第2章 特殊三角形单元测试B卷提升篇浙教版学年八年级数学同步单元双基双测AB卷解析版.docx

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第2章特殊三角形单元测试B卷提升篇浙教版学年八年级数学同步单元双基双测AB卷解析版

第2章特殊三角形单元测试卷（B卷提升篇）

【浙教版】

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2019春•楚雄州期末）剪纸是我国的民间传统艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（　　）

A．

B．

C．

D．

【思路点拨】根据轴对称图形的概念求解．

【答案】解：

A、不是轴对称图形，

B、不是轴对称图形，

C、不是轴对称图形，

D、是轴对称图形，

故选：

D．

【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：

把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．

2．（3分）（2019春•西岗区期末）等腰三角形的一条边长为4，一条边长为5，则它的周长为（　　）

A．13B．14C．13或14D．15

【思路点拨】本题应分为两种情况5为底或4为底，还要注意是否符合三角形三边关系．

【答案】解：

当5为底，4为腰时，能构成三角形，此时周长＝4+4+5＝13；

当5为腰，4为底时，能构成三角形，此时周长＝5+5+4＝14．

故它的周长为为13或14．

故选：

C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

3.（3分）（2019春•平川区期末）已知等腰三角形的一个角为72度，则其顶角为（　　）

A．36°B．72°C．48°D．36°或72°

【思路点拨】分两种情况讨论：

72度为顶角或为底角，依次计算即可．

【答案】解：

分两种情况：

①72度为顶角时，答案是72°；

②72度为底角时，则顶角度数为180°﹣72×2＝36°．

故选：

D．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，已知提供的度数并没有说明其为底角还是顶角，所以需要分类讨论解决．

4．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（　　）

A．40°B．45°C．60°D．70°

【思路点拨】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．

【答案】解：

∵AE∥BD，

∴∠CBD＝∠E＝35°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBA＝70°，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠CBA＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°．

故选：

A．

【点睛】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C＝∠CBA＝70°．

5．（3分）（2019春•兰州期末）如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点I，过点I作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，BC＝8，则△ADE的周长是（　　）

A．14B．15C．17

【思路点拨】证明△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC，即可解决问题．

【答案】解：

∵BI平分∠DBC，

∴∠DBI＝∠CBI，

又∵DE∥BC，

∴∠DIB＝∠IBC，

∴∠DIB＝∠DBI，

∴BD＝DI．

同理CE＝EI．

∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15，

故选：

B．

【点睛】本题重点考查了等腰三角形的判定，即等角对等边，得到等腰三角形后，再进一步运用性质解答问题．

6．（3分）（2019春•渝中区校级期末）如图，AE垂直于∠ABC的平分线交于点D，交BC于点E，CE＝

BC，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

【思路点拨】先证明△ADB≌△EBD，从而可得到AD＝DE，然后先求得△AEC的面积，接下来，可得到△CDE的面积．

【答案】解：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠EBD．

∵AE⊥BD，

∴∠ADB＝∠EDB．

在△ADB和△EDB中，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB，

∴△ADB≌△EBD，

∴AD＝ED．

∵CE＝

BC，△ABC的面积为2，

∴△AEC的面积为

．

又∵AD＝ED，

∴△CDE的面积＝

△AEC的面积＝

．

故选：

A．

【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．

7．（3分）1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）

A．

B．

C．

D．

【思路点拨】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．

【答案】解：

连接AM，

∵AB=AC，点M为BC中点，

∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，

∵AB=AC=5，BC=6，

∴BM=CM=3，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，

∴根据勾股定理得：

AM=

=

=4，

又S△AMC=

MN•AC=

AM•MC，

∴MN=

=

．

故选：

C．

【点睛】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：

直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．

8．（3分）（2019春•硚口区月考）直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，下列结论：

①a2+b2＝c2；②ab＝ch；③

．其中正确的是（　　）

A．①B．①②③C．①②D．①③

【思路点拨】利用直角三角形的面积及勾股定理求证每一个选项，即可得出结论．

【答案】解：

∵直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，斜边上的高为h，

∴由勾股定理可知：

a2+b2＝c2，①正确；

这个直角三角形的面积＝

ab＝

ch，

∴ab＝ch，②正确；

∴a2b2＝c2h2，

∴

＝

＝

＝

＝

，③正确．

故选：

B．

【点睛】本题考查了直角三角形的面积及勾股定理的综合应用，解题的关键是正确运用勾股定理和三角形面积进行变形．

9．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论：

①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S四边形AEPF=

S△ABC，其中成立的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【思路点拨】对直角三角形、等腰三角形的边，角及面积进行考查，利用等腰三角形的性质得出角相等，利用全等三角形求得边相等以及面积相等．

【答案】解：

∵AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∴①正确；

∠B=∠PAC=45°∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPA+∠APF=90°

∴∠BPE=∠APF，又AP为公共边，

∴△PBE≌△PAF，∴BE=AF，又AB=AC，∴AE=CF，∴②正确；

②中，△PBE≌△PAF，∴PE=PF，∴③正确，

∵△PFC≌△PEA，△PBE≌△PAF，∴④也正确

所以①②③④都正确，故选A．

【点睛】熟练掌握等腰三角形及直角三角形的性质，能够利用勾股定理及全等三角形解一些简单问题．

10．（3分）（2019•港南区四模）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（　　）

A．5B．6C．8D．10

【思路点拨】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．

【答案】解：

分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．

∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，

∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；

∵点P关于OB的对称点为D，

∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，

∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∴CD＝OC＝OD＝8．

∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，

故选：

C．

【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．

二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）（2019春•广丰区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为5cm、12cm，那么第三条边的长是　13cm或

cm　．

【思路点拨】分①12是直角边时，②12是斜边时两种情况，根据勾股定理即可得到结论．

【答案】解：

①12是直角边时，根据勾股定理，斜边＝

＝13cm，

②12是斜边时，根据勾股定理，第三条边的长＝

＝

cm，

故答案为：

13cm或

cm．

【点睛】本题考查了勾股定理，注意要分情况讨论．

12．（4分）（2019•江汉区模拟）如图所示，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点E作DE⊥AC，EF⊥BC，垂足分别为E，F，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝　65°　．

【思路点拨】由DE⊥AC，∠BDE＝140°，可计算出∠A，再利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用EF⊥BC及同角的余角相等得到∠DEF的度数．

【答案】解：

∵DE⊥AC，∠BDE＝140°，

∴∠A＝50°，

又∵AB＝AC，

∴∠C＝

＝65°，

∵EF⊥BC，

∴∠DEF＝∠C＝65°．

故答案为：

65°．

【点睛】考查了垂直的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角性质．

13．（4分）如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，BE，CF交于点M．如果CM=4，FM=5，则BE等于12

【思路点拨】首先利用三角形内角和定理计算出∠1=∠2=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可算出BM、EM的长，进而得到答案．

【答案】解：

∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠AFC=90°，∠AEB=90°，

∵∠A=60°，

∴∠1=∠2=30°，

在Rt△EMC中，∵MC=4，

∴EM=2，

在Rt△FBM中，∵FM=5，

∴MB=2FM=10，

∴EB=12．

答案为：

12

【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

14．（4分）（2019春•阜阳期中）在△ABC中，已知AC＝10cm，BC＝3

cm，AB边上的高CD＝6cm，则AB＝　11cm或5cm　．

【思路点拨】分点D在线段BC上、线段BC的延长线上两种情况，根据勾股定理计算即可．

【答案】解：

如图1，在Rt△ACD中，AD＝

＝8，

在Rt△BCD中，BD＝

＝3，

∴AB＝AD+BD＝11（cm），

如图2，AB＝AD﹣BD＝5（cm），

则AB＝11cm或5cm，

故答案为：

11cm或5cm．

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

15．（4分）等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成18cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为　6或14　．

【思路点拨】根据题意，已知所给出的两部分哪一部分含有底边不明确，所以分两种情况讨论，还要用三边关系验证能否组成三角形．

【答案】解：

设等腰三角形的腰长是x，底边是y，

根据题意得

或

，解得

或

，

经检验，均符合三角形的三边关系．

因此三角形的底边是6或14．

故填6或14．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

16．（4分）（2019春•大埔县期末）如图，已知S△ABC＝10m2，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E，连接CD，则S△ADC＝　5　m2．

【思路点拨】根据明△ADC的面积是△ABC面积的一半，从而可以解答本题．

【答案】解：

由已知可得，

∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE＝90°，AD＝AD，

∴△ADB≌△ADE，

∴BD＝DE，

∴△ADB的面积等于△ADE的面积，△CDB的面积等于△CDE的面积，

∵S△ABC＝10m2，

∴S△ADC＝5m2，

故答案为：

5．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

三．解答题（共7小题，共66分）

17．（6分）（2019春•萍乡期末）已知：

钝角△ABC．

（1）作出△ABC中的BC边上的高AD；

（2）以AD所在直线为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△AB′C′．

【思路点拨】

（1）依据高线的定义，即可作出△ABC中的BC边上的高AD；

（2）依据轴对称的性质，即可作出△ABC的轴对称图形△AB′C′．

【答案】解：

（1）如图所示，AD即为所求；

（2）如图所示，△AB′C′即为所求．

【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，掌握轴对称的性质是解决问题的关键．

18．（8分）（2019春•和平区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝

，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，求BD及CD的长．

【思路点拨】作DE⊥BC于E，根据勾股定理求出BD，根据直角三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质计算求出CD．

【答案】解：

作DE⊥BC于E，

在Rt△ABD中，BD＝

＝

＝2，

在Rt△DEB中，∠CBD＝30°，

∴DE＝

BD＝1，

在Rt△EDC中，∠C＝45°，

∴EC＝DE＝1，

由勾股定理得，CD＝

＝

＝

．

【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

19．（8分）如图1，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，变成图3；“生长”10次后，变成图4．如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．

（1）随着不断的“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n次后，变成的图中所有正方形的面积用Sn表示，则Sn＝　n+1　；

（2）S0＝　1　，S1＝　2　，S2＝　3　，S3＝　4　；

（3）S0+S1+S2+…+S10＝　66　．

【思路点拨】根据勾股定理，发现：

经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．

【答案】解：

（1）根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：

经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．故为n+1；

（2）1，2，3，4；

（3）根据上述规律，得：

原式＝1+2+3+…+11＝12×5+6＝66．

【点睛】注意根据勾股定理发现规律，还要注意1+2+…+11的简便计算方法，原式＝12×5+6＝66．

20．（10分）（2018秋•天津期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．

（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；

（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；

（3）在

（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．

【思路点拨】

（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．

（2）利用面积法即可解决问题．

（3）连接PC，把问题转化为两点之间线段最短．

【答案】解：

（1）∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵AD是BC边上的中线，

∴∠ADB＝90°，

∵∠BAD＝37°，

∴∠ABC＝53°，

∴∠ACB＝53°．

（2）∵CE⊥AB，

∴

•BC•AD＝

•AB•CE，

∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，

∴CE＝

．

（3）连接PC．

∵AD垂直平分线段BC，

∴PB＝PC．

∴PB+PE＝PE+PC≥CE，

∴PE+PB的最小值为

．

【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．

21．（10分）如图

（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．

（1）△DBC和△EAC会全等吗？

请说说你的理由；

（2）试说明AE∥BC的理由；

（3）如图

（2），将

（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？

证明你的猜想．

【思路点拨】

（1）要证两个三角形全等，已知的条件有AC=BC，CE=CD，我们发现∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，因此两三角形全等的条件就都凑齐了（SAS）；

（2）要证AE∥BC，关键是证∠EAC=∠ACB，由于∠ACB=∠ACB，那么关键是证∠EAC=∠ACB，根据

（1）的全等三角形，我们不难得出这两个角相等，也就得出了证平行的条件．

（3）同

（1）

（2）的思路完全相同，也是通过先证明三角形BCD和ACE全等，得出∠EAC=∠B=60°，又由∠ABC=∠ACB=60°，得出这两条线段之间的内错角相等，从而得出平行的结论．

【答案】解：

（1）△DBC和△EAC会全等

证明：

∵∠ACB=60°，∠DCE=60°

∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD

∴∠BCD=∠ACE

在△DBC和△EAC中，

∵

，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

（2）∵△DBC≌△EAC

∴∠EAC=∠B=60°

又∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

∴AE∥BC

（3）结论：

AE∥BC

理由：

∵△ABC、△EDC为等边三角形

∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°

∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE

在△DBC和△EAC中，

∵

，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC=∠B=60°

又∵∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

∴AE∥BC．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；本题中

（1）

（2）问实际是告诉解（3）题的步骤，通过全等三角形来得出角相等是解题的关键．

22．（12分）（2019春•浦东新区期末）已知：

如图，在△ABC中，点D，E是边BC上的两点，且AB＝BE，AC＝CD．

（1）若∠BAC＝90°，求∠DAE的度数；

（2）若∠BAC＝120°，直接写出∠DAE的度数；

（3）设∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α与β的之间数量关系（不需证明）．

【思路点拨】

（1）根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可；

（2），（3）同

（1）．

【答案】解：

（1）∵BE＝BA，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①

∵CD＝CA，

∴∠CAD＝∠CDA，

∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②

①+②得：

∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）

∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，

∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，

∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），

∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．

∵∠BAC＝90°，

∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠DAE＝45°；

（2）由

（1）知，∠DAE＝

（180°﹣∠BAC）＝

（180°﹣120°）＝30°；

（3）由

（1）知，β＝

（180°﹣α），

∴α+2β＝180°．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出2∠DAE＝180°﹣∠BAC．

23．（12分）（2019春•宁德期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D从点B出发，沿B→C方向运动到点C（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E，设∠BAD＝x°，∠AED＝y°．

（1）当BD＝AD时，求∠DAE的度数；

（2）求y与x的关系式；

（3）当BD＝CE时，求x的值．

【思路点拨】当BD＝AD时△ABD为等腰三角形，尤其性质可得到∠DAE的度数；y与x的关系由三角形内角和得到；当BD＝CE时，得到△ABD≌△DCE，由此求x的值．

【答案】解：

（1）当BD＝AD时，∠B＝∠BAD＝30°，∵△ABC等腰三角形，∴∠BAC＝120°，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣30°＝90°

（2）由题可知，∠BAD+∠DAE＝120°即x+∠DAE＝120

∠AED+∠DAE＝180°﹣∠ADE＝150°即y+∠DAE＝150

两式相减得y﹣x＝30即y＝x+30

（3）由题可知，∠B+∠BAD＝∠DAE+∠EDC且∠B＝∠DAE＝30°

∴∠BAD＝∠EDC＝x

又∵∠B＝∠C和BD＝CE

∴△ABD≌△DCE

∴CD＝AB＝AC

∴△ACD为等腰三角形且∠C＝30°

∴∠DAE＝75°

∴x＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣75°＝45

即x＝45

【点睛】本题主要考查等腰三角形得性质，熟练掌握三角形全等是解答本题的关键.