24223切线长定理和三角形的内切圆(1).pptx

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24.2.2直线与圆的位置关系（3）,

（2）直线l和O相切,

（1）直线l和O相离,（3）直线l和O相交,dr,d=r,dr,1.直线和圆的位置关系,

（1）若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，然后说明直线垂直于经过这点的半径；连半径，证垂直

（2）若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径作垂直，证相等,2.证明直线是圆的切线有如下两种方法:

1.已知O上有一点P,你能过点p作出O的切线吗?

2.已知O外有一点P,你还能过点P点作出O的切线吗?

o,o,p,1.连结OP,2.以OP为直径作O，与O交于A、B两点。

A,B,即直线PA、PB为O的切线,如图，已知O外一点P，你能用尺规过点P作O的切线吗？

通过作图你能发现什么呢？

观察,实验,1.过圆外一点作圆的切线可以作两条,2.点A和点B关于直线OP对称,说明,经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切线长是一条线段,如图，过圆外一点有两条直线PA、PB与O相切。

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。

切线与切线长的区别与联系：

（1）切线是一条与圆相切的直线；,

（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。

o,p,A,B,如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点。

如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？

探究,PA、PB是O的切线，A、B为切点,OAPA，OBPB,又OAOB，OPOP,RtAOPRtBOP,PAPB，APOBPO,结论,切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

符号语言,PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,猜想,如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？

分析,PA、PB是O的切线，A、B为切点,PAPB，APOBPO,OPAB，且OP平分AB,C,D,归纳,从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。

我们学过的切线，常有五个性质：

1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

六个,例1,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线OP交O于点D、E，交AB于C.

（1）写出图中所有的垂直关系；

（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：

（1）OAPA,OBPB,OPAB,

（2）OAPOBP,OCAOCBACPBCP.,（3）设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x（cm）,在RtOAP中，由勾股定理，得,PA2+OA2=OP2,即42+x2=（x+2）2,解得x=3cm,所以，半径OA的长为3cm.,利用切线长定理进行计算,P,A,B,c,如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B两点，OP交O于C，若PA6，PC2，求O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。

解：

连接OA、AC，则OAAP,在RtAOP中，设OAx则OPx2,OA2PA2OP2,即x262（x2）2,解得x2，即OAOC2,OP4,在RtAOP中，OP2OA,APO30,PA、PB是O的切线,APB2APO60,O的半径为2，两切线的夹角为60,利用切线长定理进行证明,A,B,C,D,E,O,2,1,例2,如图，已知：

在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC于点D。

求证：

DEOC,证明：

连接,，为的半径,是的切线,是的切线，是切点,，,是的直径,，即,切线长定理的应用,解：

PA是切线APAO又PO=13，AO=5AP=12又PB是切线PB=PA=12又CD是切线DA=DE，CE=CB,PCD周长=PD+PC+CD=PD+PC+DE+CE=PA+PB=24,E,练习1、如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与O的切线DC分别相交于C、D，已知PA=7cm，则PCD的周长等于_,切线长定理的应用,。

P,B,A,O,（3）连结圆心和圆外一点,

（2）连结两切点,

（1）分别连结圆心和切点,想一想,常见辅助线,已知：

如图,PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求PEF的周长。

易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB,PE+EQ=PA=12cm,PF+FQ=PB=PA=12cm,周长为24cm,例题1,变式：

如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，

（1）求PCD的周长

（2）如果P=46,求COD的度数,C,O,P,B,D,A,E,如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？

三角形的内切圆的定义：

定义,思考：

如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？

I,D,E,F,I与ABC的三边相切于点D、E、F.因此ID=IE=IF=I的半径r.,问题：

作圆的关键是什么？

问题：

怎样确定圆心的位置？

问题：

圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？

（确定圆心和半径）,（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）,（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）,作圆，使它和已知三角形的各边都相切,已知：

ABC（如图）求作：

和ABC的各边都相切的圆,问题:

在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?

（不能）任何一个三角形都只有一个内切圆,思考：

如何作出这个圆？

（尺规作图）,I,E,D,F,与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

3、以I为圆心，ID为半径作I，I就是所求的圆.,作圆，使它和已知三角形的各边都相切,已知：

ABC（如图）求作：

和ABC的各边都相切的圆,A,B,C,M,D,作法：

1、作ABC、ACB的平分线BM和CN，交点为I.,2、过点I作IDBC，垂足为D.,三角形内切圆的圆心叫三角形的内心,三角形的内心到三边的距离相等,三角形的内心是三角形角平分线的交点,三角形的内心一定在三角形的内部,定义：

和多边形各边都相切的圆叫做，这个多边形叫做。

多边形的内切圆,圆的外切多边形,内切,外切,如上图，四边形DEFG是O的四边形，O是四边形DEFG的圆，,思考:

我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？

（菱形，正方形一定有内切圆）,定义,例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆O分别相切于点L、M、N、P，求证：

AD+BC=AB+CD,证明：

由切线长定理得,AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP,AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP,即AB+CD=AD+BC,补充：

圆的外切四边形的两组对边的和相等,明确,1.一个三角形有且只有一个内切圆；,2.一个圆有无数个外切三角形；,3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；,4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。

内心（三角形内切圆的圆心）,三角形三边中垂线的交点,三角形三条角平分线的交点,

（1）OA=OB=OC

（2）外心不一定在三角形的内部,

（1）到三边的距离相等；

（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部,外心（三角形外接圆的圆心）,

（2）若A=80,则BOC=度。

（3）若BOC=100，则A=度。

试探讨BOC与A之间存在怎样的数量关系？

请说明理由,如图，ABC中，ABC=500,ACB=750,点O是内心，求BOC的度数。

巩固：

例1ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:

设AF=x（cm）,BD=y（cm）,CEz（cm）,AF=4（cm）,BD=5（cm）,CE=9（cm）.,O与ABC的三边都相切,AFAE,BDBF,CECD,思考：

如果ABC的周长为m,面积为s，那么内切圆的半径r是多少？

B,D,E,F,O,C,A,如图，ABC的内切圆的半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积S.,解：

设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，,则ODAB，OEBC，OFAC.,SABCSAOBSBOCSAOC,ABODBCOEACOF,lr,设ABC的三边为a、b、c，面积为S，则ABC的内切圆的半径r,结论,探究,三角形的内切圆的有关计算,三角形的内切圆,已知:

如图,ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.求内切圆O的半径r.,老师提示:

ABC的面积=AOB的面积+BOC的面积+AOC的面积.,A,B,C,E,D,F,O,如图，RtABC中，C90,BCa,ACb,ABc,O为RtABC的内切圆.求：

RtABC的内切圆的半径r.,设AD=x,BE=y,CEr,O与RtABC的三边都相切,ADAF,BEBF,CECD,解：

设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OAAC，OEBC，OFAB。

结论,直角三角形的内切圆,已知:

如图,O是RtABC的内切圆,C是直角,AC=3,BC=4.求O的半径r.,练习,1.已知三角形的内切圆半径为3，三角形的周长为20，则该三角形的面积为。

2、RtABC中，斜边AB=10cm，AC=6cm，则内切圆半径为.,A,B,C,面积法,3、如图,ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，求ABC的外接圆半径r和内切圆半径R.,D,O,I,（A）梯形（B）菱形（C）矩形（D）平行四边形,1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（）,2、如图，ABC中，E是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证：

DEDB,练习,3、如图，菱形ABCD中，周长为40，ABC=120，则内切圆的半径为（）,（A）（B）（C）（D）,4、如图，O是ABC的内切圆，D、E、F是切点，A=50，C=60，则DOE=（）,（A）70（B）110（C）120（D）130,5、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（）,（A）1（B）12（C）12（D）123,6、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（）,（A）矩形（B）菱形（C）正方形（D）平行四边形,7、画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切圆,1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法.2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。

3、学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外心”的区别，4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。

归纳总结,