第一章第1讲集合的概念与运算.docx

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第一章第1讲集合的概念与运算

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知识点

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集合

1.集合的含义与表示

（1）了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

（3）能使用Venn图表示集合的关系及运算．

简单不等式的解法

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．

2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的函数、方程的联系．

3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.了解命题的概念．

2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．

3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

2．理解全称量词与存在量词的含义．

3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

第1讲　集合的概念与运算

1．集合与元素

（1）集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

　　2.集合间的基本关系

（1）集合关系图解

关系

韦恩（Venn）图表示

符号表示

子集

A⊆B

真子集

AB

集合相等

A＝B

（2）不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

3．集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形语言

符号语言

A∪B＝

{x|x∈A，或x∈B}

A∩B＝

{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝

{x|x∈U，且x∉A}

　　[做一做]

1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则（　　）

A．A⊆B　　　　　　　B．C⊆B

C．D⊆CD．A⊆D

答案：

B

2．（2014·高考北京卷）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{0}B．{0，1}

C．{0，2}D．{0，1，2}

答案：

C

3．（2014·高考浙江卷）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝（　　）

A．∅B．{2}

C．{5}D．{2，5}

解析：

选B.因为A＝{x∈N|x≤－

或x≥

}，

所以∁UA＝{x∈N|2≤x<

}，故∁UA＝{2}．

1．辨明五个易误点

（1）认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件．

（2）要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．

（3）易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

（4）运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

（5）在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

2．巧用两种数学思想

（1）数形结合思想

数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．

（2）转化与化归思想

在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．

[做一做]

4．由a2，2－a，4组成一个三元素集合A，则实数a的值可以是（　　）

A．1B．－2

C．6D．2

答案：

C

5．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．

解析：

∵B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．

答案：

{－1，4}

[学生用书P2～P3]）

__集合的基本概念______________________

（1）（2013·高考山东卷）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　B．3

C．5D．9

（2）已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则（m－n）2015＝________．

[解析]　

（1）当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；

当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；

当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；

当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；

当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．

（2）由M＝N知，

或

，

∴

或

，

故（m－n）2015＝－1或0.

[答案]　

（1）C　

（2）－1或0

　若将本例

（1）中的集合B更换为B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．

解析：

当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.

故集合B＝{（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2）}，即集合B中有6个元素．

答案：

6

[规律方法]　解决集合的概念问题应关注两点

1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．

2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程（组）进行求解，要注意检验是否满足互异性．

　1.已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（　　）

A．1或－1B．1或3

C．－1或3D．1，－1或3

解析：

选B.∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，

∴m＋2＝5或m2＋4＝5，

即m＝3或m＝±1.

当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；

当m＝－1时，M＝{1，1，5}不满足互异性．

∴m的值为3或1.

__集合间的基本关系__________________

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2

C．3D．4

（2）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（　　）

A．（0，1]B．[1，＋∞）

C．（0，1）D．（1，＋∞）

[解析]　

（1）由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，

∴A＝{1，2}．

由题意知B＝{1，2，3，4}，

∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．

（2）法一：

因为A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0，1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）．

因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1，即实数c的取值范围是[1，＋∞）．

法二：

因为A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0，1），取c＝1，则B＝（0，1），所以A⊆B成立，故可排除C，D；取c＝2，则B＝（0，2），所以A⊆B成立，故可排除A.

[答案]　

（1）D　

（2）B

[规律方法]　

（1）判断两集合的关系常有两种方法：

一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

（2）子集与真子集的区别与联系：

集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.

[注意]　题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．

　2.

（1）（2013·高考福建卷）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|a＋1

解析：

（1）∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．

（2）当B＝∅时，有a＋1≥2a－1，

则a≤2.

当B≠∅时，若BA，如图．

则

，解得2

综上，a的取值范围为a≤4.

答案：

（1）A　

（2）（－∞，4]

__集合的基本运算（高频考点）____________

集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题．

高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度：

（1）求集合间的交、并、补运算；

（2）已知集合的运算结果求集合；

（3）已知集合的运算结果求参数的值（或参数的取值范围）．

（1）已知全集U＝R，集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2x≤

}，则A∪B＝（　　）

A．∅B．（0，

]

C．[

，1]D．（－∞，1]

（2）（2014·高考重庆卷）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B＝________．

（3）已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A∩（∁UB）＝________．

（4）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________．

[解析]　

（1）由题意知，A＝（0，1]，B＝（－∞，

]，∴A∪B＝（－∞，1]．故选D.

（2）

U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即（∁UA）∩B＝{7，9}．

（3）∵U＝{1，2，3，4}，∁U（A∪B）＝{4}，

∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．

又∁UB＝{3，4}，∴A∩（∁UB）＝{3}．

（4）A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

由B＝{x|m

[答案]　

（1）D　

（2）{7，9}　（3）{3}　（4）－1　1

[规律方法]　

（1）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．

（2）在解决有关A∩B＝∅时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．

　3.

（1）已知集合A＝{x|y＝

}，B＝{x|

<2x<4}，则（∁RA）∩B等于（　　）

A．{x|－1

C．{x|x<1}D．{x|－2

（2）（2015·河北唐山模拟）集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝（　　）

A．{0，1，2}B．{0，1，3}

C．{0，2，3}D．{1，2，3}

（3）（2015·新乡市一中月考）设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1

A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}

C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}

解析：

（1）选B.因为A＝{x|y＝

}＝{x|x≥0}，所以∁RA＝{x|x<0}．又B＝{x|

<2x<4}＝{x|－1

（2）选D.因为M∩N＝{1}，所以log3a＝1，即a＝3，所以b＝1，即M＝{2，1}，N＝{3，1}，所以M∪N＝{1，2，3}，故选D.

（3）选C.|x－a|<1⇔－1

[学生用书P4]）

交汇创新——集合中的创新问题

以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．

常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．

（1）如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A#B为（　　）

A．{x|0

B．{x|1

C．{x|0≤x≤1或x≥2}

D．{x|0≤x≤1或x>2}

（2）如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．

[解析]　

（1）因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.

（2）由题意可知－2x＝x2＋x，∴x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．

[答案]　

（1）D　

（2）{0，6}

[名师点评]　解决集合创新型问题的方法

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．

（2）用好集合的性质．集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

　1.（2015·安徽安庆一中、安师大附中联考）设集合S＝{A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：

Ai⊕Aj＝Ak，其中k为i＋j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（Ai⊕Aj）⊕Ai＝A0成立的有序数对（i，j）总共有（　　）

A．1对　　　　　　　　B．2对

C．3对D．4对

解析：

选C.i＝1时，j＝1符合要求；i＝2时，j＝2符合要求；i＝3时，j＝3符合要求，所以使关系式（Ai⊕Aj）⊕Ai＝A0成立的有序数对（i，j）有（1，1），（2，2），（3，3），共3对．

2．（2015·广东揭阳模拟）对于集合M，定义函数fM（x）＝

对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA（x）·fB（x）＝－1}．已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________．

解析：

要使fA（x）·fB（x）＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1，6，10，12}，所以A△B＝{1，6，10，12}．

答案：

{1，6，10，12}

1．（2015·河南省洛阳市统一考试）已知集合A＝{1，2，4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（　　）

A．3　　　　　　　　　　B．6

C．8D．9

解析：

选D.集合B中元素有（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4），共9个．

2．已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A．ABB．BA

C．A⊆BD．B⊆A

解析：

选B.由题意知A＝{x|y＝

，x∈R}，∴A＝{x|－1≤x≤1}，∴B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，∴BA，故选B.

3．（2014·高考江西卷）设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．（－3，0）B．（－3，－1）

C．（－3，－1]D．（－3，3）

解析：

选C.由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，

∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．

∴A∩（∁RB）＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．

4．（2015·福建南安一中期末）全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|x<－1或x>2}B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x≤1}D．{x|0≤x≤1}

解析：

选D.阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|－1≤y≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}，故选D.

5．（2015·山东临沂期中）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁UB⊆A，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（－∞，2]

C．[1，＋∞）D．[2，＋∞）

解析：

选D.∵x2－3x＋2>0，∴x>2或x<1.

∴A＝{x|x>2或x<1}，∵B＝{x|x≤a}，

∴∁UB＝{x|x>a}．

∵∁UB⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D.

6．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．

解析：

∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.

答案：

（－∞，1]

7．（2015·江西八校联考）已知R是实数集，集合M＝{x|

<1}，N＝{y|y＝t－2

，t≥3}，则N∩∁RM＝________．

解析：

解不等式

<1，得x<0或x>3，所以∁RM＝[0，3]．令

＝x，x≥0，则t＝x2＋3，所以y＝x2－2x＋3≥2，即N＝[2，＋∞）．所以N∩∁RM＝[2，3]．

答案：

[2，3]

8．已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝

，则∁UA＝________．

解析：

因为A＝

，

当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；

n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；

n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；

n≤－2时，x∉Z.

故A＝{－2，2，1，－1}，

又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{0}．

答案：

{0}

9．已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a的值．

（1）9∈（A∩B）；

（2）{9}＝A∩B.

解：

（1）∵9∈（A∩B），

∴2a－1＝9或a2＝9，

∴a＝5或a＝3或a＝－3.

当a＝5时，

A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}；

当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，不满足集合元素的互异性；

当a＝－3时，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}，

所以a＝5或a＝－3.

（2）由

（1）可知，当a＝5时，

A∩B＝{－4，9}，不合题意，

当a＝－3时，A∩B＝{9}．

所以a＝－3.

10．（2015·河北衡水模拟）设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

（1）求（∁IM）∩N；

（2）记集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

解：

（1）∵M＝{x|（x＋3）2≤0}＝{－3}，

N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，

∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，

∴（∁IM）∩N＝{2}．

（2）A＝（∁IM）∩N＝{2}，

∵A∪B＝A，∴B⊆A，

∴B＝∅或B＝{2}，

当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；

当B＝{2}时，

，解得a＝3，

综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．

1．（2015·河南郑州模拟）已知集合A＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈R}，B＝{（x，y）|x2＋y2＝1，x，y∈R}，则集合A∩B的元素个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选C.法一：

（解方程组）集合A∩B的元素个数即为方程组

解的个数，

解方程组得

或

有两组解，故选C.

法二：

（数形结合）在同一坐标系下画出直线x＋y－1＝0和圆x2＋y2＝1的图象，

如图，直线与圆有两个交点．即A∩B的元素个数是2，故选C.

2．已知数集A＝{a1，a2，…，an}（1≤a1

对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与

两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（　　）

A．{1，3，4}为“权集”

B．{1，2，3，6}为“权集”

C．“权集”中可以有元素0

D．“权集”中一定有元素1

解析：

选B.由于3×4与

均不属于数集{1，3，4}，故A不正确；由于1×2，1×3，1×6，2×3，

，

，

，

，

，

都属于数集{1，2，3，6}，故B正确；由“权集”的定义可知

需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误，故选B.

3．已知集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x2－（2m－3）x＋m（m－3）≤0，m∈R}，若A∩B＝[2，4]，则实数m＝________．

解析：

由题知A＝[－2，4]，B＝[m－3，m]，因为A∩B＝[2，4]，故

，则m＝5.

答案：

5

4．某校田径队共30人，主要专练100m，200m与400m．其中练100m的有12人，练200m的有15人，只练400m的有8人．则参加100m的专练人数为________．

解析：

用Venn图表示

A代表练100m的人员集合，

B代表练200m的人员集合，

C代表练400m的人员集合，

U代表田径队共30人的集合，

设既练100m又练200m的人数为x，则专练100m的人数为12－x.

∴12－x＋15＋8＝30，

解得x＝5.

所以专练100m的人