第二十六章反比例函数全章教案.docx

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第二十六章反比例函数全章教案

26.1.1反比例函数的意义

教学目标：

1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.

2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.

3.能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体

会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.

教学重点：

反比例函数的概念

教学难点：

例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度。

教学方法：

类比启发

教学辅助：

多媒体投影片

教学过程：

随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？

一、创设情景探究问题

情境1：

当路程一定时，速度与时间成什么关系？

（s＝vt）

当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?

［备注］

这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：

当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。

这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。

情境2：

汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.

问题：

（1）你能用含有v的代数式表示t吗？

（2）利用

（1）的关系式完成下表：

v/（km/h）

60

80

90

100

120

t/h

（3）速度v是时间t的函数吗？

为什么？

［备注］

（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题

（1）.

（2）引导学生观察、讨论，并运用

（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.

3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.

情境3：

用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：

（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；

（2）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.

问题：

（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？

（2）它们有一些什么特征？

（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？

一般地，形如y＝

（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.

反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

［备注］

这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：

（1）自变量x位于分母，且其次数是1.

（2）常量k≠0.（3）自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.（4）函数值y的取值范围是非零实数.并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y＝kx－1（k为常数，k≠0）的形式，并结合旧知验证其正确性.

二、例题教学

练习：

1：

下列关系式中的y是x的反比例函数吗？

如果是，比例系数k是多少？

（1）y＝

；

（2）y＝

；（3）y＝－

；

通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.

练习：

2：

在函数y＝

－1，y＝

，y＝x－1，y＝

中，y是x的反比例函数的有　　个.

［备注］

这个练习也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y＝kx－1的形式.还有y＝

－1通分为y＝

，y、x都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y＋1＝

可说成（y＋1）与x成反比例.

练习3：

若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为　　　　　　.

［说明］这个练习引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.

例题：

第5页例1

三、拓展练习

1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数.如果是，指出比例系数k的值.

（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；

（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；

（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.

2、已知函数y＝（m＋1）x

是反比例函数，则m的值为　　　　.

［备注］

引导学生分析、讨论，列出函数关系式，并检验是否是反比例函数，指出比例系数.

四、课堂小结

这节课你学到了什么？

还有那些困惑？

五、布置作业：

作业本

（1）

板书设计：

概念：

例1

解：

练习练习

教学反思：

本节课学生对有关概念都很好的落实，亮点在于练习设计有梯度，学生认识清楚。

由于学生对杠杆原理还没学过，本节例题学生掌握不是很好。

26.1.1反比例函数

（2）

教学目标:

1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.

2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识,能结合具体情境,体会反比例函数的意义,理解比例系数的具体的意义.

3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值.运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.

重点:

用待定系数法求反比例函数的解析式.

难点:

例3要用科学知识,又要用不等式的知识,学生不易理解.

教学方法：

讲练法

教学辅助：

投影片

教学过程：

一.复习

1、反比例函数的定义：

判断下列说法是否正确（对”√”,错”×”）

2、思考:

如何确定反比例函数的解析式?

（1）已知y是x的反比例函数,比例系数是3,则函数解析式是_______

（2）当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．

关键是确定比例系数!

二.新课

1、例2．已知y是关于x的反比例函数，当x=

时，y=2，求这个函数的解析式和自变量的取值范围。

2、说一说它们的求法:

（1）已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式.

（2）已知变量y-1与x成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式.

3、例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R（Ω），通过电流的强度为I（A）。

（1）已知一个汽车前灯的电阻为30Ω，通过的电流为0.40A，求I关于R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。

（2）如果接上新灯泡的电阻大于30Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？

在例3的教学中可作如下启发：

（1）电流、电阻、电压之间有何关系？

（2）在电压U保持不变的前提下，电流强度I与电阻R成哪种函数关系？

（3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？

如何决定？

先让学生尝试练习，后师生一起点评。

三.巩固练习:

1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。

且V=5m3时，p=1．98kg／m3

（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。

四.拓展:

1.已知y与z成正比例,z与x成反比例,当x=-4时,z=3,y=-4.求:

（1）Y关于x的函数解析式;

（2）当z=-1时,x,y的值.

2.

五.交流反思

求反比例函数的解析式一般有两种情形：

一种是在已知条件中明确告知变量之间成反比例函数关系，如例2；另一种是变量之间的关系由已学的数量关系直接给出，如例3中的

由欧姆定律得到。

六、布置作业：

作业本

（2）1.1反比例函数

板书设计：

例2例3

解：

解：

练习练习

教学反思：

本节课学生对求解析是式都掌握很好，亮点在于练习设计的好，学生掌握的很好。

26.1.2反比例函数的图像和性质

（1）

[教学目标]

1、体会并了解反比例函数的图象的意义

2、能描点画出反比例函数的图象

3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质

[教学重点和难点]

本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质

由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点

教学方法：

启发演示法

教学辅助：

投影片

[教学过程]

1、情境创设

可以从复习一次函数的图象开始：

你还记得一次函数的图象吗?

在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。

转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：

反比例函数的图象又会是什么样子呢?

2、探索活动

探索活动1反比例函数

的图象．

由于反比例函数

的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：

（1）可以先估计——例如：

位置（图象所在象限、图象与坐标轴的交点等）、趋势（上升、下降等）；

（2）方法与步骤——利用描点作图；

列表：

取自变量x的哪些值?

——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。

描点：

依据什么（数据、方法）找点?

连线：

怎样连线?

——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。

探索活动2反比例函数

的图象．

可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：

（1）可以用画反比例函数

的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；

（2）可以通过探索函数

与

之间的关系，画出

的图象．

探索活动3反比例函数

与

的图象有什么共同特征?

引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．

反比例函数

（k≠0）的图象是由两个分支组成的曲线。

当

时，图象在一、三象限：

当

时，图象在二、四象限。

反比例函数

（k≠0）的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

3、例题教学第11页

课本安排例1，

（1）巩固反比例函数的图象的性质。

（2）是为了引导学生认识到：

由于在反比例函数

（k≠0）中，只要常数k的值确定，反比例函数就确定了．因此要确定一个反比例函数，只需要一对对应值或图象上一个点的坐标即可．（3）可以先设问：

能否利用图象的性质来画图？

4、应用知识，体验成功

练习：

课本“课内练习”1.2.3

5、归纳小结，反思提高

用描点法作图象的步骤

反比例函数的图象的性质

6、布置作业

作业本

（1）课本“作业题”

板书设计：

例1

解：

解：

练习练习

教学反思：

本节课学生对性质都能很好的理解，亮点在于学生跟着操作，学生掌握很好。

学生对画图细节掌握不是很好，有待于今后教学多给予渗透。

26.1.2反比例函数的图像和性质

（2）

教学目标：

1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性。

2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题。

教学重点：

通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。

教学难点：

由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性。

教学方法：

类比启发

教学辅助：

多媒体

教学过程：

一、复习：

1．反比例函数

的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为---------，图象在第------------象限，它的图象关于---------------成中心对称．

2．反比例函数

的图象与正比例函数Y=3X的图象，交于点A（1，m），则m＝-------，反比例函数的解析式为----------，这两个图象的另一个交点坐标是----------------

3、画出函数

的图像

二、讲授新课

1、引导学生观察函数

的表格和图像说出y与x之间的变化关系；

（1）

X

…

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

…

y

…

-1

-1.2

-1.5

-2

-3

-6

6

3

2

1.5

1.2

1

…

（2）

X

…

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

…

y

…

1

1.2

1.5

2

3

6

-6

-3

-2

-1.5

1.2

-1

…

2、做一做：

1．用“＞”或“＜”填空：

（1）已知

和

是反比例函数

的两对自变量与函数的对应值．若，则

（2）已知

和

是反比例函数

的两对自变

量与函数的对应值．若　　　　　，则　　　　　．

2．已知（　　），（　　），（　　）是反比例函数

　的图象上的三个点，并且　　　　　　　　，则

　　　　　　的大小关系是（　　）

　（A）　　　　　　　　（B）

（C）　（D）

3．已知（　　），（　），（　　）是反比例函数　的图象上的三个点，则的大小关系是---------------------．

4．已知反比例函数．

（1）当x＞5时，0　　y1；

（2）当x≤5时，则y　1,或y＜　　（3）当y＞5时，x的范围是。

3、讲解例题

例下图是浙江省境内杭甬铁路的里程示意图。

设从杭州到余姚一段铁路线上的列车行驶的时间为时，平均速度为千米/时，且平均速度限定为不超过160千米/时。

（1）求v　关于t　的函数解析式和自变量t的取值范围；

（2）画出所求函数的图象

（3）从杭州开出一列火车，在40分内（包括40分）到达余姚可能吗？

在50分内（包括50分）呢？

如有可能，那么此时对列车的行驶速度有什么要求？

小结：

（1）自变量t不仅要符合反比例函数自身的式子有意义，而且要符合实际问题中的具体意义及附加条件。

（2）对于在自变量的取值范围内画函数的图像映注意图像的纯粹性。

（3）一般有；两种方法求自变量的取值范围：

一是利用函数的增减性，二是利用图解法。

练习：

课本第16页课内练习第3题

三、小结：

本节课我学到了……我的困惑……

四、比较正比例函数和反比例函数的性质

正比例函数

反比例函数

解析式

图像

直线

双曲线

位置

k＞0，一、三象限；

k＜0，二、四象限

k＞0，一、三象限

k＜0，二、四象限

增减性

k＞0，y随x的增大而增大

k＜0，y随x的增大而减小

k＞0，在每个象限y随x的增大而减小

k＜0，在每个象限y随x的增大而增大

五、布置作业：

见作业本

板书设计：

例2练习

解：

教学反思：

本节课学生对增减性质都能很好的理解，但掌握不是很好。

学生对函数值的取值掌握不是很好，今后应多加练习。

26.2实际问题与反比例函数（第一、二课时）

一、教学目标

1、能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题。

2、经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程发展学生分析问题，解决问题的能力。

3、提高学生的观察、分析的能力

二、重点与难点

重点：

运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。

难点：

从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，教学时注意分析过程，渗透转化的数学思想。

三、教学过程

（一）提问引入创设情景

活动一：

某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成的任务的情境。

（1）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？

（2）如果人和木板反湿地的压力合计600N，那么P是S的反比例函数吗？

为什么？

（3）如果人和木板对湿地的压力合计为600N，那么当木板面积为0.2m2时，压强是多少？

活动二：

某煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室。

（1）储存室的底面积S（单位：

m2）与其深度d（单位：

m）有怎样的函数关系？

（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下掘进多深？

（3）当施工队施工的计划掘进到地下15m时，碰到了岩石，为了节约资金，公司临时改设计，把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积改为多少才能满足需要。

（保留两位小数）？

（二）应用举例巩固提高

例1近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．

（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；

（2）求1000度近视眼镜镜片的焦距．

例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．

（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；

（2）写出此函数的解析式；

（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？

（4）如果每小时排水量是5000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？

（三）课堂练习：

1．A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城．

（1）火车的速度v（千米/时）和行驶的时间t（时）之间的函数关系是v=

．

（2）若到达目的地后，按原路匀速原回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于240千米/小时．

2．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的

，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是y=

．

（四）小结：

谈谈你的收获

（五）布置作业

（六）板书设计

26.2实际问题与反比例函数

1、反比例函数性质例：

2、实际问题练习：

四、教学反思：

1．学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理．

2．能用函数的观点分析、解决实际问题，让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系，并得到解决．

26.2实际问题与反比例函数（第三、四课时）

一、教学目标

1、学会把实际问题转化为数学问题

2、进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题

3、提高学生的观察、分析的能力

二、重点与难点

重点：

用反比例函数解决实际问题．

难点：

构建反比例函数的数学模型．

三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：

若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡．也可这样描述：

阻力×阻力臂＝动力×动力臂．

为此，他留下一句名言：

给我一个支点，我可以撬动地球！

（二）合作交流，解读探究

问题：

小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200N和0.5m．

（1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？

当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？

（2）若想使动力F不超过第

（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？

思考你能由此题，利用反比例函数知识解释：

为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力？

联想物理课本上的电学知识告诉我们：

用电器的输出功率P（瓦）两端的电压U（伏）、用电器的电阻R（欧姆）有这样的关系PR=u2，也可写为P=

．

（三）应用迁移，巩固提高

例：

在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示．

（1）写出I与R之间的函数解析式；

（2）结合图象回答：

当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么？

（四）课堂跟踪反馈

1．在一定的范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例．现已知当需求量为500吨时，市场供应量为10000吨，试求当市场供应量为16000吨时的需求量是312.5吨．

2．某电厂有5000吨电煤．

（1）这些电煤能够使用的天数x（天）与该厂平均每天用煤吨数y（吨）之间的函数关系是y=

；

（2）若平均每天用煤200吨，这批电煤能用是25天；

（3）若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用煤300吨，这批电煤共可用是20天．

（五）小结：

谈谈你的收获

（六）布置作业

（七）板书设计

26.2实际问题与反比例函数

1、反比例函数性质例：

2、实际问题练习：

四、教学反思：

1．把实际问题中的数量关系，通过分析、转化为数学问题中的数量关系．

2．利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题．

3．注意学科之间知识的渗透．