矩阵的分块及应用.docx
《矩阵的分块及应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵的分块及应用.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
矩阵的分块及应用
矩阵的分块及应用
武夷学院毕业设计（论文） 矩阵的分块及应用 院 系：
专业：
姓名：
学号:
指导教师：
职称：
完成日期：
数学与计算机系计算机科学与技术 陈航20073011014魏耀华教授 年月日 武夷学院教务处制 摘 要 矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。
分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。
分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。
讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。
通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。
关键词:
分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。
I Abstract Partitionedmatricesmeandividingabigmatrixintothesmallmatrices accordingtothecertainrule.Itisacommontechniqueandmethodinmatrixoperation.Thetheoriesofpartitionedmatriceshavenotonlyawiderangeofapplicationsinengineeringandproduction,butalsoplayanimportantroletotheprocessforseekingmatrixproductandthevalueofdeterminantandinversematrixandrankofmatrixandthecharacteristicinlinearalgebra.Elementarytransformationofpartitionedmatricesisanimportanttooltodealwiththepartitionmatrix.Also,itisveryimportantforlinearalgebra.Thepaperdiscussedtheconceptofthepartitionmatrixandtheoperationofthepartitionmatrixandthepropertyofthepartitionmatrixandtheblock-elementarymatrix.Thenitsummarizedsomeapplicationsofthepartitionmatrix.Thoseapplicationswererelativetotherankofmatrixandinversematrixanddeterminantandpositivedefinitematrixandpositivesemi-definitematrixetc.Byquotinganumberofexampleswecouldgetthatitsconvenienttosolvemanyproblemsaboutcalculationandprovementbyusingblockmatrices. Keywords:
partitionedmatrices;elementarytransformation;caculate;inversematrix;prove。
II 目录 1概 述.....................................................12分块矩阵及其性质...............................................3 分块矩阵....................................................3分块矩阵的定义.............................................3运算规则..................................................3分块矩阵的性质及其推论........................................33分块矩阵在证明方面的应用........................................7分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用.............................7分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用............................7分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用.........................8分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用........................10 关于矩阵列（行）向量线性相关性.................................10 矩阵的分解..............................................114分块矩阵在计算方面的应用......................................13分块矩阵在求逆矩阵方面的应用..................................13分块矩阵在行列式计算式方面的应用..............................16矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算..............................16矩阵A?
B,C?
D时行列式|H|的计算.............................19 结 论.......................................................21谢 辞.......................................错误！
未定义书签。
阵求矩阵的行列式的问题,用分块矩阵求矩阵的秩的问题,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题等.如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：
已知秩?
AB?
≤秩?
A?
且秩?
AB?
≤秩?
B?
可证得秩?
AB?
≤min{秩?
A?
秩?
B?
}. AAB利用分块矩阵，可以求高阶行列式.如设A、C、都是n阶矩阵,其中?
0, ?
AD?
BCAD并且AC?
CA,则可求得CD. 利用分块矩阵，可以给出利用分块矩阵计算行列式的 H?
C B不同方法， 可分几方面讨论，如当矩阵A或B可逆时；当矩阵A?
B,C?
D时；当A与C或者B与 C可交换时；当矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时的行列式的计算. 分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明诸多问题将会显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性. 将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来的很大的便利. 2 2分块矩阵及其性质 分块矩阵 分块矩阵的定义 ?
A11A12?
A1t?
?
A?
A?
A21222t?
?
?
?
?
?
?
用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵：
?
?
As1As2?
Ast?
?
?
?
其中每个小矩阵快矩阵[2]. 运算规则 ?
1?
（Aij）st?
（Bij）st?
（Aij?
Bij）st ?
2?
（Aij）Tst?
（AjiT）ts tAikBkj（i?
1,...s,j?
1,...t）?
3?
（Aij）st（Bij）tp?
（Cij）sp，Cij?
?
k?
1 ?
4?
k（Aij）st?
k（Aij）st（k是数量） 在用规则1）时，A与B的分块方法须完全相同；用性质3）时，A的列的分法与B的行的分法须相同. 分块矩阵的性质及其推论 在行列式计算中,我们经常用到下面三条性质[3]:
Aij（i?
1,?
s;j?
1,?
t.）叫做A的一个子块；分成子块的矩阵叫做分 ?
1?
若行列式中某行有公因子,则可提到行列式号外面; ?
2?
把行列式中的某行乘上某一个非零数,加到另一行中去,其值不变; ?
3?
把行列式中的某两行互换位置,其值变号; 利用矩阵的分块,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广. ?
A1A2A3?
?
BBB?
性质1 设方阵A是如下分块矩阵组成 23?
?
1?
CC2C3?
?
A?
?
1?
?
其中A1,A2,于矩阵 3 A3B1B2B3C1C2C3,,,,,,都是s?
t矩阵,又M是任一s级方阵.对 ?
A1?
MB?
1?
C B?
?
1则 B?
MA0?
?
A1A2A3?
?
Es0?
0E?
?
BBB?
M0ss2,则3?
证明?
设为级单位矩阵?
?
1?
00Es?
?
?
?
C1C2C3?
?
?
B?
?
E00s于是0B?
0A2MB2C2A3?
MB3?
?
C3?
?
?
?
?
Es?
0?
?
?
00M00?
0?
?
AEs?
?
0EsA?
EsMEsA?
MA?
A1A2A3?
?
BBB?
性质2设矩阵A是如下分块矩阵组成2 3?
?
1?
CC2C3?
?
A?
?
1M0?
?
AB2,B3,C1,C2,C3都是s?
t矩阵,又M是任一s阶方阵.其中A1,A2,?
3,B1,AA2A3?
1?
B?
MCB?
MCB?
MC?
D?
23对于矩阵 ?
1?
?
?
C1C2C3?
?
?
?
则 AD?
Es?
00?
?
A1A2A3?
?
0E?
?
BBB?
0证明 s2AA23?
?
?
?
?
11?
?
?
0?
0MCEs?
CBC12C23?
?
B3?
?
?
B?
MC1?
?
C1C2?
?
?
MC?
?
?
C3?
A3E 其中s是s级单位矩阵,对上式两边同时取行列式得 A?
D?
A1A2A3?
?
B1B2B3?
?
B?
?
’B3?
AAAAA性质?
31B设方阵和写成如下形式2123?
?
?
?
C1C2C3?
?
A’?
?
?
C1C2C3?
?
A?
?
AsBC3为偶数时|AA2|,当1,其中A?
,B1,B2,3,C1,C2,3都是s×t矩阵，则 ?
’?
|A|，当s为奇数时|A|?
?
’BA证明A可A中的B1,B2,3与A1,A2,3相应的两行对换而得到,而对换行 列式的两行,行列式反号,故当s为偶数时 ’A|A|?
当s为奇时‘A|A|?
- 4 可以证明,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时,这些性质不仅对行成立,对列也同样成立. 下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. 推论1设A,B都是n阶方阵,则有 AB?
AB ?
?
ABA作2n阶行列式 证明C?
0E拉普拉斯展开定理得C?
ABE?
AB ABA2AB?
ABA0,有A 又性质并应用于列的情况1?
2?
?
?
n?
（n?
1）?
?
?
2nA?
B?
AB0E?
0?
EBE?
?
BE?
（?
1） A,则有B 推论2设A,B都是n阶方阵a00?
00bBA?
A?
BA?
B ?
?
0a0?
0b000a?
b00ABA?
根据定性质BBA?
2B并应用于列的情况B 证明,有 ?
?
?
?
?
?
?
a00?
0?
0B00?
b?
?
?
A?
BBA?
B?
?
AA?
0A?
B?
A?
0ba?
0a?
00?
0?
000 ?
00?
0?
?
a0?
?
0ba?
0?
0?
b2nb00?
a0 例10计算?
0阶行列式?
a0?
00a?
?
0?
?
a?
?
b0?
?
b?
0?
?
0?
00?
a?
?
D?
b0?
?
?
?
?
0b0?
0 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b00?
0b?
b?
0a00?
解令A?
A?
0B000a?
0B?
?
aDA?
BA?
B?
b0?
0a?
b0?
0a则?
BA?
nn22n（a?
b）（a?
b）（a?
b）?
= AB,其中A≠0,并且AC?
CA,则有 推论3设A,B,C,D都是n阶方阵AD?
CB CD?
?
?
?
AB?
?
CD?
?
1?
1ACCA?
CA?
的A证明根据性质2,因为存在,并注意到=,用乘矩阵?
?
A?
CA?
1B?
第一行后加到第二行中去得 ?
?
?
1?
0D?
CAB?
A?
CA?
1BAB从而CD?
0D?
CA?
1B 5 AD?
CAB ?
3112AD?
ACA?
1BAD?
CAA?
1BAD?
CB?
= 24341计算行列式023例2P0114= 解A设BP?
CD ?
1 ?
12?
?
34?
?
?
C?
?
10?
?
01?
?
?
D?
?
23?
?
14?
?
?
?
31?
其中 ?
24?
?
B?
A?
?
计算知 A?
100≠且 AC?
CA 611所以 P?
AD?
CB?
518?
53 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又这三个新的性质得到了三个结论.设A,B,C,D都是n级方阵则有ABAB?
AB ?
?
?
?
BA?
A?
BA?
B AB AD?
CB CD?
?
?
结结论?
?
告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积论?
?
则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A,B,B,A时， A?
BA?
B那么我们可以转换为求，这样我们就把求2n级的行列式转换成了求n级的 行列式.结论?
?
同样也说明那个当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A,B,C,D时，我们可以转换为求AD?
CB，同样将一个2n级的行列式转换成了n级的行列式.这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例1和例2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样，因此我们在解行列式计算题时应首先观察其特点，一但发现有以上行列式的特点,即可用之. 6
第3章分块矩阵在证明方面的应用 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用 定理1秩?
AB?
≤秩?
A?
且秩?
AB?
≤秩?
B?
则秩?
AB?
≤min{秩A,秩B}[4]证明令Cm?
s=Am?
n?
Bn?
s，A?
?
a1,a2?
an?
C?
?
?
1,?
2?
?
s?
则 （?
1,?
2?
?
s）?
?
a1,a2?
an?
?
b11b12?
b?
21b22?
?
?
?
?
bn1bn2?
b1s?
?
b2s?
?
?
?
?
?
?
bns?
∴ ?
1?
b11a1?
b21a2?
?
?
bn1an?
2?
b12a1?
b22a2?
?
?
bn2an?
?
?
s?
b1sa1?
b2sa2?
?
?
bnsan ∴?
1,?
2?
?
s?
1?
可a1,a2?
an?
2?
线性表示∴秩?
I?
≤秩?
II?
即秩?
C?
?
秩?
AB?
≤秩?
A?
令 ?
n1?
?
n?
2C?
?
?
，Ｂ?
?
?
?
?
?
?
nm?
所以 ?
?
1?
?
?
?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
n?
?
a1n?
?
?
1?
?
?
?
?
a2n?
?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
amn?
?
?
n?
?
n1?
?
a11?
n?
?
a?
2?
?
?
21?
?
?
?
?
?
?
?
?
nm?
?
am1即 a12a22?
am27 ?
1?
a11?
1?
a21?
2?
?
?
an1?
n?
2?
a12?
1?
a22?
2?
?
?
an2?
n?
?
?
s?
am1?
1?
am2?
2?
?
?
amn?
n ∴?
1,?
2?
?
m?
3?
可?
1,?
2?
?
n?
4?
线性表示 ∴秩?
III?
?
秩?
IV?
即秩?
C?
?
秩?
AB?
?
秩?
B?
即秩?
AB?
?
min{秩?
A?
，秩?
B?
} 定理2设A、B都是n级矩阵，若AB?
0则秩?
A?
?
秩?
B?
?
n[5].证明对B分块如下:
B?
?
B1B2?
Bn?
于 AB?
0 即 ?
AB1AB2?
ABn?
?
0 即 ABi?
0?
i?
1,2,?
n?
说明B的各列Bi都是AX?
0的解.从而 秩?
B1B2?
Bn?
?
基础解系?
n?
秩?
A?
即 秩?
A?
?
秩?
B?
?
n 分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用 例1设A、B都是n阶矩阵,求证:
秩?
AB?
A?
B?
?
秩?
A?
+秩?
B?
[6]证明因为 ?
?
AAB?
A?
B?
?
AAB?
A?
?
OB?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
E?
（2）?
（1）?
?
?
OB?
?
（1）?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（?
B?
E）?
（2）?
?
A?
O所以 8 O?
B?
?
?
E?
E?
?
A?
OE?
?
O?
?
?
因为 AB?
A?
B?
?
B?
?
E?
B?
E?
?
AO?
=?
?
E?
?
E?
?
OB?
?
?
E?
E?
?
E?
B?
E?
?
OE?
，?
E?
都可逆E?
?
?
?
所以 ?
A秩?
?
O而 AB?
A?
B?
?
AO?
=秩?
?
?
B?
?
OB?
?
A秩?
?
OAB?
A?
B?
?
?
秩?
AB?
A?
B?
B?
?
AO?
秩?
=秩A+秩B?
?
OB?
所以 秩?
AB?
A?
B?
≤秩?
A?
+秩?
B?
例2设A为m?
n矩阵,As是从A中取s行得到的矩阵,则 [7] 秩?
As?
?
秩?
A?
?
s?
m 证明不妨设As是A的前行,而后m?
s行构成的的矩阵为B,则 ?
A?
?
A?
?
0?
A?
?
s?
?
?
s?
?
?
?
?
B?
?
0?
?
B?
又显然有 秩?
A?
B?
?
秩?
A?
+秩?
B?
于是 ?
A?
?
0?
秩?
A?
?
秩?
s?
+秩?
?
?
秩?
As?
?
m?
s ?
0?
?
B?
证毕. 利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级数的矩阵来证明，如例1；另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明. 9 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的有着广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视它重要的一点---矩阵分块的作用.本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用. 关于矩阵列（行）向量线性相关性 命题1[8]矩阵A的列线性无关的充分必要条件是AX?
0只有零解. 证明令A?
?
A1,A2?
Ak?
其中Ai?
i?
1,2?
?
?
k?
是A的列向量，且 a1A1?
a2A2?
?
?
akAk?
0?
ai为实数i?
1,2,?
?
?
k?
即 ?
A1,A2,?
Ak?
也即 ?
a1?
?
a?
?
2?
?
0?
?
?
?
?
?
ak?
?
a1?
?
a?
A?
2?
?
0?
?
?
?
?
?
ak?
若A1,A2?
Ak线性无关,则有a1=a2?
?
?
ak?
0,AX?
0只有零解，反之亦成立. 例3矩阵B列线性无关,BC?
A求证:
C列线性无关的充要条件是A列线性无关.证明充分性.要使CX?
0,即B?
AX?
?
0，记AX?
Y,则BY?
0,∵B列无关，须 Y?
0,即AX?
0,又A列无关，须X?
0，从而C列无关. 必要性.要使AY?
0，两边左乘B，则BAY?
0，即CY?
0，∵C列无关，∴Y?
0，从而A列无关. 推论设Ank?
0，
（1）A的列线性相关（即?
?
A?
?
k）的充要条件是存在Bkm≠0,使AB?
0;
（2）Ank的行线性相关（即?
?
A?
?
n）的充要条件是存在C≠0,使CA?
0. 证明?
?
?
设有Bkm?
0，B?
（b1,b2,?
bm）,bi为B的列向量,i=1,2,?
m,且 10 bj?
0，使AB=0，即?
0，∵bj?
0，而啊bj?
0,命题1，A的列线性相关. ?
?
?
设 A的列线性相关.命题1，存在b?
0使Ab?
0，作B?
，则 B?
0，故AB?
0. 类似可证
（2）. 矩阵的分解 命题2[9]设?
（Ank）?
?
?
Mn?
N?
k,?
（M）?
?
（N）?
?
?
使则A?
MN; ?
Rnk,Skk,?
（R）?
?
（S）?
?
使则A?
RS; ?
Rnn,Snk,?
（R）?
?
（S）?
?
使A?
RS. 证明Pnn,Qkk,P?
0,Q?
0,使 ?
IPAQ?
?
?
?
00?
?
0?
nk?
I∴A?
P?
1?
?
?
0将P?
1与Q?
1作如下分块:
0?
?
1Q?
0?
?
N?
P?
1?
?
Mn?
L?
，Q?
1?
?
?
k?
?
H?
则 ?
IA?
?
M,L?
?
?
?
0?
I令Pnn?
P?
1?
?
?
0?
I令Pnn?
P?
1?
?
?
0因为 0?
?
N?
?
H?
?
MN?
0?
?
?
0?
?
I?
?
0?
?
nk?
00?
0?
?
kk0?
?
I?
，∵?
00?
?
?
nn0?
?
I?
?
?
0?
?
nk?
00?
?
I?
?
S，kk?
00?
?
nk?
0?
?
1Q即得,?
0?
kkA?
RS ?
I?
?
0?
0?
?
I?
?
?
0?
?
nk?
00?
0?
?
nn?
I?
?
0?
11 0?
?
I?
?
S,nk?
00?
?
nk?
0?
?
1Q?
0?
即得, A?
RS. 矩阵的列向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列都可看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解问题也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决. 12 第4章分块矩阵在计算方面的应用 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 ?
AB?
命题1[10]设P?
?
是一个四分块方阵，其中B为r阶方阵,C为k阶方阵,当?
?
CD?
B与（C?
DB?
1A）都是可逆矩阵时，则P是可逆矩阵，并且 P?
1?
?
（C?
DB?
1A）?
1DB?
1?
?
?
1?
1?
1?
1?
1?
B?
BA（C?
DBA）DB?
（C?
DB?
1A）?
1?
?
B?
1A（C?
DB?
1A）?
1?
?
1特例?
1?
当A?
0，D?
0，B与C都可逆时，有P?
0C?
1?
?
?
?
1?
. 0?
?
B?
?
C?
1DB?
1C?
1?
?
?
?
?
1B0?
?
?
0?
?
?
1?
BC?
1?
?
1?
1?
?
BAC?
?
2?
当A?
0，D?
0，B与C都可逆时，有P?
1 ?
3?
当A?
0，D?
0，B与C都可逆时，有P?
1证明设P可逆，且P?
1?
X?
?
?
ZY?
，其中Y为k阶方阵，Z为r阶的方阵.则应有W?
?
Y?
W?
?
?
AB?
?
CD?
?
E?
?
?
XP?
1P?
?
?
Z即 ?
XA?
YC?
ZA?
WC?
于是得到下面的等式 XB?
YD?
?
Ek?
?
ZB?
WD?
?
?
00?
， Er?
?
（）（）（）（） ?
XA?
YC?
Ek?
?
XB?
YD?
0?
?
ZA?
WC?
0?
ZB?
WD?
E?
r因为B可逆，用B?
1右乘?
?
式可得 13 X?
YDB?
1 代入?
?
式得 Y?
（C?
DB?
1A）?
1 则 X?
?
（C?
DB?
1A）?
1DB?
1. 用B右乘?
?
式可得 Z?
升级会员 