集合的基本运算教学设计.docx
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集合的基本运算教学设计
集合的基本运算教学设计
教学设计
1.3 集合的基本运算
整体设计
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：
在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．
三维目标
．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力．
．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．
重点难点
教学重点：
交集与并集、全集与补集的概念．
教学难点：
理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．
课时安排
课时
教学过程
第1课时
尚大志
导入新
思路1．我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？
教师直接点出课题．
思路2．请同学们考察下列各个集合，你能说出集合c与集合A，B之间的关系吗？
A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，c＝{1,2,3,4,5,6}；
A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，c＝{x|x是实数}．
引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．
思路3．①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？
图1
②观察集合A，B与集合c＝{1,2,3,4}之间的关系．
学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：
集合的基本运算．
①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合c.
②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合c.
推进新
新知探究
提出问题
通过上述问题中集合A，B与集合c之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？
用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合c之间的关系．
用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合c之间的关系．
试用Venn图表示A∪B＝c.
请给出集合的并集定义．
求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合c之间有什么关系？
①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，c＝{8}；
②A＝{x|x是国兴中学XX年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学XX年9月入学的高一年级男同学}，c＝{x|x是国兴中学XX年9月入学的高一年级同学}．
类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：
先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示．
讨论结果：
集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合c叫集合A与B的并集．记为A∪B＝c，读作A并B.
所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合c.
c＝{x|x∈A，或x∈B}．
如图1所示．
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示．
集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B＝c，②A∪B＝c.
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
用Venn图表示，如图2所示．
图2
应用示例
例1集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，c＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪c，A∩B∩c分别是什么？
活动：
学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：
因为A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，c＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪c＝{x|x＞0}，A∩B∩c＝.
图3
点评：
本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.
变式训练
．设集合A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.
解：
对任意∈A，则有＝2n＝2•2n－1，n∈N*，因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么∈B，即对任意∈A有∈B，所以A⊆B.
而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.
．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．
解：
满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.
．设集合A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.
解：
∵A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9.
∴a＝10或a＝±3.
当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；
当a＝3时，a－1＝2不合题意；
当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．
故a＝10.此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．
．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于
A．{x|－3＜x＜1}
B．{x|1＜x＜2}
c．{x|x＞－3}D．{x|x＜1}
解析：
集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，
观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．
答案：
A
例2设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
活动：
明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．
解：
由题意得A＝{－4,0}．
∵A∩B＝B，∴B⊆A.
∴B＝或B≠.
当B＝时，即关于x的方程x2＋2x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝42－4＜0，解得a＜－1.
当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝42－4＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x的方程x2＋2x＋a2－1＝0的解是－4,0.
则有－4＋0＝－2，－4×0＝a2－1.
解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
变式训练
．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆成立的所有a值的集合是什么？
解：
由题意知A⊆，即A⊆B，A非空，利用数轴得解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}．
．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|＋1≤x≤2－1}，且A∪B＝A，试求实数的取值范围．
分析：
由A∪B＝A得B⊆A，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．
解：
∵A∪B＝A，∴B⊆A.
又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠.
当B＝时，有＋1＞2－1，∴＜2.
当B≠时，观察图4：
图4
由数轴可得解得2≤≤3.
综上所述，实数的取值范围是＜2或2≤≤3，即≤3.
点评：
本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
知能训练
课本本节练习1,2,3.
【补充练习】
．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，
求A∩B，A∪B.
用适当的符号填空：
A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B.
解：
因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，
则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．
又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．
由Venn图可知
A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B.
．设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B.
解：
因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，
故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．
．设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B.
解：
因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分．
所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝.
．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B.
解：
在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．
．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B.
解：
因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．
．已知＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{|x∈，y∈N}，B＝{|x∈N，y∈}，求A∩B，A∪B.
分析：
，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素．
解：
∵＝{1}，N＝{1,2}，∴A＝{，}，B＝{，}，故A∩B＝{}，A∪B＝{，，}．
．若A，B，c为三个集合，A∪B＝B∩c，则一定有
A．A⊆cB．c⊆Ac．A≠cD．A＝
解析：
思路一：
∵⊆B，⊆c，A∪B＝B∩c，
∴A∪B⊆B，A∪B⊆c.∴A⊆B⊆c.∴A⊆c.
思路二：
取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，c＝{1,2,3}，排除B，D，
令A＝{1,2}，B＝{1,2}，c＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩c，
而此时A＝c，排除c.
答案：
A
拓展提升
观察：
集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
当A＝时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；
当A＝B＝{1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系．
由你发现了什么结论？
图5
活动：
依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系．中的集合A，B均满足A⊆B，用Venn图表示，如图5所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系．
解：
A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.
用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：
A∪B＝B∪A，A⊆，B⊆；A∪A＝A，A∪＝A，A⊆B⇔A∪B＝B；
A∩B＝B∩A；⊆A，⊆B；A∩A＝A；A∩＝；A⊆B⇔A∩B＝A.
课堂小结
本节主要学习了：
．集合的交集和并集．
．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
作业
．课外思考：
对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
．书面作业：
课本习题1.1，A组，6,7,8.
设计感想
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．
第2课时
赵冠明
导入新
问题：
①分别在整数范围和实数范围内解方程＝0，其结果会相同吗？
②若集合A＝{x|0＜x＜2，x∈Z}，B＝{x|0＜x＜2，x∈R}，则集合A，B相等吗？
学生回答后，教师指明：
在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．
推进新
新知探究
提出问题
①用列举法表示下列集合：
A＝{x∈Z|＝0}；
B＝{x∈Q|＝0}；
c＝{x∈R|＝0}.
②问题①中三个集合相等吗？
为什么？
③由此看，解方程时要注意什么？
④问题①中，集合Z，Q，R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．
⑤已知全集U＝{1,2,3}，A＝{1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义．
⑦用Venn图表示∁UA.
活动：
组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．
讨论结果：
①A＝{2}，B＝2，－13，c＝2，－13，2.
②不相等，因为三个集合中的元素不相同．
③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．
④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.
⑤B＝{2,3}．
⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．
集合A相对于全集U的补集记为∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且xA}．
⑦如图6所示，阴影表示补集．
图6
应用示例
思路1
例1设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.
活动：
让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出∁UA，∁UB.
解：
根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}．
点评：
本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．
常见结论：
∁U＝∪；∁U＝∩.
变式训练
．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则∩等于
A．{1,6}
B．{4,5}
c．{2,3,4,5,7}D．{1,2,3,6,7}
解析：
思路一：
观察得∩＝{1,3,6}∩{1,2,6,7}＝{1,6}．思路二：
A∪B＝{2,3,4,5,7}，则∩＝∁U＝{1,6}．
答案：
A
．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩等于
A．{1,2,3,4,5}B．{1,4}
c．{1,2,4}D．{3,5}
答案：
B
．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{3，4,5,6,7}，则P∩等于
A．{1,2}B．{3,4,5}
c．{1,2,6,7}D．{1,2,3,4,5}
答案：
A
例2设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}．求A∩B，∁U．
活动：
学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合，∁U是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．
解：
根据三角形的分类可知A∩B＝，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
∁U＝{x|x是直角三角形}.
变式训练
．已知集合A＝{x|3≤x＜8}，求∁RA.
解：
∁RA＝{x|x＜3，或x≥8}．
．设S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，c＝{x|x是矩形}，求B∩c，∁AB，∁SA.
解：
B∩c＝{x|x是正方形}，∁AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}，∁SA＝{x|x是梯形}．
．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足∩B＝{2}，∩A＝{4}，求实数a，b的值．
解：
a＝87，b＝－127.
．设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋3}，B＝{3,4,5,6}，则∩B等于
A．{4}
B．{4,5,6}
c．{2,3,4}
D．{1,2,3,4}
解析：
∵U＝R，A＝{x|x≤2＋3}，∴∁UA＝{x|x＞2＋3}．而4,5,6都大于2＋3，∴∩B＝{4,5,6}．
答案：
B
思路2
例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：
∁UA，∁UB；
∪，∁U，由此你发现了什么结论？
∩，∁U，由此你发现了什么结论？
活动：
学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．
解：
在数轴上表示集合A，B，如图7所示，
图7
由图得∁UA＝{x|x＜－2，或x＞4}，∁UB＝{x|x＜－3，或x＞3}．
由图得∪＝{x|x＜－2，或x＞4}∪{x|x＜－3，或x＞3}＝{x|x＜－2，或x＞3}；∵A∩B＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，
∴∁U＝∁U{x|－2≤x≤3}＝{x|x＜－2，或x＞3}．
∴得出结论∁U＝∪．
由图得∩＝{x|x＜－2，或x＞4}∩{x|x＜－3，或x＞3}＝{x|x＜－3，或x＞4}；∵A∪B＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，∴∁U＝∁U{x|－3≤x≤4}＝{x|x＜－3，或x＞4}．∴得出结论∁U＝∩.
变式训练
．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则∪等于
A．{1,6}
B．{4,5}
c．{1,2,3,4,5,7}D．{1,2,3,6,7}
答案：
D
．设集合I＝{x||x|＜3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪等于
A．{1}
B．{1,2}c．{2}
D．{0,1,2}
答案：
D
例2设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩＝{3,5}，∩B＝{7,19}，∩＝{2,17}，求集合A，B.
活动：
学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．
解：
U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
由题意借助于Venn图，如图8所示，
图8
∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
点评：
本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.
变式训练
．设I为全集，，N，P都是它的子集，则图9中阴影部分表示的集合是
图9
A．∩[∩P]
B．∩
c．[∩]∩P
D．∩N∪
解析：
思路一：
阴影部分在集合内部，排除c；阴影部分不在集合N内，排除B，D.
思路二：
阴影部分在集合内部，即是的子集，又阴影部分在P内不在集合N内，即在∩P内，所以阴影部分表示的集合是∩[∩P]．
答案：
A
．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∩B＝{3,7}，∩A＝{2,8}，∩＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.
解析：
借助Venn图，如图10，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B了．
图10
答案：
{2,4,8,9} {3,4,7,9}
知能训练
课本本节练习4.
【补充练习】
．设全集U＝R，A＝{x|2x＋1＞0}，试用文字语言表述∁UA的意义．
解：
A＝{x|2x＋1＞0}，即不等式2x＋1＞0的解集，∁UA中元素均不能使2x＋1＞0成立，即∁UA中元素应当满足2x＋1≤0.∴∁UA即不等式2x＋1≤0的解集．
．如图11所示，U是全集，，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是________．
图11
解析：
观察图可以看出，阴影部分满足两个条件：
一是不在集合S内；二是在集合，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合，P的交集的交集，即∩．
答案：
∩
．设集合A，B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知∩＝{2}，∩B＝{1}，则A等于
A．{1,2}
B．{2,3}
c．{3,4}
D．{1,4}
解析：
如图12所示．
图12
由于∩＝{2}，∩B＝{1}，则有∁UA＝{1,2}．∴A＝{3,4}．
答案：
c
．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S＝{1,3,5}，T＝{3,6}，则∁U等于
A．B．{2,4,7,8}c．{1,3,5,6}D．{2,4,6,8}
解析：
直接观察，得S∪T＝{1,3,5,6}，则∁U＝{2,4,7,8}．
答案：
B
．已知集合I＝{1,2,3,4}，A＝{1}，B＝{2,4}，则A∪等于
A．{1}B．{1,3}c．{3}D．{1,2,3}
解析：
∵∁IB＝{1,3}，∴A∪＝{1}∪{1,3}＝{1,3}．
答案：
B
拓展提升
问题：
某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：
至少解对其中一题者有多少人？
两题均未解对者有多少人？
分析：
先利用集合表示解对甲、乙两道数学题的各种类型，然后根据
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