则f（x）=0在（a,b）上至少有一个实根。
二、方法与例题
1．构造函数解题。
例1已知a,b,c∈（-1,1），求证：
ab+bc+ca+1>0.
例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（）·（）≥（）2，等号当且仅当存在R，使ai=,i=1,2,…,n时成立。
例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈（0,2]，求u=的最小值。
2．指数和对数的运算技巧。
例4设p,q∈R+且满足log9p=log12q=log16（p+q），求的值。
例5对于正整数a,b,c（a≤b≤c）和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且，求证：
a+b=c.
例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求证c2=（ac）logab.
例7解方程：
3x+4x+5x=6x.
例8解方程组：
（其中x,y∈R+）.
例9已知a>0,a1，试求使方程loga（x-ak）=loga2（x2-a2）有解的k的取值范围。
三、基础训练题
1．命题p:
“（log23）x-（log53）x≥（log23）-y-（log53）-y”是命题q:
“x+y≥0”的_________条件。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.
3．已知f（x）是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1（x）是它的反函数，则不等式|f-1（log2x）|<1的解集为_________。
4．若log2a<0，则a取值范围是_________。
5．命题p:
函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q:
函数y=log2（ax2-4x+1）的值域为R，则p是q的_________条件。
6．若00且a1，比较大小：
|loga（1-b）|_________|loga（1+b）.
7．已知f（x）=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的值域为_________。
8．若x=
，则与x最接近的整数是_________。
9．函数的单调递增区间是_________。
10．函数f（x）=的值域为_________。
11．设f（x）=lg[1+2x+3x+…+（n-1）x+nx·a]，其中n为给定正整数,n≥2,a∈R.若f（x）在x∈（-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f（x）=+lg（x2-1）的定义域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是_________.
4.若f（x）=ln，则使f（a）+f（b）=_________.
5.命题p:
函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q：
函数y=log2（ax2-4x+1）的值域为R，则p是q的_________条件.
6．若00且a1，比较大小：
|loga（1-b）|_________|loga（1+b）|.
7．已知f（x）=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f（x）]2+f（x2）的值域为_________.
8．若x=
，则与x最接近的整数是_________.
9．函数y=的单调递增区间是_________.
10．函数f（x）=的值域为_________.
11．设f（x）=lg[1+2x+3x+…+（n-1）x+nx·a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。
若f（x）在x∈（-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f（x）=+lg（x2-1）的定义域是__________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是________.
4．若f（x）=ln，则使f（a）+f（b）=成立的a,b的取值范围是________.
5．已知an=logn（n+1），设，其中p,q为整数，且（p,q）=1，则p·q的值为_________.
6．已知x>10,y>10,xy=1000，则（lgx）·（lgy）的取值范围是________.
7．若方程lg（kx）=2lg（x+1）只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.
8．函数f（x）=的定义域为R，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个不同的实数解，则b,c应满足的充要条件是________.
（1）b<0且c>0；
（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f（x）=x,F（x）=f（x+t）-f（x-t）（t0），则F（x）是________函数（填奇偶性）.
10．已知f（x）=lg，若=1，=2，其中|a|<1,|b|<1，则f（a）+f（b）=________.
11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg（x-1）+lg（3-x）=lg（a-x）的实数解的个数。
12．设f（x）=|lgx|，实数a,b满足0（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；
（2）313．设a>0且a1,f（x）=loga（x+）（x≥1），
（1）求f（x）的反函数f-1（x）；
（2）若f-1（n）<（n∈N+），求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1．如果log2[log（log2x）]=log3[log（log3x）]=log5[log（log5z）]=0，那么将x,y,z从小到大排列为___________.
2．设对任意实数x0>x1>x2>x3>0，都有log1993+log1993+log1993>klog1993恒成立，则k的最大值为___________.
3．实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为___________.
4．已知0x=（sinα）logbsina,y=（cosα）logbsina,z=（sinα）logbsina从小到大排列为___________.
5．用[x]表示不超过x的最大整数，则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.
6．设a=lgz+lg[x（yz）-1+1],b=lgx-1+lg[xyz+1],c=lgy+lg[（xyz）-1+1]，记a,b,c中的最大数为M，则M的最小值为___________.
7．若f（x）（x∈R）是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）=，则，由小到大排列为___________.
8．不等式+2>0的解集为___________.
9．已知a>1,b>1，且lg（a+b）=lga+lgb，求lg（a-1）+lg（b-1）.
10．
（1）试画出由方程
所确定的函数y=f（x）图象。
（2）若函数y=ax+与y=f（x）的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。
11．对于任意n∈N+（n>1），试证明：
[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题
1．设x,y,z∈R+且x+y+z=1，求u=
的最小值。
2．当a为何值时，不等式log·log5（x2+ax+6）+loga3≥0有且只有一个解（a>1且a1）。
3．f（x）是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何x,y>1及u,v>0,f（xuyv）≤[f（x）][f（y）]①都成立，试确定所有这样的函数f（x）.
4.求所有函数f：
R→R，使得xf（x）-yf（x）=（x-y）f（x+y）①成立。
5．设m≥14是一个整数，函数f：
N→N定义如下：
f（n）=
求出所有的m,使得f（1995）=1995.
6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f（x+y）=f（x）+f（y）+f（x）·f（y）,x,y∈Q.
7．是否存在函数f（n），将自然数集N映为自身，且对每个n>1,f（n）=f（f（n-1））+f（f（n+1））都成立。
8．设p,q是任意自然数，求证：
存在这样的f（x）∈Z（x）（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x,有
9．设α，β为实数，求所有f:
R+→R，使得对任意的x,y∈R+,f（x）f（y）=y2·f成立。
2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（5）数列
一、基础知识
定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。
其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1,当n>1时，an=Sn-Sn-1.
定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d.
定理2等差数列的性质：
1）通项公式an=a1+（n-1）d；2）前n项和公式：
Sn=
；3）an-am=（n-m）d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p,q，恒有ap-aq=（p-q）（a2-a1）；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.
定义3等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
定理3等比数列的性质：
1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比数列，即b2=ac（b0），则b叫做a,c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M（n∈N）,都有|an-A|<，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作
定义5无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
定理3第一数学归纳法：
给定命题p（n），若：
（1）p（n0）成立；
（2）当p（n）时n=k成立时能推出p（n）对n=k+1成立，则由
（1），
（2）可得命题p（n）对一切自然数n≥n0成立。
竞赛常用定理
定理4第二数学归纳法：
给定命题p（n），若：
（1）p（n0）成立；
（2）当p（n）对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p（k+1）成立，则由
（1），
（2）可得命题p（n）对一切自然数n≥n0成立。
定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:
（1）若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定；
（2）若α=β，则xn=（c1n+c2）αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。
二、方法与例题
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。
通常解题方式为：
特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
例2已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1，求通项an.
例3设0对任意n∈N+,有an>1.
2迭代法。
数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。
例4数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求证：
存在常数c，使得·an+
例5已知a1=0,an+1=5an+，求证：
an都是整数，n∈N+.
3．数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6已知an=（n=1,2,…），求S99=a1+a2+…+a99.
例7求和：
+…+
例8已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和，求证：
Sn<2。
4．特征方程法。
例9已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.
例10已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通项an.
5．构造等差或等比数列。
例11正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1（n≥2）且a0=a1=1，求通项。
例12已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通项。
三、基础训练题
1．数列{xn}满足x1=2,xn+1=Sn+（n+1），其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.
2.数列{xn}满足x1=，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.
3.数列{xn}满足x1=1，xn=+2n-1（n≥2），则{xn}的通项xn=_________.
4.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0,Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.
5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.
6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1（n≥2），x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn，则S100=_________.
7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.
8.若
，并且x1+x2+…+xn=8，则x1=_________.
9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=_________.
10.若n!
=n（n-1）…2·1,则=_________.
11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48,log2a2·log2a3+log2a2·log2a5+log2a2·log2a6+log2a5·log2a6=36，求的通项。
12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：
（1）q的值；
（2）数列{bn}的前n项和Sn。
四、高考水平训练题
1．已知函数f（x）=
，若数列{an}满足a1=，an+1=f（an）（n∈N+），则axx=_____________.
2．已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），则{an}的通项an=.
3.若an=n2+,且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.
4.设正项等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_____________.
5.已知，则a的取值范围是______________.
6．数列{an}满足an+1=3an+n（n∈N+），存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。
7．已知（n∈N+），则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.
8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.
9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.
10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.
11．已知数列{an}中，an0，求证：
数列{an}成等差数列的充要条件是
（n≥2）①恒成立。
12．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=（n≥2）,当a1=p,b1=q（p>0,q>0）且p+q=1时，
（1）求证：
an>0,bn>0且an+bn=1（n∈N）；
（2）求证：
an+1=；（3）求数列
13．是否存在常数a,b,c，使题设等式
1·22+2·32+…+n·（n+1）2=（an2+bn+c）
对于一切自然数n都成立？
证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。
2．设数列{xn}满足x1=1,xn=，则通项xn=__________.
3.设数列{an}满足a1=3,an>0，且，则通项an=__________.
4.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式（3-an+1）·（6+an）=18，且a0=3，则=__________.
5.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比为=__________.
6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.
7.数列{an}满足a1=2,a2=6,且=2，则
________.
8.数列{an}称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0,{an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。
那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.
9．设h∈N+，数列{an}定义为：
a0=1,an+1=
。
问：
对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？
10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，
（1）求证：
对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；
（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。
11．求证：
存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得
a1=1,a2>1,an+1（an+1-1）=
六、联赛二试水平训练题
1．设an为下述自然数N的个数：
N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：
a2n是完全平方数，这里n=1,2,….
2．设a1,a2,…,an表示整数1，2，…，n的任一排列，f（n）是这些排列中满足如下性质的排列数目：
①a1=1;②|ai-ai+1|≤2,i=1,2,…,n-1。
试问f（xx）能否被3整除？
3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且
求证：
an（n=0,1,2,…）是完全平方数。
4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：
x0=1，xi+1（1）求证：
对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使≥3.999均成立；
（2）寻求这样的一个数列使不等式<4对任一n均成立。
5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|（k=3,4,…,n）①.试问这样的序列最多有多少项？
6．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=,
（ⅰ）求数列{an}的通项公式；（ⅱ）求证：
是整数的平方。
7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n,un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。
如果uxx=xx，求k的所有可能的值。
8．求证：
存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m,k，有|xm-xk|≥
9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0n个实数b0,b1,…，bn和满足：
（1）ak（2）q<<（k=1,2,…,n）；
（3）b1+b2+…+bn<（a0+a1+…+an）.
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