＝0，f（logat）>0，则t的取值范围是________．
【例4】已知,是否存在实数a，b，c，使f（x）同时满足下列三个条件：
①定义域
为R上的奇函数；②在[1，+∞）上是增函数；③最大值为1.若存在，求出a，b，c的值；若不
存在，说明理由
► 探究点三 动态函数的值域求解
动态函数值域的研究的基础是其单调性的研究，值域是作为单调性研究的一个应用而存在的．在这类问题处理时，也需要分类讨论思想．
【例5】已知函数f（x）＝x2＋alnx（a为实常数）．
（1）若a＝－2，求证：
函数f（x）在（1，＋∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．
【技巧提炼】
1．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点．单调性研究主要有：
一是单调区间的求解；二是根据所给区间内函数的单调性求参数范围；三是应用单调性解不等式；四是用分类讨论的思想研究动态函数的单调性．
2．函数的奇偶性和周期性在函数性质研究中是“配角”，它们所起到的共同作用是由部分而知整体．
3．动态函数的性质的研究，首先应该观察参数的位置，然后再研究参数对函数性质的影响．在用分类讨论的思想时要注意做到不重不漏，多积累分类讨论的标准的制定依据．
【随堂练习】
1.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
2.奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f（-6）+f（-3）=_____
3.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（－∞，0）时不等式f（x）＋xf′（x）<0成立，若a＝30.3·f（30.3），b＝logπ3·f（logπ3），c＝log3
·f
，则a，b，c的大小关系是________．
4.已知定义域为D的函数f（x），如果对任意x∈D，存在正数K，都有f（x）≤K|x|成立，那么称函数f（x）是D上的“倍约束函数”．已知下列函数：
①f（x）＝2x；②f（x）＝2sin
；③f（x）＝
；④f（x）＝
.其中是“倍约束函数”的是________（写出所有满足要求的函数的序号）．
5.定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k·3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
第2讲分段函数
【知识梳理】
1．分段函数
（1）分段函数定义：
对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．
（2）定义域：
各段函数定义域的并集．
（3）值域：
各段函数值域的并集．
2．分段函数的常见问题
（1）分段函数的图象．
（2）分段函数的函数值．
（3）分段函数的单调性：
先分别判断出各段函数在其定义区间的单调性再判断分界点处函数值的关系．
（4）分段函数的奇偶性：
先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，
再由x＞0，－x＜0，分别代入各段函数式计算f（x）与f（－x）的值，若有f（x）＝－f（－x），当x＝0有定义时f（0）＝0，则f（x）是奇函数；若有f（x）＝f（－x），则f（x）是偶函数．
【热点探究】
► 探究点一 分段函数的单调性
分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分开说明单调性．
【例1】若f（x）
是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
【例2】已知函数f（x）=x|x-a|+2x.
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1,2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[-4,4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围
► 探究点二 分段函数的值域
由于分段函数的值域为每一段函数值域的并集，所以分段函数的值域一般需要进行比较各段最值之间的大小关系后，才能明确．
【例3】已知函数f（x）＝x2＋a|lnx－1|（a>0）．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（2）当x∈[1，＋∞）时，求f（x）的最小值．
► 探究点三 实际问题中的分段函数模型
在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型，在将题干中的文字语言转化为函数模型时，要注意不同情况下，所对应的不同函数模型．
【例4】某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y＝mf（x），其中f（x）＝
当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的值．
【技巧提炼】
1．分段函数在概念上的理解易出问题，会以为它是几个函数，要明确的是分段函数不论分几段，都是一个函数，只不过是每一个部分有着不同的解析式和图象．
2．分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点，难度不大，如2010和2011年所考查的题．分段函数的单调性和值域以及实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的重点，尤其是含参数的分段函数性质，此时用好分类讨论和数形结合这两个思想，会起到事半功倍的效果．
3．分段函数的奇偶性很少考查，如有涉及，可画出分段函数的图象，转化为图象的对称性进行研究．
【随堂练习】
1.已知函数f（x）＝
若f（a）＋f
（1）＝0，则实数a的值等于
2.已知函数f（x）＝
若f（2－x2）>f（x），则实数x的取值范围是________．
3.设函数f（x）=，方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a
的取值范围为_____.
4.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：
千米/小时）是车流密度x（单位：
辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：
当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：
辆/小时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
第三讲函数的切线
【知识梳理】
1．导数的几何意义
函数f（x）在x0处的导数f′（x0）就是曲线y＝f（x）在P（x0，f（x0））的切线斜率．
2．函数的切线方程
对于函数f（x）（可导函数），其在点P（x0，f（x0））处的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），其中切线斜率k＝f′（x0）．
3．公切线
（1）定义：
同时切于两条或两条以上曲线的直线，叫做曲线的公切线．
（2）两个函数的公切线：
y－f（x1）＝f′（x1）（x－x1）与y－g（x2）＝g′（x2）（x－x2）为同一直线．
其中若切点为同一点P（x0，f（x0）），则
【热点探究】
► 探究点一 公切线问题
公切线问题是函数切线求解一个更深层次的问题，主要是求解两个函数图象与一条直线相切于同一个点的问题．
【例1】设函数f（x）＝x3＋2ax2＋bx＋a，g（x）＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f（x）与y＝g（x）在点（2,0）处有相同的切线l.
（1）求a、b的值，并写出切线l的方程；
（2）若方程f（x）＋g（x）＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1
► 探究点二 切线条数的问题
过一点作函数切线的条数问题，应该先求出切线方程y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），然后再论证关于切点的方程的根的个数问题．
【例2】已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若过点A（2，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
【例3】已知函数f（x）=ax+bsinx，当
时，f（x）取得极小值
（1）求a，b的值；
（2）设直线
：
y=g（x），曲线S：
y=f（x）若直线
与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线
与曲线S相切且至少有两个切点；
②对任意x∈R都有g（x）≥f（x）．则称直线
为曲线S的“上夹线”．
试证明：
直线l：
y=x+2为曲线S：
y=ax+bsinx“上夹线”．
► 探究点三 与切线有关的实际问题
函数的切线与其他线，如坐标轴所围成图形的面积或者线段长度的最值问题是难点问题．
【例4】如图3－1，有一正方形钢板ABCD缺损一角（图中的阴影部分），边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？
并求其最大值．
图3－1
【技巧总结】
1．函数切线的求解主要包括以下问题
（1）求函数在某一点的切线方程；
（2）求两个函数在某一点处的公切线方程；
（3）求过一点作函数的切线或切线条数的求解．
这三个问题，主要还是先求出在点P（x0，f（x0））处的切线方程y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），再进行相关论证．
2．与切线有关的问题
与切线有关的多边形的面积或长度的最值问题，切线方程求解不难，主要是建立函数后对所建立函数的研究，难度会因为所建函数不同而不同．
【随堂练习】
1.在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y＝－x3＋1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为________．
2.设曲线y＝（ax－1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y＝（1－x）e－x在点B（x0，y2）处的切线为l2，若存在x0∈
，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是________．
3.设a>0，f（x）＝
，g（x）＝exf（x）（其中e是自然对数的底数），若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在x＝0处有相同的切线，求公切线方程．
第4讲函数的零点
【知识梳理】
1．函数的零点：
使函数y＝f（x）的值为0的实数x称为函数y＝f（x）的零点．
（1）函数的零点⇔方程的根；
（2）零点存在理论：
在区间[a，b]上连续；f（a）·f（b）<0.
2．常见求解方法
（1）直接解方程，如一元二次方程；
（2）用二分法求方程的近似解；
（3）一元二次方程实根分布规律；
（4）用数形结合法将方程的根转化为函数零点．
画出y＝f（x）图象可用到以下方法：
①用图象变换法则画复杂函数图象；
②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y＝
；
③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程exlnx＝1，转化为y＝lnx，y＝
x；
④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m＝g（x），再画y＝g（x）与y＝m（常数函数）的图象．
【热点探究】
► 探究点一 用零点存在定理判断函数零点
零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值．
【例1】已知函数f（x）＝1＋x－
＋
－
＋…＋
，g（x）＝1－x＋
－
＋
－…－
，设F（x）＝f（x＋3）·g（x－3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a
► 探究点二 用图象判定方程的根
由于函数的零点⇔方程的根，所以当方程的根不能够直接求出时，可以通过图象来判断对应方程的根的个数．
【例2】
（1）已知函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝x＋log2x，h（x）＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为________．
（2）设定义在R上的函数f（x）＝
若关于x的方程f2（x）＋af（x）＋b＝0有5个不同实数解，则实数a的取值范围是________．
► 探究点三 不定方程的根的判断
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组．常见问题有：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数．
【例3】设m∈N，若函数f（x）＝2x－m
－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为________．
► 探究点四 含参数的方程根的问题
含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决．
【例4】已知函数f（x）＝
x2－alnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
（2）讨论方程f（x）＝0的解的个数，并说明理由．
【例5】已知定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-a
且g（x）在x=1处取得极值．
（1）求函数g（x）在x=2处的切线方程；
（2）求函数h（x）的单调区间；
（3）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点个数，并说明理由．
【技巧提炼】
1．函数的零点是方程根的几何特征，方程的根是函数零点的代数值．
2．方程的根的特征如个数或所在区间不易判断时，可以转化为用图象进行研究．
3．函数的零点或函数图象交点问题，也可以转化为对应方程或方程组的根求解．
4．不定方程或含参数的方程的根研究，需要用分类讨论的思想进行研究．
【随堂练习】
1.已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C、D，则直线AB与CD交点坐标为________．
2.已知函数f（x）＝
x3－ax2＋（a2－1）x，且方程f（x）＝0有三个不同零点，求a的取值范围．
3.已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a，b为实数且1（1）若f（x）在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在
（1）的条件下，求经过点P（2,1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（3）设函数F（x）=[f′（x）+6x+1]●e2x，试判断函数F（x）的极值点个数．
第5讲恒成立问题
【知识梳理】
1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：
根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．
2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
（1）∀x∈D，f（x）>C；
（2）∀x∈D，f（x）>g（x）；
（3）∀x1，x2∈D，|f（x1）－f（x2）|≤C；
（4）∀x1，x2∈D，|f（x1）－f（x2）|≤a|x1－x2|.
3．不等式恒成立问题的处理方法
（1）转换求函数的最值
①若不等式A②若不等式B>f（x）在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B>f（x）max⇔f（x）的上界小于B.
（2）分离参数法
①将参数与变量分离，即化为g（λ）≥f（x）（或g（λ）≤f（x））恒成立的形式。
②求f（x）在x∈D上的最大（或最小）值；
③解不等式g（λ）≥f（x）max（或g（λ）≤f（x）min），得λ的取值范围．
（3）转换成函数图象问题
①不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数y＝f（x）和图象在函数y＝g（x）图象上方；
②不等式f（x）【热点探究】
【探究点一】∀x∈D，f（x）>C，f（x）>g（x）的研究
（1）对于形如∀x∈D，f（x）>g（x）的问题，需要先设函数y＝f（x）－g（x），再转化为∀x∈D，ymin>0.
（2）在处理f（x）>c的恒成立问题时，如果函数f（x）含有参数，一般有两种处理方法：
一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f（x）的最值．
【例1】已知f（x）＝x3－6ax2＋9a2x，当a>0时，若对∀x∈[0,3]有f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．
【例2】已知函数f（x）＝x|x－a|＋2x.
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1,2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）＝2x＋1图象的下方．
【探究点二】∀x1，x2∈D，|f（x1）－f（x2）|≤C的研究
（1）对于形如∀x1，x2∈D，|f（x1）－f（x2）|≤C的问题，因为|f（x1）－f（x2）|≤f（x）max－f（x）min，所以原命题等价为f（x）max－f（x）min≤C.
（2）在处理这类问题时，若x1，x2是两个不相关的变量，可以等价为函数f（x）在区间D上的函数差的最大值小于c，如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题．
【例3】已知函数f（x）＝ax3＋bx2－3x（a，b∈R），在点（1，f
（1））处的切线方程为y＋2＝0.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）－f（x2）|≤c，求实数c的最小值．
【探究点三】∀x1，x2∈D，|f（x1）－f（x2）|≤a|x1－x2|的研究
形如∀x1，x2∈D，|f（x1）－f（x2）|≤a|x1－x2|这样的问题，首先需要根据函数f（x）的单调性去掉|f（x1）－f（x2）|≤a|x1－x2|中的绝对值符号，再构造函数g（x）＝f（x）－ax，从而将问题转化为新函数g（x）的单调性．
【例4】已知函数f（x）＝x－1－alnx（a∈R）．
（1）求证：
f（x）≥0恒成立的充要条件是a＝1；
（2）若a<0，且对任意x1，x2∈（0,1]，都有|f（x1）－f（x2）|≤4
，求实数a的取值范围．
【规律技巧提炼】
在处理恒成立问题时，首先应该分辨所属问题的类型，如果是关于单一变量的恒成立问题，首先考虑参数分离，如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理，那么可以选择分类讨论来处理；如果是关
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