9、折叠矩形纸片ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,折痕AE的长（）
A.5√5cmB.5√3cmC.12cmD.13cm
10.如图,∠AOB=45∘,∠AOB内有一定点P,且OP=10.在OA上有一动点Q,OB上有一动点R.若△PQR周长最小,则最小周长是（）
A.10B.10√2C.20D.20√2
2、填空题（每题4分，共24分）
11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若BC=4cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是______cm.
12、关于x的方程3x−2m=x+5的解为正数，则m的取值范围是___.
13.如图，△ABC中,∠BAC=98°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∠FAN=___.
14、如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE=10，AE=16，则BE的长度为______.
第13题图第14题图第16题图
15、在一次“人与环境”知识竞赛中，共有25个题，每题四个答案，其中只有一个答案正确，每选对一题得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要答对______题。
16、如图,已知Rt△OBA，∠ABO=30∘，OA=2，两条直角边重叠在互相的垂直的两条直线上，线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在直线AO上运动,如果PQ=2√3,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（本题6分）解下列不等式（组）
（1）3-4（2x+3）<3（x-2）+5
（2）不等式组
18.（本题6分）先填空，后作图：
（1）到一个角的两边距离相等的点在它的上；
（2）到线段两端点距离相等的点在它的上；
（3）如图,两条公路AB与CB,C、D是两个村庄,现在要建一个菜市场,使它到两个村庄的距离相等,而且还要使它到两条公路的距离也相等,用尺规作图画出菜市场的位置（不写作法,保留作图痕迹）.
19.
（本题6分）如图，已知在△ABC中，∠ABC=65°，AB=AC，∠BAD=20°，AD=AE，求∠EDC的度数。
20.
（本题6分）如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且DF=DC。
（1）求证：
BD=AD；
（2）若AF=1，DC=3，求BF的长。
21.（本题10分）随着人们生活质量的提高，净水器已经走入了普通百姓家庭，为筹备双十一节，某电器公司准备购进每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，
（1）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台?
（2）公司准备把A、B两种型号的净水器的售价分别定为2500元和2100元，在
（1）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标?
若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由。
22.（本题10分）如图，△ABC和△ACD都是边长为2厘米的等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以0.5厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以1厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动。
设P、Q运动的时间为t秒
（1）当t=2时，PQ=___；
（2）求点P、Q从出发到相遇所用的时间；
（3）当t取何值时，△APQ是等边三角形；请说明理由；
23.（本题10分）如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：
λA=
．特别地，当点D、E重合时，规定：
λA=0．另外，对λB、λC作类似的规定．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求λA、λC；
（2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且λA=2，面积也为2；
24.（本题12分）在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠A=30∘，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E.
（1）如图1，连接EC，求证：
△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合）,以BM为一边,在BM的下方作
∠BMG=60∘，MG交DE延长线于点G.求证：
AD=DG+MD；
（3）点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60∘，NG交DE延长线于点G.请在图3中画出图形，并直接写出ND，DG与AD数量之间的关系
解析
一、选择题CDDCDCCBAB
1、考点：
轴对称图形
分析：
根据轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
解答：
图
（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图
（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义。
不符合题意；
图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意。
故轴对称图形有4个。
故选C.
2、考点：
三角形三边关系
分析：
根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解
解答：
A.∵5+6<11，∴不能组成三角形，故A选项错误；
B.∵8+8=16，∴不能组成三角形，故B选项错误；
C.∵5+4<10，∴不能组成三角形，故C选项错误；
D.∵6+9>14，∴能组成三角形，故D选项正确。
故选：
D.
3、考点：
等边三角形的判定
分析：
根据等边三角形的判定判断．
解答：
①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④一腰上的中线也是这条腰上的高，则等腰三角形的另外一条腰与底边相等，则三条边都相等，这个三角形是等边三角形，正确。
故选D.
4、考点：
等腰三角形的性质
分析：
分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数．
解答：
①当为锐角三角形时可以画图，如图①，
高与右边腰成40∘夹角,由三角形内角和为180∘可得,顶角为50∘；
②当为钝角三角形时可画图为如图②，
此时垂足落到三角形外面,因为三角形内角和为180∘，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50∘,所以三角形的顶角为130∘，
所以该等腰三角形的顶角为50∘或130∘，
故选C.
5、考点：
不等式的性质
分析：
根据不等式的性质，可得答案．
解答：
A.c<0时，不等号的方向改变，故A不符合题意；
B.m<0时，不等号的方向改变，故B不符合题意；
C.z=0时,az2=bz2，故C不符合题意；
D.两边都除以同一个正数，不等号的方向不变，故D符合题意；
故选：
D.
6、考点：
等腰三角形的性质，非负数的性质：
绝对值，非负数的性质：
算术平方根，三角形三边关系
分析：
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
解答：
根据题意得，x−3=0，y−6=0，
解得x=3，y=6，
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，
②3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，
能组成三角形，周长=3+6+6=15，
所以，三角形的周长为15.
故选C.
7、考点：
全等三角形的判定
分析：
根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
解答：
A.已知AB=DE,再加上条件BC=EC,∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B.已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C.已知AB=DE,再加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D.已知AB=DE,再加上条件∠B=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：
C.
8、考点：
一元一次不等式组的整数解
分析：
首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
解答：
8∵不等式组有四个整数解
∴整数解为9、10、11、12
∴12<2-4a≤13
∴
≤a<
故选B
9、考点：
翻折变换（折叠问题）
分析：
首先根据勾股定理求出BF的长度，进而求出CF的长度；再根据勾股定理求出EF的长度问题即可解决．
解答：
由题意得：
AF=AD,EF=DE（设为x），
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF=AD=BC=10,DC=AB=8;∠ABF=90∘；
由勾股定理得：
BF2=102−82=36，
∴BF=6，CF=10−6=4；
在直角三角形EFC中，
由勾股定理得：
x2=42+（8−x）2，
解得：
x=5，
∴AE2=102+52=125，
∴AE=5√5（cm）.
故选A.
10、考点：
轴对称-最短路线问题
分析：
作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ=P1Q，PR=P2R，从而得到△PQR的周长=P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，再求出△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
解答：
如图,作点P关于OA的对称点P1,关于OB的对称点P2,连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，
所以,PQ=P1Q,PR=P2R，
所以,△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，
由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，
连接P1O、P2O,则∠AOP=∠AOP1,OP1=OP,∠BOP=∠BOP2,OP2=OP，
所以,OP1=OP2=OP=10,∠P1OP2=2∠AOB=2×45∘=90∘，
所以,△P1OP2为等腰直角三角，
所以,P1P2=√2OP1=10√2，
即△PQR最小周长是10√2.
故选B.
二、填空题
11、312、m>−
13、16∘14、12
15、1916、8
11、答案:
3
考点：
角平分线的性质，勾股定理
分析：
先根据勾股定理求出CD的长，再过D作DE⊥AB于E，由已知条件，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
解答：
解:
∵Rt△BCD中，BC=4cm，BD=5cm，
∴CD=
=3cm，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90∘，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm.
12、答案:
m>−
考点：
解一元一次不等式,一元一次方程的解
分析：
先求出方程的解，得出关于m的不等式，求出即可．
解答：
解方程3x−2m=x+5得：
x=m+52，
∵方程3x−2m=x+5的解为正数，
∴m+
>0，
解得：
m>−
，
13、答案：
16∘
考点：
线段垂直平分线的性质
分析：
根据三角形内角和等于180°求出∠B+∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，AN=CN，根据等边对等角的性质可得∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，然后求解即可．
解答：
∴∠B+∠C=180∘−98∘=82∘，
∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴AF=BF，AN=CN，
∴∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，
∴∠FAN=∠BAC−（∠BAF+∠CAN）=∠BAC−（∠B+∠C）=98∘−82∘=16∘，
故答案为：
16∘.
14、答案：
12
考点：
勾股定理，直角三角形斜边上的中线
分析：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：
∴AB=2DE=2×10=20，
在Rt△ABE中,BE=
=12.
故答案为：
12.
15、答案：
19
考点：
一元一次不等式的应用
分析：
求至少要答对的题数，首先应求出在竞赛中的得分，然后根据题意在竞赛中的得分不低于60列出不等式，解答即可．
解答：
设他至少应选对x道题，则不选或错选为25−x道题。
依题意得4x−2（25−x）⩾60
得x⩾1813
又∵x应为正整数且不能超过25
所以：
他至少要答对19道题。
16、答案：
8
考点：
轨迹，坐标与图形性质
分析：
首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：
①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．
解答：
在Rt△AOB中,∵∠ABO=30∘，AO=2，
∴AB=4,BO=2√3
①当点P从O→B时,如图1、图2所示,点Q运动的路程为2√3，
②如图3所示,QC⊥AB,则∠ACQ=90∘，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，
当点P从B→C时，
∵∠ABO=30∘
∴∠BAO=60∘
∴∠OQD=90∘−60∘=30∘,
∴cos30∘=CQAQ，
∴AQ=CQcos30∘=4，
∴OQ=4−2=2，
则点Q运动的路程为QO=2，
③当点P从C→A时,如图3所示,点Q运动的路程为QQ′=4−2√3，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=2，
∴点Q运动的总路程为：
2√3+2+4−2√3+2=8,
17.考点：
解一元一次不等式,解一元一次不等式组
分析：
（1）通过移项化解即可．
（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
解答：
（1）∵3-4（2x+3）<3（x-2）+5
∴3-8x-12<3x-6+5
∴-8x-3x<-6+5+12-3
∴-11x<8
∴x>
（2）
∵解不等式①得：
x>−6，
解不等式②得：
x<6，
∴不等式组的解集为−618、考点：
[作图—应用与设计作图,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质]
分析：
（1）根据角平分线的性质填空即可；
（2）根据线段垂直平分线定理填空即可；
（3）作出∠ABC的角平分线BE，与线段CD的垂直平分线有一交点就是菜市场的位置．
解答：
（1）角平分线；
（2）垂直平分线（或中垂线）；
（3）如图所示：
点P就是菜市场的位置。
19、考点：
等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
分析：
根据∠ABC=65°，AB=AC，可以知道∠B=∠C，求出∠BAC，再根据∠BAD=20°，求出∠DAE，然后根据AD=AE，求出∠ADE，进而求得∠EDC
解答：
∵∠ABC=65°，AB=AC
∴∠B=∠C=65°（等边对等角）
∴∠BAC=180°-65°-65°=50°（三角形内角和180°）
又∵∠BAD=20°
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD=30°
又∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED（等边对等角）
∴∠ADE=∠AED=（180°-∠DAE）/2=75°（三角形内角和180°）
∵∠AED=∠EDC+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠EDC=75°-65°=10°
20、考点：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，一角是直角的三角形是直角三角形，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，直角三角形的两个锐角互余
分析：
本题中利用了判定定理一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等得到△ABD≌△CFD.
1.在三角形图形中,要证两条线段相等时,通常可以借助证明这两条线段所在的两个三角形全等,利用全等的性质可得对应线段相等,你知道怎么做了吗?
2.观察图形可知BD和AD这两条线段分别在△ACD和△BFD两个三角形中,所以只要证明△ACD≌△BFD即可;
3.由已知条件我们有DF=DC,接下来只需要证明∠BFD=∠ECB就可以了解答。
4.再根据全等三角形对应边相等：
BF=AC，利用Rt△BDF构造勾股定理，求得BF长
（1）证明:
∵AD⊥BC
∴△ACD和△BFD是直角三角形（两边相互垂直的三角形是直角三角形）
∵AC⊥BE
∴∠BEC=90°
∴∠EBC+∠C=90°
∵△ACD是直角三角形
∴∠CAD+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵∠EBC+∠C=90°∠CAD+∠C=90
∴∠CAD=∠EBC
在△ACD与△BFD中
∵
∴△ACD≌△BFD（AAS）
∴BD=AD（全等三角形的对应边相等）
（2）
由
（1）得△ACD≌△BFD
∴BD=AD，AD=AC（全等三角形的对应边相等）
∵AF=1，DC=3，DF=DC
∴BD=AD=4
又∵AD⊥BC
∴AD2+DC2=AC2（勾股定理）
∴BF=AC=5
21、考点：
[一元一次不等式的应用,一元一次方程的应用,二元一次方程组的应用]
分析：
（1）设采购A种型号净水器a台，则采购B种型号净水器（30-a）台，根据金额不多余54000元，列不等式求解；
（2）设利润为12800元，列方程求出a的值为8，符合
（2）的条件，可知能实现目标．
解答：
（1）设采购A种型号净水器a台,则采购B种净水器（30−a）台。
依题意得：
2000a+1700（30−a）⩽54000，
解得：
a⩽10.
故超市最多采购A种型号净水器10台时，采购金额不多于54000元。
（2）依题意得：
（2500−2000）a+（2100−1700）（30−a）=12800，
解得：
a=8，
故采购A种型号净水器8台，采购B种型号净水器22台，公司能实现利润12800元的目标。
22、考点：
[三角形综合题]
分析：
（1）先求出AP，AQ的长度，再根据等边三角形的性质得到△APQ为直角三角形，利用勾股定理即可解答；
（2）△ABC是等边三角形，边长是2厘米．点P、Q从出发到相遇，即两人所走的路程的和是6cm．设从出发到相遇所用的时间是t秒．列方程就可以求出时间．
（3）当P在AC上，Q在AB上时，AP≠AQ，则一定不是等边三角形，当△APQ是等边三角形时，Q一定在边CD上，P一定在边CB上，若△APQ是等边三角形，则CP=DQ，根据这个相等关系，就可以得到一个关于t的方程，就可以得到t的值．
解答：
（1）当t=2时，AP=2×0.5=1厘米，AQ=2×1=2厘米，
如图1，
∵△ABC是边长为2厘米的等边三角形，
∴PQ⊥AC，
∴PQ=
故答案为：
.
（2）由0.5t+t=6，
解得t=4.
（3）当0⩽t⩽4时，都不存在；
当4此时点P在BC上,点Q在CD上,且△ADQ≌△ACP，
则CP=DQ，
即6−t=0.5t−2，
解得：
t=
.
23、
24、考点：
[等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质]
分析：
（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW=DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
解答：
（1）证明：
如图1所示：
在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠A=30∘，
∴∠ABC=60∘,BC=12AB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30∘.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于点E.
∴AE=BE=12AB.
∴BC=BE.
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：
AD=DG+DM.
证明：
如图2所示：
延长ED使得DW=DM，连接MW，
∵∠ACB=90∘,∠A=30∘，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60∘，AD=BD，
又∵DM=DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW=DM，
在△WGM和△DBM中，
∵⎧⎩⎨⎪⎪∠W=∠MDBMW=DM∠WMG=∠DMB
∴△WGM≌△DBM，
∴BD=WG=DG+DM，
∴AD=DG+DM.
（3）结论：
AD=DG−DN.
证明：
延长BD至H，使得DH=DN.
由
（1）得DA=DB,∠A=30∘.
∵DE⊥AB于点E.
∴∠2=∠3=60∘.
∴∠4=∠5=60∘.
∴△NDH是等边三角形。
∴NH=ND,∠H=∠6=60∘.
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60∘，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中,⎧⎩⎨⎪⎪∠DNG=∠HNBDN=HN∠H=∠2
∴
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