高中数学湘教版必修1第一章 集合与函数128.docx

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高中数学湘教版必修1第一章集合与函数128

1.2.8　二次函数的图象和性质——对称性

[学习目标]　1.能说出奇函数和偶函数的定义.2.会判断具体函数的奇偶性.3.会分析二次函数图象的对称性.4.能求一个二次函数在闭区间上的最值．

[知识链接]

函数y＝x的图象关于原点对称，y＝x2的图象关于y轴对称．

[预习导引]

1．函数的奇偶性

（1）如果对一切使F（x）有定义的x，F（－x）也有定义，并且F（－x）＝F（x）成立，则称F（x）为偶函数；

（2）如果对一切使F（x）有定义的x，F（－x）也有定义，并且F（－x）＝－F（x）成立，则称F（x）为奇函数．

2．二次函数图象的对称性

（1）二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝－

；

（2）如果函数f（x）对任意的h都有f（s＋h）＝f（s－h），那么f（x）的图象关于直线x＝s对称.

要点一　函数奇偶性的判断

例1　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3＋x；

（2）f（x）＝|x＋2|＋|x－2|；

（3）f（x）＝x2＋

；

（4）f（x）＝

；

（5）f（x）＝

＋

.

解　

（1）函数定义域为R，且f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－x3－x＝－（x3＋x）＝－f（x），所以该函数是奇函数；

（2）函数定义域为R，且f（－x）＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f（x），所以该函数是偶函数；

（3）函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；

（4）函数定义域是{x|x≠－1}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数；

（5）要使函数有意义，需满足

解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f（x）＝0.

所以f（－x）＝f（x），f（－x）＝－f（x），因此该函数既是奇函数又是偶函数．

规律方法　1.判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：

（1）定义法：

若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f（－x）是否等于±f（x），或判断f（－x）±f（x）是否等于0，从而确定奇偶性．注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论后再进行奇偶性的判定．

（2）图象法：

若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．

（3）还有如下性质可判定函数奇偶性：

偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．（注：

利用以上结论时要注意各函数的定义域）

2．判断函数奇偶性前，不宜盲目化简函数解析式，若必须化简，要在定义域的限制之下进行，否则很容易影响判断，得到错误结果．

跟踪演练1　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝

；

（2）f（x）＝

；

（3）f（x）＝（x2－1）

.

解　

（1）函数定义域为R，

且f（－x）＝

＝

＝－f（x）．

故该函数是奇函数；

（2）函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f（－x）＝

＝

＝f（x）．故f（x）是偶函数．

（3）函数定义域是{x|x≥－1}，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数．

要点二　函数奇偶性的简单应用

例2　

（1）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝2x2－x，则f

（1）等于（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

（2）若函数f（x）＝x3＋3x＋a是奇函数，则实数a＝________.

答案　

（1）A　

（2）0

解析　

（1）因为当x≤0时，f（x）＝2x2－x，

所以f（－1）＝2×（－1）2－（－1）＝3.

又f（x）是奇函数，

所以f

（1）＝－f（－1）＝－3，选A.

（2）方法一　因为f（x）是奇函数，

所以f（－x）＝－f（x）对任意x∈R都成立，

即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a对任意x∈R都成立．

所以a＝0.

方法二　因为f（x）是奇函数且在x＝0处有定义．

必有f（0）＝0，即03＋3×0＋a＝0，解得a＝0.

规律方法　1.利用奇偶性求值时，主要根据f（x）与f（－x）的关系将未知转化为已知求解，若需要借助解析式求值，代入自变量值时，该自变量值必须在该解析式对应的区间上，否则不能代入求值，而应转化．

2．已知函数是奇函数或偶函数，求解析式中参数值时，通常有两种方法：

一是利用奇、偶函数的定义建立关于参数的方程求解，二是采用特殊值法，尤其是在x＝0处有定义的奇函数，还可根据f（0）＝0求解．

跟踪演练2　

（1）已知f（x）是偶函数，且f（4）＝5，那么f（4）＋f（－4）的值为（　　）

A．5B．10C．8D．不确定

（2）若函数y＝（x＋1）（x－a）为偶函数，则a等于（　　）

A．－2B．－1C．1D．2

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）∵f（x）是偶函数，

∴f（4）＋f（－4）＝f（4）＋f（4）＝2f（4）＝2×5＝10.

（2）∵f（x）是偶函数，

∴f（－x）＝f（x）对任意x∈R都成立，

即（－x＋1）（－x－a）＝（x＋1）（x－a）．

整理得2（a－1）x＝0，

∵x∈R，∴必有a－1＝0，即a＝1.

要点三　二次函数的区间最值问题

例3　已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

用a表示出函数f（x）在区间[－5,5]上的最值．

解　函数f（x）＝x2＋2ax＋2＝（x＋a）2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.

①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上递增，所以f（x）max＝f（5）＝27＋10a，

f（x）min＝f（－5）＝27－10a；

②当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图象如图

（1）所示．

由图象可得f（x）min＝f（－a）＝2－a2，

f（x）max＝f（5）＝27＋10a；

③当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图象如图

（2）所示，由图象可得f（x）max＝f（－5）＝27－10a，

f（x）min＝f（－a）＝2－a2；

④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上递减，所以f（x）min＝f（5）＝27＋10a，

f（x）max＝f（－5）＝27－10a.

规律方法　1.对于定义域为R的二次函数，其最值和值域可通过配方法求解．

2．若求二次函数在某闭（或开）区间（非R）内的最值或值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：

（1）若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；

（2）若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域．

跟踪演练3　求函数f（x）＝－x2－mx＋6（m＜0）在区间[0,2]上的最大值．

解　f（x）＝－x2－mx＋6＝－（x＋

）2＋

＋6，

该函数曲线开口向下，对称轴为直线x＝－

.

（1）当－

＞2，即m＜－4时，f（x）在[0,2]上单调递增，其最大值为f

（2）＝2－2m.

（2）当0＜－

≤2，即－4≤m＜0时，f（x）在[0,2]上的最大值为f（－

）＝

＋6.

1．下列函数为奇函数的是（　　）

A．y＝|x|　　　　　　　B．y＝3－x

C．y＝

D．y＝－x2＋4

答案　C

解析　A项和D项中的函数为偶函数，B项中的函数是非奇非偶函数，选C.

2．对于定义在R上的函数f（x），给出下列判断：

（1）若f（－2）＝f

（2），则函数f（x）是偶函数；

（2）若f（－2）≠f

（2），则函数f（x）不是偶函数；

（3）若f（－2）＝f

（2），则函数f（x）不是奇函数．

其中正确的判断的个数是（　　）

A．0　　　　B．1C．2　　　　D．3

答案　B

解析　

（1）仅有f（－2）＝f

（2）不足以确定函数的奇偶性，不满足奇函数、偶函数定义中的“任意”，故

（1）错误；

（2）当f（－2）≠f

（2）时，该函数就一定不是偶函数，故

（2）正确；

（3）若f（－2）＝f

（2），则不能确定函数f（x）不是奇函数．如若f（x）＝0，x∈R，则f（－2）＝f

（2），但函数f（x）＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数，故（3）错误．

3．函数y＝

·

（　　）

A．是奇函数B．既是奇函数又是偶函数

C．是偶函数D．是非奇非偶函数

答案　D

解析　函数定义域是{x|x≥1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数，选D.

4．函数f（x）＝－2x2＋x－1在区间[－1,2]上的值域是（　　）

A．（－∞，－

]B．[－7，－4]

C．[－7，－

]D．[－4，－

]

答案　C

解析　由于f（x）＝－2x2＋x－1＝－2（x－

）2－

，

而

∈[－1,2]，所以f（x）最大值是f（

）＝－

，

最小值为f

（2）＝－7，故值域为[－7，－

]，

故选C.

5．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f（x）为偶函数，那么a＝________.

答案　8

解析　∵f（x）为区间[3－a,5]上的偶函数，

∴区间[3－a,5]关于坐标原点对称，

∴3－a＝－5，即a＝8.

1.在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了作为奇函数或偶函数的条件．

2．解题中可以灵活运用f（x）±f（－x）＝0对奇偶性作出判断．

3．奇函数f（x）若在x＝0处有意义，则必有f（0）＝0.

4．奇函数、偶函数的图象特点反映了数和形的统一性．

5．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝－

，开口方向由a确定，和x轴的位置关系由判别式Δ＝b2－4ac确定.

一、基础达标

1．下列说法错误的个数为（　　）

①图象关于原点对称的函数是奇函数；

②图象关于y轴对称的函数是偶函数；

③奇函数的图象一定过原点；

④偶函数的图象一定与y轴相交．

A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．0

答案　C

解析　①、②由奇、偶函数的性质知正确；对于③，如f（x）＝

，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是奇函数，但它的图象不过原点；对于④，如f（x）＝

，x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），它是偶函数，但它的图象不与y轴相交．

2．函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞）时为增函数，当x∈（－∞，－2]时为减函数，则f

（1）等于（　　）

A．1　　　　B．9C．－3　　　　D．13

答案　D

解析　由已知得对称轴x＝

＝－2，

∴m＝－8，∴f

（1）＝2－m＋3＝5－m＝13.

3．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），则f（6）的值为（　　）

A．－1　　　　B．0C．1　　　　D．2

答案　B

解析　∵f（x）在R上是奇函数，∴f（0）＝0，

又∵f（x＋2）＝－f（x），∴f

（2）＝－f（0）＝0，

又∵f（2＋2）＝－f

（2）＝0，

f（4＋2）＝－f（2＋2）＝0，∴f（6）＝0.

4．若函数y＝x2＋（a＋2）x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.

答案　6

解析　由题意得－

＝1.∴a＝－4.

∴

＝1，∴b＝6.

5．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（－2a－3≤x≤1）是偶函数，则a＝________，b＝________.

答案　－1　0

解析　∵f（x）是偶函数，∴其定义域关于原点对称，

∴－2a－3＝－1，∴a＝－1.

∴f（x）＝－x2＋bx＋c.

∵f（－x）＝f（x），

∴－（－x）2＋b（－x）＋c＝－x2＋bx＋c.

∴－b＝b，∴b＝0.

6．已知f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间x∈[1,5]上的最小值为f（5），则a的取值范围为________．

答案　（－∞，－4]

解析　由已知得对称轴方程为x＝1－a，

∵区间x∈[1,5]上的最小值为f（5），

∴1－a≥5，得a≤－4.

7．判断函数f（x）＝（x－1）

的奇偶性．

解　函数f（x）的定义域为{x|－1≤x＜1}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．

二、能力提升

8．若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，则g（x）＝ax3＋bx2＋cx是（　　）

A．奇函数B．偶函数

C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数

答案　A

解析　∵f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，

∴b＝0，∴g（x）＝ax3＋cx，

g（－x）＝－ax3－cx＝－g（x），∴g（x）为奇函数．

9．设函数f（x）＝

若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则关于x的方程f（x）＝x的解的个数为（　　）

A．1　　　　B．2C．3　　　　D．4

答案　C

解析　∵f（－4）＝f（0），∴－

＝

＝－2，

∴b＝4，又f（－2）＝－2，

∴4＋4×（－2）＋c＝－2，

∴c＝2，∴f（x）＝

作图（图略）可知选C.

10．若f（x）＝ag（x）＋b，a为常数，g（x）为R上的奇函数，且f（－2）＝10，则f

（2）＝________.

答案　2b－10

解析　∵f（x）＝ag（x）＋b，①

∴f（－x）＝ag（－x）＋b＝－ag（x）＋b，②

①＋②得，f（x）＋f（－x）＝2b，

∴f（x）＝2b－f（－x），∴f

（2）＝2b－f（－2）＝2b－10.

11．已知函数f（x）＝ax2＋3a为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，求f（x）的最大值与最小值．

解　∵f（x）＝ax2＋3a为偶函数，定义域为[a－1,2a]，

∴a－1＝－2a，∴a＝

，∴f（x）＝

x2＋1，

且定义域为[－

，

]，∴f（x）min＝f（0）＝1，

f（x）max＝f（

）＝

.

∴函数的最大值为

，最小值为1.

三、探究与创新

12．如果函数f（x）＝x2＋bx＋c，对于任意实数t都有f（2＋t）＝f（2－t），比较f

（1）、f

（2）、f（4）的大小．

解　由题意知，对任意实数t，有f（2＋t）＝f（2－t），

即（2＋t）2＋b（2＋t）＋c＝（2－t）2＋b（2－t）＋c，

化简得（2b＋8）t＝0，∴2b＋8＝0，∴b＝－4，

∴f（x）的对称轴为x＝2，故f

（1）＝f（3）．

∵f（x）在[2，＋∞）上是递增函数，

∴f

（2）＜f（3）＜f（4），即f

（2）＜f

（1）＜f（4）．

13．求函数f（x）＝x2－2ax－1在[0,2]上的最值．

解　二次函数f（x）＝x2－2ax－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝a.

当a≤0时，f（x）在[0,2]上是增函数，此时f（x）的最小值为f（0）＝－1，最大值为f

（2）＝4－4a－1＝3－4a；

当0＜a≤1时，f（x）在[0，a]上是减函数，在[a,2]上是增函数，此时f（x）的最小值为f（a）＝－a2－1，最大值为f

（2）＝3－4a；

当1＜a＜2时，f（x）在[0，a]上是减函数，在[a,2]上是增函数，此时f（x）的最小值为f（a）＝－a2－1，最大值为f（0）＝－1；

当a≥2时，f（x）在[0,2]上是减函数，此时f（x）的最小值为f

（2）＝3－4a，最大值为f（0）＝－1.