解得定义域为．
∴f（x）的定义域关于原点对称．
又∵f（x）＝lg（1－sinx）－lg（1＋sinx）
∴f（－x）＝lg[1－sin（－x）]－lg[1＋sin（－x）]
＝lg（1＋sinx）－lg（1－sinx）＝－f（x）．
∴f（x）为奇函数．
（3）∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z．
∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
规律方法 判断函数奇偶性的两个关键点
关键点一：
看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：
看f（－x）与f（x）的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
【训练2】 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝|sinx|＋cosx；
（2）f（x）＝＋．
解
（1）函数的定义域为R，
又f（－x）＝|sin（－x）|＋cos（－x）＝|sinx|＋cosx＝f（x），所以f（x）是偶函数．
（2）由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f（x）＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数.
典例
迁移
题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】
（1）下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是（ ）
A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|
C．y＝sinD．y＝cos
解析 y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sinx|是偶函数，y＝sin＝cos2x是偶函数，y＝cos＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π．
答案 D
（2）定义在R上的函数f（x）既是偶函数，又是周期函数，若f（x）的最小正周期为π，且当x∈时，f（x）＝sinx，则f等于（ ）
A．－B．
C．－D．
解析 f（）＝f（－π）＝f（）＝f（－π）＝f（－）＝f（）＝sin＝．
答案 D
【迁移1】 若将例3
（2）题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
解 f（）＝f（－π）＝f（）＝f（－π）＝f（－）＝－f（）＝－sin＝－．
【迁移2】 若将例3
（2）题条件不变，求f＋f的值．
解 f（）＝f（672π＋）＝f（）＝sin＝，
f（）＝f（672π＋）＝f（）＝f（－）＝f（）＝sin＝，
所以f（）＋f（）＝＋＝．
规律方法 三角函数周期性与奇偶性的解题策略
（1）探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，再利用公式求解．
（2）判断函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx（Aω≠0）或y＝Acosωx（Aω≠0）其中的一个．
【训练3】 若函数f（x）是以为周期的偶函数，且f＝1，则f＝________．
解析 f（－）＝f（－＋3π）＝f（）＝f（－）＝f（－）＝f（）＝1．
答案 1
课堂达标
1．函数f（x）＝sin的最小正周期为（ ）
A．4πB．2πC．πD.
解析 由题意T＝＝π，故选C.
答案 C
2．函数f（x）＝cos（x－）的周期是（ ）
A．3B．3π
C．6D．6π
解析 T＝＝6．
答案 C
3．函数y＝sin（ωx＋）的最小正周期为2，则ω的值为________．
解析 T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π．
答案 ±π
4．函数f（x）是周期函数，10是f（x）的一个周期，且f
（2）＝，则f（22）＝________．
解析 f（22）＝f（22－20）＝f
（2）＝．
答案
5．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝sin
（2）f（x）＝x·cosx．
解
（1）f（x）的定义域是R，且f（x）＝sin＝－cosx，
所以f（－x）＝f（x），则f（x）是偶函数．
（2）f（x）的定义域是R，又f（－x）＝（－x）·cos（－x）＝－xcosx＝－f（x），
所以f（x）是奇函数．
课堂小结
1．求函数的最小正周期的常用方法：
（1）定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f（x＋T）＝f（x）成立的T．
（2）图象法，即作出y＝f（x）的图象，观察图象可求出T，如y＝|sinx|．
（3）结论法，一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R）的周期T＝．
2．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系，从而判断奇偶性．
基础过关
1．函数f（x）＝x＋sinx，x∈R（ ）
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
解析 由f（－x）＝－x－sinx＝－（x＋sinx）＝－f（x）可知f（x）是奇函数．
答案 A
2．下列函数中，周期为2π的是（ ）
A．y＝sinB．y＝sin2x
C．y＝|sin|D．y＝|sin2x|
解析 y＝sin的周期为T＝＝4π；
y＝sin2x的周期为T＝＝π；
y＝|sin|的周期为T＝2π；
y＝|sin2x|的周期为T＝．
故选C．
答案 C
3．定义在R上的函数f（x）周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为（ ）
A．1B．－1
C．0D．2
解析 f＝f＝f＝－f＝－1．
答案 B
4．若函数f（x）＝sin（x＋φ）是偶函数，则φ＝________．
解析 由诱导公式得若f（x）是偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z．
答案 ＋kπ，k∈Z
5．若f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝sinx，则f（x）的解析式为________．
解析 当x<0时，－x>0，所以f（－x）＝sin（－x）＝－sinx，
又f（－x）＝f（x），所以f（x）＝－sinx，
即f（x）＝
答案 f（x）＝
6．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝coscos（π＋x）；
（2）f（x）＝＋；
（3）f（x）＝．
解
（1）x∈R，f（x）＝cos（＋2x）cos（π＋x）
＝－sin2x·（－cosx）＝sin2xcosx．
∴f（－x）＝sin（－2x）cos（－x）＝－sin2xcosx
＝－f（x）．
∴y＝f（x）是奇函数．
（2）对任意x∈R，－1≤sinx≤1，
∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0．
∴f（x）＝＋的定义域是R．
∵f（－x）＝＋，
＝＋＝f（x），
∴y＝f（x）是偶函数．
（3）∵esinx－e－sinx≠0，∴sinx≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z．
∴定义域关于原点对称．
又∵f（－x）＝＝＝－f（x），
∴该函数是奇函数．
7．已知f（x）是以π为周期的偶函数，且x∈时，f（x）＝1－sinx，求当x∈时，f（x）的解析式．
解 x∈时，3π－x∈，
∵x∈时，f（x）＝1－sinx，
∴f（3π－x）＝1－sin（3π－x）＝1－sinx．
又∵f（x）是以π为周期的偶函数，
∴f（3π－x）＝f（－x）＝f（x），
∴f（x）的解析式为f（x）＝1－sinx，x∈．
能力提升
8．函数y＝的奇偶性为（ ）
A．奇函数
B．既是奇函数也是偶函数
C．偶函数
D．非奇非偶函数
解析 由题意知，当1－sinx≠0，
即sinx≠1时，
y＝＝|sinx|，
所以函数的定义域为，
由于定义域不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数．
答案 D
9．设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数，若f（x）＝则f的值等于（ ）
A．1B．
C．0D．－
解析 f＝f（－＋×3）＝f＝sin＝．
答案 B
10．关于x的函数f（x）＝sin（x＋φ）有以下说法：
①对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数；
②存在φ，使f（x）是偶函数；
③存在φ，使f（x）是奇函数；
④对任意的φ，f（x）都不是偶函数．
其中错误的是________（填序号）．
解析 φ＝0时，f（x）＝sinx是奇函数．
φ＝时，f（x）＝cosx是偶函数．
答案 ①④
11．设函数f（x）＝sinx，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2017）＝________．
解析 ∵f（x）＝sinx的周期T＝＝6．
∴f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2017）
＝336[f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）]＋f（2017）
＝336
＋f（336×6＋1）＝336×0＋f
（1）＝sin＝．
答案
12．判断函数f（x）＝ln（sinx＋）的奇偶性．
解 ∵sinx＋≥sinx＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sinx＝0且sinx＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sinx＋>0．
∵f（－x）＝ln（－sinx＋）
＝ln（－sinx）＝ln（＋sinx）－1
＝－ln（sinx＋）＝－f（x），
∴f（x）为奇函数．
13．（选做题）已知函数f（x）＝cos，若函数g（x）的最小正周期是π，且当x∈时，g（x）＝f，求关于x的方程g（x）＝的解集．
解 当x∈时，
g（x）＝f＝cos．
因为x＋∈，
所以由g（x）＝解得x＋＝－或，
即x＝－或－．
又因为g（x）的最小正周期为π．
所以g（x）＝的解集为
．
精美句子
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山中的石！
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当你随波逐流后，根基就没了。
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一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
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