精讲精练:因式分解方法分类总结-培优(含答案)Word格式文档下载.doc
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4.在代数证明题中的应用
证明:
对于任意自然数n,一定是10的倍数。
首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n,和都是10的倍数。
一定是10的倍数
5、中考点拨:
例1。
因式分解
说明:
因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得到。
例2.分解因式:
在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。
题型展示:
例1.计算:
精析与解答:
设,则
此题是一个有规律的大数字的运算,若直接计算,运算量必然很大。
其中2000、2001重复出现,又有的特点,可通过设未知数,将复杂数字间的运算转化为代数式,再利用多项式的因式分解化简求值,从而简化计算。
例2.已知:
(b、c为整数)是及的公因式,求b、c的值。
常规解法是分别将两个多项式分解因式,求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。
注意到是及的因式。
因而也是的因式,所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
是及的公因式
也是多项式的二次因式
而
b、c为整数
得:
这是对原命题进行演绎推理后,转化为解多项式,从而简便求得。
例3.设x为整数,试判断是质数还是合数,请说明理由。
都是大于1的自然数
是合数
在大于1的正数中,除了1和这个数本身,还能被其它正整数整除的数叫合数。
只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1.分解因式:
(2)(n为正整数)
(3)
2.计算:
的结果是()
A. B. C. D.
3.已知x、y都是正整数,且,求x、y。
4.证明:
能被45整除。
5.化简:
,且当时,求原式的值。
试题答案
1.分析与解答:
(3)原式
注意:
结果多项因式要化简,同时要分解彻底。
2.B
3.
是正整数
分解成
又与奇偶性相同,且
求不定方程的整数解,经常运用因式分解来解决。
4.证明:
能被45整除
5.解:
逐次分解:
当时,原式
-5-
初二数学(下)·
公式法
把乘法公式反过来,就可以得到因式分解的公式。
主要有:
平方差公式
完全平方公式
立方和、立方差公式
补充:
欧拉公式:
特别地:
(1)当时,有
(2)当时,欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点,熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后,方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值,解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此,正确掌握公式法因式分解,熟练灵活地运用它,对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解
1.把分解因式的结果是()
A. B.
C. D.
。
再利用平方差公式进行分解,最后得到,故选择B。
说明:
解这类题目时,一般先观察现有项的特征,通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用
已知多项式有一个因式是,求的值。
由整式的乘法与因式分解互为逆运算,可假设另一个因式,再用待定系数法即可求出的值。
根据已知条件,设
则
由此可得
由
(1)得
把代入
(2),得
把代入(3),得
3.在几何题中的应用。
已知是的三条边,且满足,试判断的形状。
因为题中有,考虑到要用完全平方公式,首先要把转成。
所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。
为等边三角形。
4.在代数证明题中应用
两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
先根据已知条件把奇数表示出来,然后进行变形和讨论。
设这两个连续奇数分别为(为整数)
由此可见,一定是8的倍数。
例1:
因式分解:
________。
因式分解时,先看有没有公因式。
此题应先提取公因式,再用平方差公式分解彻底。
例2:
分解因式:
_________。
先提取公因式,再用完全平方公式分解彻底。
例1.已知:
,
求的值。
原式
本题属于条件求值问题,解题时没有把条件直接代入代数式求值,而是把代数式因式分解,变形后再把条件带入,从而简化计算过程。
例2.已知,
求证:
证明:
把代入上式,
可得,即或或
若,则,
若或,同理也有
利用补充公式确定的值,命题得证。
例3.若,求的值。
且
又
两式相减得
所以
按常规需求出的值,此路行不通。
用因式分解变形已知条件,简化计算过程。
1.
(1)
解:
把看成整体,利用平方差公式分解。
(2)
(2)
(3)(3)
2.已知:
,求的值。
3.若是三角形的三条边,求证:
分析与解答:
由于对三角形而言,需满足两边之差小于第三边,因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。
是三角形三边
即
4.已知:
解
,即
5.已知是不全相等的实数,且,试求
(1)的值;
(2)的值。
(1)由因式分解可知
故需考虑值的情况,
(2)所求代数式较复杂,考虑恒等变形。
(1)
不全相等
而,即
因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。
-10-
分组分解法
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。
使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。
能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
1.在数学计算、化简、证明题中的应用
例1.把多项式分解因式,所得的结果为()
先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。
故选择C
例2.分解因式
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;
此题也可把,分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解法1:
解法2:
2.在几何学中的应用
已知三条线段长分别为a、b、c,且满足
以a、b、c为三边能构成三角形
构成三角形的条件,即三边关系定理,是“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”
3.在方程中的应用
求方程的整数解
这是一道求不定方程的整数解问题,直接求解有困难,因等式两边都含有x与y,故可考虑借助因式分解求解
4、中考点拨
例1.分解因式:
_____________。
观察此题是四项式,应采用分组分解法,中间两项虽符合平方差公式,但搭配在一起不能分解到底,应把后三项结合在一起,再应用完全平方公式和平方差公式。
____________
前两项符合平方差公式,把后两项结合,看成整体提取公因式。
例3.分解因式:
分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示:
例1.分解因式:
观察此题,直接分解比较困难,不妨先去括号,再分组,把4mn分成2mn和2mn,配成完全平方和平方差公式。
,求ab+cd的值。
ab+cd=
首先要充分利用已知条件中的1(任何数乘以1,其值不变),其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式,由ac+bd=0可算出结果。
此题无法用常规思路分解,需拆添项。
观察多项式发现当x=1时,它的值为0,这就意味着的一个因式,因此变形的目的是凑这个因式。
解一(拆项):
解二(添项):
拆添项法也是分解因式的一种常见方法,请同学们试拆一次项和常数项,看看是否可解?
1.填空题:
(1)解:
(2)解:
(3)解:
因式分解是一种重要的恒等变形,在代数式求值中有很大作用。
3.分解因式:
,试求A的表达式
5.证明:
证明:
-14-
十字相乘法
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法,重点是运用公式
进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数。
对于二次三项(a、b、c都是整数,且)来说,如果存在四个整数满足,并且,那么二次三项式即可以分解为。
这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
1.在方程、不等式中的应用
,求x的取值范围。
本题为二次不等式,可以应用因式分解化二次为一次,即可求解。
例2.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积,试求m的值,并把这个多项式分解因式。
应当把分成,而对于常数项-2,可能分解成,或者分解成,由此分为两种情况进行讨论。
(1)设原式分解为,其中a、b为整数,去括号,得:
将它与原式的各项系数进行对比,得:
解得:
此时,原式
(2)设原式分解为,其中c、d为整数,去括号,得:
例.已知:
长方形的长、宽为x、y,周长为16cm,且满足
,求长方形的面积。
要求长方形的面积,需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
或
或
∴长方形的面积为15cm2或
3、在代数证明题中的应用
例.证明:
若是7的倍数,其中x,y都是整数,则是49的倍数。
要证明原式是49的倍数,必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明一:
∵是7的倍数,7y也是7的倍数(y是整数)
∴是7的倍数
而2与7互质,因此,是7的倍数,所以是49的倍数。
证明二:
∵是7的倍数,设(m是整数)
又∵
∵x,m是整数,∴也是整数
所以,是49的倍数。
例1.把分解因式的结果是________________。
多项式有公因式,提取后又符合十字相乘法和公式法,继续分解彻底。
例2.:
_______________
分解系数时一定要注意符号,否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示
例1.若能分解为两个一次因式的积,则m的值为()
A.1 B.-1 C. D.2
-6可分解成或,因此,存在两种情况:
由
(1)可得:
,由
(1)可得:
故选择C。
对二元二次多项式分解因式时,要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积,再通过待定系数法确定其系数,这是一种常用的方法。
a、b、c为互不相等的数,且满足。
求证:
抓住已知条件,应用因式分解使命题得证。
例3.若有一因式。
求a,并将原式因式分解。
有一因式
∴当,即时,
由条件知,时多项式的值为零,代入求得a,再利用原式有一个因式是,分解时尽量出现,从而分解彻底。
(1)
(2)
(3)
2.在多项式,哪些是多项式的因式?
3.已知多项式有一个因式,求k的值,并把原式分解因式。
4.分解因式:
5.已知:
【试题答案】
1.
(1)解:
2.解:
∴其中是多项式
的因式。
先正确分解,再判断。
3.解:
设
且
待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法,所给多项式是三次式,已知有一个一次因式,则另一个因式为二次式,由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.解:
简析:
由于项数多,直接分解的难度较大,可利用待定系数法。
设
比较同类项系数,得:
5.解:
用因式分解可简化计算。
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