题点 由补集运算结果求参数的值
答案 D
解析 由题意，知
则a＝2.
8.已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，A∩（∁UB）＝{9}，则A等于（ ）
A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}
答案 D
解析 画Venn图，由图可知A＝{3,9}.
二、填空题
9.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5}，则∁U（A∩B）＝________.
答案 {1,2,4,5}
10.已知全集U＝{x|－3≤x<2}，集合M＝{x|－1答案 {x|－3≤x<1}
解析 ∵U＝{x|－3≤x<2}，∁UN＝{x|0∴N＝∁U（∁UN）＝{x|－3≤x≤0}.
∴M∪N＝{x|－3≤x<1}.
11.若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________________.
考点 Venn图表达的集合关系及运用
题点 Venn图表达的集合关系
答案 {x|x≤1或x>2}
解析 如图，设U＝A∪B＝R，
A∩B＝{x|1∴阴影部分为∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x>2}.
三、解答题
12.已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪（∁UA）＝R，B∩（∁UA）＝{x|0考点 交并补集的综合问题
题点 无限集合的交并补运算
解 ∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴∁UA＝{x|x<1或x>2}.
又B∪（∁UA）＝R，A∪（∁UA）＝R，
可得A⊆B.
而B∩（∁UA）＝{x|0∴{x|0借助于数轴
可得B＝A∪{x|013.已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}.
（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围.
考点 交并补集的综合问题
题点 与交并补集运算有关的参数问题
解
（1）m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，
A∪B＝{x|－1＜x＜4}.
（2）∁RA＝{x|x≤－1或x＞3}.
当B＝∅时，即m≥1＋3m
得m≤－
，满足B⊆∁RA，
当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立，
则
或
解得m＞3.
综上可知，实数m的取值范围是
.
14.如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.（∁IA∩B）∩C
B.（∁IB∪A）∩C
C.（A∩B）∩（∁IC）
D.（A∩∁IB）∩C
考点 Venn图表达的集合关系及运用
题点 Venn图表达的集合关系
答案 D
解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是（A∩∁IB）∩C.
15.已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}满足（∁RA）∩B＝{2}，A∩（∁RB）＝{4}，求实数a，b的值.
解 由（∁RA）∩B＝{2}和A∩（∁RB）＝{4}，
知2∈B，但2∉A；4∈A，但4∉B.
将x＝2和x＝4分别代入集合B，A中的方程，得
即
解得a＝
，b＝－
.
经检验，a＝
，b＝－
符合题意.
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