江苏省南通市届高三第一次调研考试数学参考答案及评分建议.docx

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江苏省南通市届高三第一次调研考试数学参考答案及评分建议

2021届高三第一次调研测试数学参考答案及讲评建议

一、选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x∈N|2

A．{x|3≤x<5}

B．{x|2

C．{3，4}

D．{3，4，5}

【答案】C

2．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5=0的根，则实数a=

A．2-i

【答案】B

B．-4

C．2D．4

3．哥隆尺是一种特殊的尺子．图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为

A．11B．13C．15D．17

0146

014

101217

图1图2

【答案】C

4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述．在该模型中，人体内药物含量x（单位：

mg）与给药时间t（单位：

h）

近似满足函数关系式x=k0

k

（1-e-kt），其中k，k分别称为给药速率和药物消除速率

0

（单位：

mg/h）．经测试发现，当t=23时，x=k0，则该药物的消除速率k的值约

2k

为（ln2≈0.69）

A．3

100

【答案】A

B．3

10

C．10

3

D．100

3

5．（1-2x）n的二项展开式中，奇数项的系数和为

A．2n

B．2

n-1

（-1）n+3n

C．2

（-1）n-3n

D．2

【答案】C

6．函数y=sinπx

2x-1

的图象大致为

AB

CD

【答案】D

7．已知点P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：

甲：

PA+PB+PC=0；乙：

PA⋅（PA-PB）=PC⋅（PA-PB）；

丙：

PA=PB=PC；丁：

PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA．

如果只有一个等式不成立，则该等式为

A．甲B．乙C．丙D．丁

【答案】B

8．已知曲线y=lnx在A（x，y），B（x，y）两点处的切线分别与曲线y=ex相切于

1122

C（x3，y3），D（x4，y4），则x1x2+y3y4的值为

A．1B．2C．52

D．17

4

【答案】B

二、选择题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则

A．若mα，nα，则mn

B．若mα，m⊥β，则α⊥β

C．若αβ，m⊥α，n⊥β，则mn

D．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥n

【答案】BC

10．已知函数f（x）=sin（2x-π），则

6

A．f（x）的最小正周期为π

B．将y=sin2x的图象上所有的点向右平移π个单位长度，可得到f（x）的图象

6

（）

C．f（x）在-π，π上单调递增

（）

63

D．点-5π，0是f（x）图象的一个对称中心12

【答案】ACD

⎧-x3-x+2+m，x<1

11．若函数f（x）=⎨

的值域为[2，+∞），则

⎩x+1-lnx，

A．f（3）>f

（2）

C．f（ln2）

（1）

x≥1

B．m≥2

D．log（m+1）>log（m+2）

2e

【答案】ABD

m（m+1）

12．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：

若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3︒C，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于37.3︒C人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为

A．中位数为3，众数为2B．均值小于1，中位数为1

C．均值为3，众数为4D．均值为2，标准差为

【答案】BD

9

三、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在正项等比数列{an}中，若a3a5a7=27，则∑log3ai=．

i=1

【答案】9

14．已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x，写出双曲线C的一个标准方程：

．

2

【答案】x2-y

4

=1（答案不唯一）

15．“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：

如图，△ABC的三条边长分别为BC=a，AC=b，AB=c．延长线段CA至点A1，

使得AA1=a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，

C1

那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．

cC

已知a=4，b=3，c=5，则由△ABC

A2ab

生成的康威圆的半径为．Ac

a

【答案】A1

C2

ca

bB1

B

b

B2

16．已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8．若P为圆柱底面圆弧CD的中点，则平面PAB与球O的交线长为．

【答案】410π

5

四、解答题：

本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知等差数列{an}满足an+2an+1=3n+5．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记数列⎧1⎫的前n项和为S．若∀n∈N*，S

<-λ2+4λ（λ为偶数），

⎨aa⎬nn

⎩nn+1⎭

求λ的值．

【解】

（1）设等差数列{an}的公差为d，

⎨

因为a+2a=3n+5，所以⎧a1+2a2=8，

a

nn+1

⎨

即⎧3a1+2d=8，

⎩3a1+5d=11，

⎩2+2a3

=11，

……2分

解得a1=2，d=1，所以an=2+（n-1）=n+1．经检验，an=n+1符合题设，

所以数列{an}的通项公式为an=n+1．……4分

（2）由

（1）得，1=1=1-1，……6分

anan+1

（n+1）（n+2）

n+1

n+2

所以Sn=（1-1）+（1-1）++（1-1）=1-1．……8分

2334n+1n+22n+2

n

因为∀n∈N*，S<-λ2+4λ，

所以-λ2+4λ≥1，即（λ-2）2≤7．

22

因为λ为偶数，所以λ=2．……10分

18．（12分）

在①（b+a-c）（b-a+c）=ac；②cos（A+B）=sin（A-B）；③tanA+B=sinC这三个

2

条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：

是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，

，？

注：

如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．

【解】选择条件①和②．

因为（b+a-c）（b-a+c）=ac，所以a2+c2-b2=ac，……2分

由余弦定理，得cosB=a2+c2-b2=1．

2ac2

因为0

3

因为cos（A+B）=sin（A-B），所以cos（A+π）=sin（A-π），

33

所以cosAcosπ-sinAsinπ=sinAcosπ-cosAsinπ，

3333

所以sinA=cosA．……6分

因为0

4

在△ABC中，由正弦定理a

sinA

=b

sinB

，得22

sinπ

=b

sinπ

．……10分

22sinπ

所以b=3=2

sinπ

4

选择条件①和③．

43

．……12分

因为（b+a-c）（b-a+c）=ac，所以a2+c2-b2=ac．……2分

由余弦定理，得cosB=a2+c2-b2=1．

2ac2

因为0

3

sinπ-C

cosC

因为tanA+B=sinC，且tanA+B=tanπ-C=2=2，

222

cosπ-C

sinC

22

cosCCC

所以2

sinC

2

=sinC=2sin2cos2

．……6分

因为0

222

因为00，所以sinC=2，可得C=π．……8分

2222

所以在Rt△ABC中，b=atanπ=2

3

．……12分

选择条件②和③．

因为cos（A+B）=sin（A-B），

所以cosAcosB-sinAsinB=sinAcosB-cosAsinB，

所以（sinA-cosA）（sinB+cosB）=0．……2分所以sinA=cosA或sinB=-cosB．

因为0

所以A=π或B=3π．……4分

44

sinπ-C

cosC

又因为tanA+B=sinC，且tanA+B=tanπ-C=2=2，

222

cosπ-C

sinC

cosC

所以2

sinC

2

22

=sinC=2sinCcosC．……6分

22

因为0

222

因为00，所以sinC=2，可得C=π．……8分

2222

在△ABC中，A+B+C=π，所以A=π，C=π，B=π．……10分

424

所以△ABC为等腰直角三角形，所以b=a=2．……12分

19．（12分）

2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式．为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：

性别

科目

男生

女生

合计

物理

300

历史

150

合计

400

800

（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组．一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得．记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

附：

K2=

n（ad-bc）2

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

性别

科目

男生

女生

合计

物理

300

250

550

历史

100

150

250

合计

400

400

800

【解】

（1）

2800⨯（300⨯150-250⨯100）2

（450-250）2

160

……2分

因为K=

550⨯250⨯400⨯400

=55⨯25⨯2

=11

>10.828，

所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关．……6分

（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人．……7分

随机变量X的所有可能取值为0，1，2．

C0C31

C1C23

C2C13

所以P（X=0）=23=，P（X=1）=23=，P（X=2）=23=．

C

C

C

5

5

5

5

3103

310

所以X的分布列为

X

0

1

2

P

110

3

5

310

所以E（X）=0⨯1+1⨯3+2⨯3

=6．

……10分

105105

答：

X的数学期望为6．……12分

5

20．（12分）

如图，在正六边形ABCDEF中，将△ABF沿直线BF翻折至△A'BF，使得平面A'BF⊥平面BCDEF，O，H分别为BF和A'C的中点．

（1）证明：

OH∥平面A'EF；

（2）求平面A'BC与平面A'DE所成锐二面角的余弦值．

FE

A'

AD

D

BCB

图1图2

【解】

（1）如图，取A'E的中点G，

连结FG，HG，CE．

又因为H是A'C的中点，

所以HG∥CE，HG=1CE．

2

A'G

E

F

H

OD

BC

又因为正六边形ABCDEF中，BF∥CE，BF=CE，

所以HG∥BF，HG=1BF．……2分

2

又O为BF的中点，所以HG∥OF，HG=OF，

所以四边形OFGH为平行四边形，所以OH∥FG．……4分因为FG⊂平面A'EF，OH⊄平面A'EF，

所以OH∥平面A'EF．……6分

（2）由条件可知OA'⊥OB，OA'⊥OD，OD⊥OB．分别以OB，OD，OA'所在直线为

x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．

设正六边形ABCDEF的边长为2，则B（3，0，0），C（3，2，0），

D（0，3，0），E（-3，2，0），A'（0，0，1），

所以BC=（0，2，0），A'C=（3，2，-1），

ED=（3，1，0），A'D=（0，3，-1）．

设平面A'BC的法向量为n1=（x1，y1，z1），

⎧n⋅=

⎧2y

=0，

由⎪1BC0，⎪1

⎨得⎨

⎪⎩n1⋅A'C=0⎩⎪3x1+2y1-z1=0.

取x1=1，可得n1=（1，0，

3）．……8分

设平面A'DE的法向量为n2=（x2，y2，z2），

⎧⎪n

⋅=0，

⎧⎪3x+y

=0，

由⎨2

ED

得⎨22

⎪⎩n2⋅A'D=0，⎪⎩3y2-z1=0.

取x2=1，可得n2=（1，-

3，-33）．……10分

设平面A'BC与平面A'DE所成锐二面角的大小为θ，

则cosθ=cos

>===431，

n1⋅n2

n1

⋅

n2

31

所以平面A'BC与平面A'DE所成锐二面角的余弦值为431．……12分

31

21．（12分）

已知函数f（x）=x2-2lnx-a．

x

（1）若f（x）≥0，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明：

x1x2<1．

【解】

（1）函数f（x）=x2-2lnx-a的定义域为（0，+∞）．

x

'2（1-lnx）2（x3+lnx-1）

f（x）=2x-=．……1分

x2x2

设r（x）=x3+lnx-1，所以r'（x）=3x2+1>0，

x

x

（0，1）

1

（1，+∞）

f'（x）

-

0

+

f（x）

极小值

所以函数r（x）=x3+lnx-1在（0，+∞）上单调递增．又r

（1）=0，列表如下：

……3分所以当x=1时，函数f（x）=x2-2lnx-a取得最小值为f

（1）=1-a．……4分

x

因为f（x）≥0，即1-a≥0，所以a≤1．

所以a的取值范围是（-∞，1]．……5分

（2）不妨设x1

由

（1）可得，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

所以0

<1．……6分

x

12

2

因为f（x1）=f（x2）=0，

所以f（x）-f

（1）=f（x）-f

（1）

xx

12

22

2

=（x2-2lnx2-a）-（1

2ln1

-x2-a）

2

x2x21

x2

=（x+1）（x-1-2lnx）．……8分

2x2x2

22

设函数g（x）=x-1-2lnx（x>1），

x

'12

（x-1）2

则g（x）=1+-=>0（x>1），函数g（x）在（1，+∞）上单调递增．

x2xx2

所以g（x）=x-1-2lnx

>g

（1）=0，……10分

x

222

2

1

x

1

所以f（x）-f

（1）>0，即f（x）>f

（1）．

2x2

x

又函数f（x）=x2-2lnx-a在（0，1）上单调递减．

所以0

<1

x2

<1，所以x1x2<1．……12分

22．（12分）

已知点A，B在椭圆x2

a2

且OA⊥AB．

2

+

y

=1（a>b>0）上，点A在第一象限，O为坐标原点，

b2

（1）若a=3，b=1，直线OA的方程为x-3y=0，求直线OB的斜率；

（2）若△OAB是等腰三角形（点O，A，B按顺时针排列），求b的最大值．

a

【解】

（1）由a=

3，b=1，得椭圆方程为x2+y2=1．y

3

A

2⎧3⎧3

⎪⎧x

+y2=1，

⎪x=2，

⎪x=-2，

由⎨3

⎪⎩x-3y=0，

得⎨

⎪y=1

⎩2

或⎨

⎪y=-1.Ox

⎩2B

因为点A在第一象限，所以A（3，1）．……2分

22

又OA⊥AB，

所以直线AB的方程为y-1=-3（x-3），即3x+y-5=0．

22

⎧⎪x2+y2=1，

⎧x=12，⎧x=3，

由⎨3

⎪

⎪7⎪2

得

或

⎨1⎨1

所以B（12，-1），……3分

77

7

⎩3x+y-5=0

⎪y=-

⎩

⎪y=，

⎩2

-1

所以直线OB的斜率为kOB

=7=-11212

7

．……4分

（2）法1：

设直线OA的斜率为k（k>0），则直线AB的斜率为-1．

k

因为△OAB是等腰直角三角形（点O，A，B按顺时针排列），所以设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1>0，y1>0，x1

又OA=AB，所以=，

得y=x-x．

112

所以y=x-x，即x=x+y．

121211

121

又由OA⊥AB，得y⨯y-y

=-