八年级上册数学北师大版知识点总结.doc

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八年级上册数学北师大版知识点总结

第一章 勾股定理 

第一节、探索勾股定理

1、勾股定理 

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。

2、勾股定理的逆定理 

如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的适用范围：

仅限于直角三角形

4、勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

常见的勾股数有：

（6,8,10）（3,4,5）（5,12,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）。

5、勾股数的规律       

（1）短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。

即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2，那么a,b,c就是一组勾股数，如（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（9,40,41）等。

（2）大于2的任意偶数，2n（n＞1）都可构成一组勾股数分别是：

2n,n2-1,n2+1，如：

（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）等。

第二节、一定是直角三角形吗   

1、有一个角是直角（900）的三角形是直角三角形。

2、直角三角形的性质

①直角三角形的两个锐角互余。

②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

③在直角三角形中，如果有一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于300。

⑤直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

⑥直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边。

3、直角三角形的判定

①有一个角是900的三角形是直角三角形。

②一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。

③有两个角互余的三角形是直角三角形。

④两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。

第三节、勾股定理的应用 

1、证明直角三角形及其它涉及直角三角形的问题。

2、判定实际问题中两线段是否垂直的问题。

以已知线段为边构造三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。

3、解立体图形上两点之间的最短距离问题 

（1）将立体图形展成平面图形。

（2）根据“两点之间线段最短”确定最短路线。

（3）最后以上面的最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理解决。

圆柱表面蚂蚁吃面包：

圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方。

第二章 实数

第一节、认识无理数

1、无理数：

无限不循环小数叫做无理数。

2、在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有5类：

（1）开方开不尽的数。

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等。

（3）有特定结构的数，如0.1010010001等。

（4）某些三角函数值，如sin60o等。

（5）无限不循环小数。

3、无理数和有理数的区别

①有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数。

②所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

第二节、平方根

1、算术平方根：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：

记作“”，读作根号a。

性质：

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：

一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：

正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。

性质：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

3、开平方：

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意a的双重非负性：

≥0且a≥0。

第三节、立方根  

1、立方根：

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。

2、表示方法：

记作。

3、一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

4、，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

第四节、估算 

1、用估算法确定无理数的大小 

①对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。

首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。

②决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。

2、“精确到”与“误差小于”的区别

①精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一。

②误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。

3、用估算的方法比较数的大小 

①用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较 。

②当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：

若a＞b≥0,则＞> 

若a＞b，则>或a3＞b3

若a、b都为正数，且a＞b时，则a2＞b2

第五节、用计算器开方（本节内容为了解内容）     

1、会用计算器求平方根和立方根。

2、运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。

第六节、实数         

1、实数的概念及分类

数学上，实数定义为与数轴上的实数点相对应的

正有理数

有理数 零有限小数和无限循环小数负有理数

实数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

2、相反数 

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

3、绝对值 

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

4、倒数 

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

5、数轴 

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

6、实数大小的比较     

①实数比较大小：

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

②实数大小比较的几种常用方法 

（1）数轴比较：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：

设a、b是实数。

（3）求商比较法：

设a、b是两正实数，=>。

（4）绝对值比较法：

设a、b是两负实数，则

（5）平方法：

设a、b是两负实数，则

第七节、二次根式

1、含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。

2、性质：

（1）

3、最简二次根式：

运算结果若含有“”形式，必须满足：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

4、非负数的情况：

根号下，平方，绝对值。

5、实数的运算     

（1）六种运算：

加、减、乘、除、乘方、开方。

（2）实数的运算顺序 

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（3）运算律 

加法交换律

a+b=b+a

加法结合律

（a+b）+c=a+（b+c）

乘法交换律

ab=ba

乘法结合律

（ab）c=a（bc）

乘法分配律

a（b+c）=ab+ac

第三章 位置与坐标 

第一节、确定位置   

1、平面内确定一个物体的位置需要2个数据。

2、确定位置的方法

①行列定位法：

在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。

②方位角距离定位法：

方位角和距离。

③经纬定位法：

它也需要两个数据：

经度和纬度。

④区域定位法：

只描述某点所在的大致位置。

如“解放路22号”  

3、弄清（a,b）中a与b各代表什么含义，顺序不能写错；图形与语言的相互转换。

（a是横坐标，b是纵坐标）

第二节、平面直角坐标系 

1、平面直角坐标系 

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。

它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：

x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3、点的坐标的概念 

对于平面内任意一点P，过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当把a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对应的。

4、不同位置的点的坐标的特征        

①各象限内点的坐标的特征     

点P（x,y）在第一象限>>Û 

点P（x,y）在第二象限><Û 

点P（x,y）在第三象限<<Û 

点P（x,y）在第四象限<>Û 

②坐标轴上的点的特征 

点P（x,y）在x轴上，则y=0，x为任意实数 

点P（x,y）在y轴上，则x=0，y为任意实数 

点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上，则x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点。

③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上，则x与y相等。

点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上，则x与y互为相反数。

④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 

点P与点p’关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）。

点P与点p’关于y轴对称，则纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）。

点P与点p’关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）。

⑥点到坐标轴及原点的距离 

点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：

（1）点P（x,y）到x轴的距离等于y。

（2）点P（x,y）到y轴的距离等于x。

（3）点P（x,y）到原点的距离等于x2+y2。

+ 

第三节、轴对称与坐标变化 

坐标（x，y）的变化

图形的变化

x×a或y×a

被横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍

x×a，y×a

放大（缩小）为原来的a倍

x×（-1）或y×（-1）

关于y轴或x轴对称

x×（-1），y×（-1）

关于原点成中心对称 

x+a或y+a

沿x轴或y轴平移a个单位

x+a，y+a

沿x轴平移 a个单位，再沿y轴平移a个单

第四章 一次函数

第一节、函数

1、函数的定义

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

2、自变量取值范围 

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

3、函数的三种表示法及其优缺点 

①关系式（解析）法 

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。

②列表法 

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

③图象法 

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

4、由函数关系式画其图像的一般步骤 

（1）列表：

列表给出自变量与函数的一些对应值。

（2）描点：

以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点。

（3）连线：

按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

第二节、一次函数与正比例函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。

特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即y=kx）（k为常数，k≠0），称y是x的正比例函数。

2、一次函数的图像:

 所有一次函数的图像都是一条直线。

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。

4、正比例函数的性质 

一般地，正比例函数y=kx有下列性质：

①当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。

②当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质 

一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：

①当k>0时，y随x的增大而增大。

②当k<0时，y随x的增大而减小。

6、正比例函数和一次函数解析式的确定 

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx（k≠0）中的常数k。

确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k≠0）中的常数k和b。

解这类问题的一般方法是待定系数法。

第三节、一次函数的图象

一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为：

kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式，而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同。

结论：

由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：

当一次函数值为0时，求相应的自变量的值。

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值。

第四节、一次函数的应用

1、确定解析式的几种方法

①根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题。

（直表法）

②已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式。

（待定系数法）

③利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系

式。

（等式变形法）　

2、重点题型　　

①根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想。

②运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题。

根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题。

特点：

当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题。

明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式。

特点：

所给问题中已经明确告知为一次函数关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，．．．．就等于告诉我们此函数为“一次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为：

y=kx+b,然后寻找满足关系式的两个x与y的值或两个图像上的点，代入求解即可。

第五章 二元一次方程组

第一节、认识二元一次方程组                    

1、含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

例如：

y=x+1,x-y=3,2x+4y=8都是二元一次方程。

注意：

①方程中的“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数。

②“含未知数的项的次数是1”是指含有未知数的项的次数是1，如3xy=8的次数是2，所以不是二元一次方程。

③二元一次方程左右两边必须是整式。

2、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

3、含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4、二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

第二节、求解二元一次方程组 

1、解二元一次方程组的基本思路是通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。

消元的两大基本方法为带入消元法和加减消元法。

2、带入消元法和加减消元法

类型

定义

适用类型

步骤

代入消元法

将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并带入另一个方程中，消去一个未知数。

化二元一次方程朱为一元一次方程求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

多适用于方程组中的方程有一个未知数的系数是1或-1的情形。

①变形：

从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。

②代入：

将变形后的代入没变形的方程，得到一个一元一次方程。

③解方程：

解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。

④求解：

将求得的未知数的值代入变形后的方程求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解

加减消元法

将方程组中的两个方程通过适当变形后相加（或相减），消去其中的一个未知数，化二元一次方程朱为一元一次方程求解，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

多适用于方程组中两个方程的未知数系数相同或者互为相反数的情形。

①变形：

先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反的数。

②加减：

用加减法消去系数互为相反数或相等的同一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程。

③解方程：

解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。

④求解：

将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。

第三节、应用二元一次方程组——鸡兔同笼 

列方程组解应用题的步骤：

①审题:

弄清题目中所给出的等量关系和已知量、未知量。

②找等量关系和设未知数：

直接设未知数、间接设未知数。

③列方程组：

根据给定的等量关系建立方程组，一般来说，设几个未知数，就应该列出几个方程并组成方程组。

④解方程组。

⑤检验并作答：

所求出的方程组的解在正确的基础上还要符合实际意义，答案要带单位。

第四节、应用二元一次方程组——增收节支 

表格法解应用题

将题目中的有关数量关系及其关系填在事先设计好的一个表格内，然后再依据表格逐层分析，找出各量之间的内在联系，从而找到等量关系，列出方程。

第五节、应用二元一次方程组——里程碑上的数     

图表法解应用题

对于一些较直观的问题，可将题目中的条件及它们之间的关系用简单明了的示意图表示出来，然后根据图示中有关数量的内在联系，找到等量关系，列出方程。

第六节、二元一次方程与一次函数 

一次函数与二元一次方程的关系：

直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解。

第七节、用二元一次方程组确定一次函数表达式     

1、一次函数与二元一次方程组的关系：

 二元一次方程组的解可看作两个一次函数和的图象的交点。

2、当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。

第八节、※三元一次方程组

1、如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。

2、三元一次方程组的解题思路是：

先消去一个未知数，把它变成二元一次方程组求解。

简单步骤：

①先根据具体题目确定一下要消哪个未知数（假设你看好要消的是未知数x），然后将三个方程（下面用A、B、C表示三个方程）中的两个组合起来（在A和B，或者B和C，或者A和C，三种情形中取一种比较简单的组合），消去未知数x。

得到一个含未知数y、z的二元一次方程D。

②再另外取两个方程（注意不能是第一次已经取过的一种组合。

如第一次取A和B，那么这一次你只能取B和C或A和C，这是关键，否则你不能达到消去一个未知数的目的），也消去未知数x（这时不能消另外的未知数y或z，否则前功尽弃），又得一个含未知数y、z的二元一次方程E。

③将D和E两个方程组合成二元一次方程组，再消去一个未知数，比如y，从而解出z，进而求出y，最后求出x。

3、至于消元的方法，你可以用“代入消元法”或“加减消元法”中的一种，一般根据系数的特点确定用哪种消元法。

通常系数有未知数“1”的用“代入消元法”比较方便，而同一未知数系数有倍数关系的用“加减消元法”比较方便。

第六章 数据的分析

第一节、平均数

1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：

平均数、众数、中位数。

2、平均数：

一般地，对于n个数X1,X2,X3···Xn我们把（X1+X2+X3+···+Xn）/n叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记住。

3、加权平均数：

加权平均数是将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。

第二节、中位数与众数 

1、一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

2、一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

一组数据中的众数可能不止一个。

第三节、从统计图分析数据的集中趋势     

1、折线统计图

众数：

同一水平线上出现次数最多的数据。

中位数：

从上到下找到中间点所对的数。

平均数：

可以用中位数和众数估测平均数。

2、条形统计图

众数：

是柱子最高的数据。

中位数：

从左到右找到中间数。

平均数：

可以用中位数和众数估测平均数。

3、扇形统计图

众数：

为扇形面积最大的数据。

中位数：

按顺序，看相应百分比，第50%与51%两个数据的平均数。

平均数：

可以利用加权平均数进行计算。

第四节、数据的离散程度

1、极差：

一组数据中的最大值与最小值的差称为极差。

2、方差：

方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况。

求一组数据的方差可以简记为：

“先平均，再求差，然后平方，最后再平均。

”通常用S2表示一组数据的方差，方差计算公式是：

3、标准差：

方差的算数平方根称为标准差。

4、极差、方差和标准差都是反映一组数据离散程度的统计量，一般来说，一组数据的极差