爱智康七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题.docx

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爱智康七年级尖子班春季讲义第1讲平行线动点问题

平行线动点问题

模块一课前检测

【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为．

【题2】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．

【题3】如图AM∥BN，C是BN上一点，O是射线CP上的点，∠MAO的平分线与∠OBN的平分线交于点D．

（1）当点O在AM与BN之间时，如图1所示，求证：

∠D＝

∠AOB；

（2）当点O在AM上方时，如图2所示，试判断

（1）中的结论是否依然成立，给出结论，并对你给出的结论加以证明．

模块二动点与角度

知识点睛

变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则．

典型例题

【例1】已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于E、F．

（1）如图1，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；

（1）如图2，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？

试证明你的结论；

（3）如图3，当点P在线段EF的延长线上时，

（2）中的结论还成立吗？

如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．

【巩固】直线AB∥CD，直线a分别交AB、CD于E、F，点M在直线EF上，点P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合）．

（1）如图，当点P在射线FC上移动时，∠FMP+∠FPM与∠AEF有什么数量关系，请说明理由；

（2）当点P在射线FD上移动时，请画出图形并探究∠BEM、∠DPM、∠EMP有什么数量关系，请说明理由．

【变式】如图，已知直线EF∥MN，点A、B分别为EF、MN上的动点，且∠ACB＝90°，BD平分∠CBN交EF于D．

（1）若∠FDB＝120°，如图1，求∠MBC的度数；

（2）在

（1）的条件下，如图1，求∠EAC的度数；

（3）延长AC交直线MN于G，如图2，GH平分∠AGB交DB于H，问∠GHB是否为定值，若是，请求其值；若不是，请说明理由．

能力提升

【例2】已知：

如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点．

（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？

请说明理由；

（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？

（2）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？

巅峰冲刺

【巩固】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE＝90°.

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠E＝90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE＝∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？

并说明理由；

（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？

猜想结论并说明理由．

【变式】如图，已知AB∥CD，直线l分别截AB、CD于E、C两点，M是线段EC上一动点（不与E、C重合），过M点作MN⊥CD于N，连结EN．

（1）如图1，当∠ECD＝40°时，填空：

∠FEB＝；∠MEN+∠MNE＝；

（2）如图2，当∠ECD＝α°时，猜想∠MEN+∠MNE的度数与α的关系，并证明你的结论．

模块三平行线与三角板

知识点睛

三角板有特殊的直角与直角顶点，通常该顶点与平行线结合会组成我们熟悉的平行线四大模型，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用．

典型例题

【例3】将一副三角板如图所示位置摆放．

（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；

（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明；

（3）在

（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转过程中，能否使CD⊥AB？

若能，求此进∠AOC的度数；若不能，请说明理由．

能力提升

【巩固】小明将一直角三角板（∠A＝30°）放在如图所示的位置．

（1）经测量知∠GEA＝∠A，求∠BDF；

（2）将三角板进行适当的转动，直角顶点始终在两直线间，M在线段CD上，且∠CEM＝∠CEH，给出下列结论：

①

的值不变；②∠MEG－∠BDF的值不变．其中只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求值．

模块四动线段（动直线）与平行线

知识点睛

图形通常与平行线四大模型相结合，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用．

典型例题

【例4】如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在BC上，满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．

（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，则

的值是否发生变化？

若变化找出变化规律；若不变求其值．

能力提升

【巩固】AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC、∠ADC的平分线交于E（不与B、D重合）．∠ABC＝n°，∠ADC＝80°.

（1）若点B在点A的左侧，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；

（2）将

（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠BED的度数是否改变．若改变，请求出∠BED的度数（用含n的代数式表示）；若不变，请说明理由．

模块五真题链接

【2014－2015洪山区期末】如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A（1，8），B（1，6），C（7，6）．

（1）请直接写出D点的坐标；

（2）连接线段OB、OD，OD交BC于E，∠BOy的平分线和∠BEO的平分线交于F，若∠BOE＝n，求∠OFE的度数；

（3）若长方形ABCD以每秒

个单位的速度向下运动，设运动时间为t秒，问在第一象限内是否存在某一时刻t，使△OBD的面积等于长方形ABCD的面积？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

课后作业

【题1】如图，已知直线

∥

，直线

和直线

、

交于C、D，在C、D之间有一点P．

（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系是否发生变化？

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（不与C、D重合），试判断∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系又是如何？

【题2】如图，AB∥CD，P为定点，E、F分别是AB、CD上的动点．

（1）求证：

∠P＝∠BEP+∠PFD；

（2）若M为CD上一点，MN交PF于N．证明：

∠PNM＝∠NMF+∠NFM；（不能用三角形内角和定理）

（3）在

（2）的基础上，若∠FMN＝∠BEP，试说明∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论．

平行线中三角形四边形

模块一课前检测

【题1】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE＝90°.

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠E＝90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE＝∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？

并说明理由；

（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？

猜想结论并说明理由．

模块二利用三角形中的平行线求角

知识点睛

解题思路：

利用平行线的相关性质（同位角、内错角相等、同旁内角互补），必要时结合三角形内角和为180°，但需旁证．

典型例题

【例1】如图，AE∥BD，∠CBD＝57°，∠AEF＝125°，求∠C的度数．

【巩固】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B＝70°，∠EDC＝30°，

求∠ADC的度数．

能力提升

【变式】如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系．