第10章稳恒电流的磁场解读.docx

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第10章稳恒电流的磁场解读

大学物理练习册解答

第十章稳恒电流的磁场

1、四条相互平行的无限长直载流导线，电流强度均为I，如图

放置，若正方形每边长为2a，求正方形中心O点的磁感应强度

的大小和方向。

rrrrr解：

B0=B1+B2+B3+B4

无限长载流直导线产生的磁感应强度B=μ0I2πr14

由图中的矢量分析可得

μμ

IIB2+B4=20=02π2aπ2a

μIμIB0=20⋅cos450=0方向水平向左πaπ2a

2、把一根无限长直导线弯成图（a）、（b）所示形状，通以电

流I，分别求出O点的磁感应强度B的大小和方向。

I

（a）（b）

解：

（a）（b）均可看成由两个半无限长载流直导线1、3和圆弧2组成，且磁感应强度在O点的方向相同

（a）B0=μ0IμIμI3πμI=0（8+3π）方向垂直纸面向外。

+0+0⋅4πR4πR4πR416πR

rr（b）由于O点在电流1、3的延长线上，所以B1=B3=0

B0=B2=

18μ0I3π3μ0I⋅=4πR28R方向垂直纸面向外。

大学物理练习册解答

3、真空中有一边长为l的正三角形导体框架，另有互相平行并与三角形的bc边平行的长直导线1和2分别在a点和b点与三角形导体框架相连（如图）。

已知直导线中的电流为I，求正三角形中心点O处的磁感应强度B。

解：

三角形高为.h=l

sin600=l

4它在μI

dBx=dBsinθ=0sinθdθ2

2πR

dBy=−dBcosθ=−

μ0I2πR

μ0I2π2R

cosθdθ

μ0IπR

π

Bx=∫dBx=∫0

sinθdθ=

π

By=∫dBy=∫0−

μ0I2π2R

=

cosθdθ=0

∴BP=Bx=

μ0IπR

4π×10−7×5.0π×1.0×10

−2

=6.37×10−5（T）

方向为x轴正方向。

19

大学物理练习册解答

μ0Ia+bμ0IdxB=∫a=ln104πa（a+b−x）4πaa同理B2=B1方向−z

2+B2Bp=B12=2B1=μ0dIμ0IdxdB1==4π（a+b−x）4πa（a+b−x）方向−y2μ0Ia+bln4πaa方向yz平面内与y方向成2250角。

rμ0Ia+bˆ）或B=（−ˆj−klna4πaω6、如图所示，均匀带电刚性细杆AB，电荷线密度为λ，绕通过O点垂直于纸平面的轴以ω角速度匀速转动，（O点在细

杆AB延长线上），求O点的磁感应强度。

rrμ0qvˆ×r解：

方法一：

运动电荷的叠加，根据公式B=24πr

μdqvμλdrrωdB0=0

2=0

24πr4πr

a+bB0=∫aμ0λωμλωa+bdr=0ln4πr4πa

ωλdr2π方法二：

等效载流圆环在圆心的叠加，等效电流dI=

dB0=μ0dIμ0ωλdr=2r4πr

μ0ωλμωλa+bdr=0ln4πr4πaa+bB0=∫a

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大学物理练习册解答

7、一塑料圆盘，半径为R，可通过中心垂直于盘面的轴转动，设角速度为ω，

（1）当有电量为+q的电荷均匀分布于圆盘表面时，求圆盘中心O点的磁感应强度B；

（2）此时圆盘的磁距；

（3）若圆盘表面一半带电+q/2，另一半带电-q/2，求此时O点的磁感应强度B。

q

，取半径为r、宽解：

（1）盘的电荷密度为

σ=

B

（2（3

8、I1=I2

（1）I2

（2）解（2πx2π（d−x）

（2）取面积元dS=ldx

rrμ0I2μIdΦ=B⋅dS=BdS=[01+ldx

2πx2π（d−x）

r+r2

Φ=∫dΦ=∫r11

μ0I1μ0I2μIlr+rμIld−r1r+r

ldx+∫r112ldx=01ln12+02ln2πx2π（d−x）d−r1−r2r12π2π

−6

=

μ0I1ld−r1

=2.2×10ln

πr1

韦伯

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大学物理练习册解答

9、一根很长的铜线均匀通以电流I=10A，在导线内部作一平面，如图所示。

求通过平面S单位长度上的磁通量。

解：

由安培环路定律可求得圆柱内任意一点的BvvB⋅dl=μ0∑I

B2πr=μ

B=μ0

2π0IπR2⋅πr2IrR2

在距圆柱轴线为r与r+dr处取一面积元dS，通量为rrdΦ=B⋅dS=BdS

10、一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为R1）和同一轴的导体圆管（内、外半径分别为R2和R3）构成，使用时使电流I从导体圆柱流出，从导体圆管流回。

设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求磁感应强度的分布。

解：

由于电流分布具有轴对称性，可用安培环路定律求解

Iπr2μ0Ir2μ0Irr

μ0IR

r2−R2

2R2

rrr>R3B4）⋅dl=μ0∑I=μ0（I−I）=0μ0IR32−r2B3=（22πrR3−R22B4=0

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大学物理练习册解答

11、一无限大均匀载流平面置于外场中，左侧磁感应强

度量值为B1，右侧磁感应强度量值为3B1，方向如图所

示。

试求:

yB13B1

（1）载流平面上的面电流密度i；

（2）外场的磁感应强度B。

解：

B1=B0−μ0i

3B1=B0+iμ02

2B1

μ0→122B1=μ0i⇒i=

1B1=B0−μ0i=B0−B1⇒B0=2B12

12设电视显像管射出的电子束沿水平方向由南向北运动，电子能量为12000eV，地球磁场的垂直分量向下，大小为B=5.5×10-5Wb/m2，问:

（1）电子束将偏向什么方向?

（2）电子的加速度为多少?

（3）电子束在显象管内在南北方向上通过20cm时将偏转多远?

解：

（1）由洛仑兹力的方向判断电子束向东偏转

（2）由电子的动能可求其速度

V=2E=m2×12000×1.6×10−19=6.48×107m−319.11×10

电子在磁场中受洛仑兹力的作用而作圆周运动，向心加速度为

FBeV5.5×10−5×1.6×10−19×6.48×107

2an====6.2×1014ms−31mm9.11×10

（3）电子运动的轨迹为圆，半径为R

由图可知当电子在南北方向前进y时，它将偏转Δx

mV9.11×10−31×6.48×107R===6.4（m）−19−3eB1.6×10×5.5×10Δx=R−R2−y2=6.4−（6.4）2−（0.2）2=2.98mm23

大学物理练习册解答

13、无限长直导线通过电流I1，在其旁边放一导线AB，长为l，与I1共面并相互垂直，通以电流I2，试求:

（1）AB导线受到的力的大小与方向；

（2）当棒A端固定，则导线AB对A点的磁力距等于多少?

解：

（1）在I2上取I2dx，其受力方向垂直AB向上dF=I2dxB1=μ0I1I2dx2πx，I1B

（2）I2dx受到的磁力矩为F=∫dF=∫dd+lμIId+lμ0I1I2dx=012lnd2π2πxμ0I1I2dx2πxdM=（x−d）dF=（x−d）

M=∫dM=∫d（x−d）l+d

14、有一无限长载流直导线，通以电流I1。

另有一半径为R的圆形电流I2，其直径AB与电流I1重合，在相交处绝缘，求:

（1）半圆ACB受力大小和方向

（2）整个圆形电流I2所受合力大小和方向（3）线圈所受磁力矩。

解：

（1）在半圆上取一圆弧dl，受力为πμ0I1dF=I2dlB1sin=I2dl22πx=μIId+lμ0I1I2dx=0121−dlnd2π2πx

μ0I1I2μII⋅Rdθ=012dθ2πRsinθ2πsinθdFx=dFsinθ=dFy=dFcosθ

πμ0I1I2μIIdθsinθ=012dθ2πsinθ2πθ由于对称性分析∫dFy=0所以FACB=∫dFx=∫0μ0I1I21dθ=μ0I1I222π方向沿x轴的正方向。

（2）同理可求BDA半圆受力

24FBDA=1μ0I1I22方向沿x正方向。

F=FACB+FBDA=2Fx=μ0I1I2

大学物理练习册解答

（3）dMm=xdFy由对称性分析可知M=0

15、氢原子中，电子绕原子核沿半径为r的圆作圆周运动，它等效于一个圆形电流，如果外加一个磁感应强度为B的磁场，其磁力线与轨道平面平行，那么这个圆电流所受的磁力矩的大小为多少?

（设电子质量为me，电子电量的绝对值为e）。

解：

电子绕核运动mv2e2e2

er=4πε2⇒v=

0r4πε0rme

等效电流I=eeev

T=2πr=2πr

v

Mr=rP×Br⇒M=P2e2Br

mB=IπrB=4πε

0me

16、水平桌面上放置一个绕有N匝的圆线圈，其半径为R，

质量为m，通有电流I，由上往下看，电流为顺时针方向。

若已知该处地磁场的磁感应强度为B，其方向为向北且偏向

下，与水平方向成一倾角θ（如图所示）。

问当电流I超过多

大时，线圈可从桌面上翘起？

翘起的是哪一侧？

解：

通电线圈受到的磁力矩

M=P⎛π⎞2

mBsin⎜⎝2−θ⎟⎠=NIπRcosθB

此力矩使线圈绕A点转动

线圈对A点的重力矩M'=mgR

线圈能翘起，应满足M≥M'

所以Img

min=BNπRcosθ

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大学物理练习册解答

17、边长为l=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T的

均匀磁场中，如图所示。

使线圈通以电流I=10A，求:

（1）每边所受的力

（2）磁力矩大小

（3）从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功。

rrr解：

（1）根据安培力公式dF=Idl×B

ac:

Fac=IlBsin60=10×0.1×1×0.866=0.866（N）

方向垂直纸面向外

ba:

Fba=IlBsin600=0.866（N）方向垂直纸面向里

0cb:

Fcb=IlBsinπ=0

rrrrr1

（2）M=P×BM=ISBsin（n,B）=10××0.1×0.1×0−222

0（3）A=IΔΦ=I（Φ−Φ0）=I（BScos0−BScos）=IBl⋅lsin221−2=10×1××0.1×0.1×0.866=4.33×10（J）π12

18、总匝数为N的均匀密绕平面螺旋线圈，半径由r绕至R，

通有电流I，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向

与线圈平面平行，如图所示。

试求：

（1）平面线圈的磁矩；

（2）线圈在该位置所受到的磁力矩；

（3）线圈在磁力矩作用下转到平衡位置过程中，磁力矩所做的功。

解：

（1）在距中心距离ρ处，取宽度为dρ的细圆环线圈的匝数dN=

其磁矩为dPm=IdNπρ2=NIπρ2dρR−r

RNdρR−r

整个线圈的磁矩Pm=∫dPm=∫N1Iπρ2dρ=NIπ（R2+Rr+r2）rR−r3

022

（2）磁力矩M=PmBsin90=NIπB（R+Rr+r）13

（3）任何位置的磁力矩M=PmBsinϕ26

大学物理练习册解答A=∫Mdθ=∫PmBsin⎜

00π2π21⎛π⎞−θ⎟dθ=πNIBR2+Rr+r23⎝2⎠（）

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