最新湘教版八年级数学下册《直角三角形》同步练习题及参考答案docx.docx

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湘教版2017—2018学年八年级数学下学期

《直角三角形》1.1—1.2同步练习与解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（　　）

A．35°B．55°C．60°D．70°

2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）

A．40°B．30°C．20°D．10°

3．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　）

A．图中有三个直角三角形B．∠1=∠2

C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2=∠A

4．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（　　）

A．6B．6

C．6

D．12

5．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（　　）

A．3B．6C．

D．12

6．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．10B．6C．8D．5

7．一直角三角形的两直角边长为12和16，则斜边上中线长为（　　）

A．20B．10C．18D．25

8．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

二．填空题（共8小题）

9．如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=　　度．

10．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　　度．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=　　．

12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为　　米．

13．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则其较大锐角的度数是　　．

14．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为　　．

15．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm，则斜边长为　　，面积为　　．

16．如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=　　．

三．解答题（共5小题）

17．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．

18．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．

（1）求证：

∠ACD=∠B；

（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：

∠CEF=∠CFE．

19．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．

（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；

（2）求证：

∠1=∠2．

21．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．

（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．

（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．

四．回顾与思考（1小题）

22．在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：

在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：

要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；

想法2：

在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；

想法3：

将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．

1.1—1.2同步练习解析

一．选择题（共8小题）

1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（　　）

A．35°B．55°C．60°D．70°

【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义解答．

【解答】解：

∵CD⊥BD，∠C=55°，

∴∠CBD=90°﹣55°=35°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．

故选D．

【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．

2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）

A．40°B．30°C．20°D．10°

【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．

【解答】解：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，

∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，

由折叠可得：

∠CA′D=∠A=55°，

又∵∠CA′D为△A′BD的外角，

∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，

则∠A′DB=55°﹣35°=20°．

故选：

C．

【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．

3．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，下列结论错误的是（　　）

A．图中有三个直角三角形B．∠1=∠2

C．∠1和∠B都是∠A的余角D．∠2=∠A

【分析】在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因而△ACD∽△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等，就可以证明各个选项．

【解答】解：

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，

∴△ACD∽△CBD∽△ABC．

A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本选项正确；

B、应为∠1=∠B、∠2=∠A；故本选项错误；

C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本选项正确；

D、∵∠2=∠A；故本选项正确．

故选B．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高，把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似．

4．（2016•百色）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（　　）

A．6B．6

C．6

D．12

【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解．

【解答】解：

∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，

∴BC=

AB=12×

=6，

故答选A．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确的利用合适的边角关系．

5．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，BD=6cm，则AC的长为（　　）

A．3B．6C．

D．12

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD，进而可得答案．

【解答】解：

∵∠ABC=90°，点D为斜边AC的中点，

∴AC=2BD，

∵BD=6cm，

∴AC=12cm，

故选：

D．

【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

6．如图，△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（　　）

A．10B．6C．8D．5

【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．

【解答】解：

∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，

∴BD=DC，

∵E为AC的中点，

∴DE=

AB=

×10=5，

故选D．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解决问题的关键．

7．一直角三角形的两直角边长为12和16，则斜边上中线长为（　　）

A．20B．10C．18D．25

【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出答案．

【解答】解：

∵两直角边分别为12和16，

∴斜边=

=20，

∴斜边上的中线的长为10，

故选B．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

8．如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．

【解答】解：

连接AC，设每个小正方形的边长都是a，

根据勾股定理可以得到：

AC=BC=

a，AB=

a，

∵（

a）2+（

a）2=（

a）2，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

故选B．

【点评】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．

二．填空题（共8小题）

9．（2016•安顺）如图，直线m∥n，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1=　45　度．

【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：

∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵m∥n，

∴∠1=45°；

故答案为：

45．

【点评】此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质，用到的知识点是：

两直线平行，同位角相和等腰直角三角形的性质；关键是求出∠ABC的度数．

10．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　30　度．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE，从而得到∠A=∠ACE，再由折叠的性质及三角形的外角性质得到∠B=2∠A，从而不难求得∠A的度数．

【解答】解：

∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，

∴AE=CE，

∴∠A=∠ACE，

∵△CED是由△CBD折叠而成，

∴∠B=∠CED，

∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∴∠B=2∠A，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠A=30°．

故答案为：

30．

【点评】此题主要考查：

（1）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）三角形的外角性质：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′，若∠B=50°，则∠ACB′=　10°　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数，根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数，根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数，计算即可．

【解答】解：

∵∠ACB=90°，∠B=50°，

∴∠A=40°，

∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，

∴CD=BD，CD=AD，

∴∠BCD=∠B=50°，∠DCA=∠A=40°，

由翻折变换的性质可知，∠B′CD=∠BCD=50°，

∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°，

故答案为：

10°．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

12．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为　12　米．

【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度．

【解答】解：

如图，

∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，

∴AB=2CB，

而BC=4米，

∴AB=8米，

∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．

故答案为：

12．

【点评】此题主要利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题，然后解题时要正确理解题意，把握题目的数量关系．

13．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则其较大锐角的度数是　55°　．

【分析】设较大的锐角度数是x°，根据直角三角形两锐角互余表示出较小的锐角，然后列出方程求解即可．

【解答】解：

设较大的锐角度数是x°，则较小的锐角为（90﹣x）°，

由题意得，x﹣（90﹣x）=20，

解得x=55，

即较大锐角的度数是55°．

故答案为：

55°．

【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质并列出方程是解题的关键．

14．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为　40°　．

【分析】设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x﹣60°，根据两个锐角之和为90度即可求出答案．

【解答】解：

设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x﹣60°，

根据两个锐角之和为90°可得，

x+2x﹣60°=90°，

解的x=50°，

较小角为90°﹣50°=40°，

故答案为40°．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形中两个锐角之和为90°，此题基础题．

15．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm，则斜边长为　12cm　，面积为　30cm2　．

【分析】根据直角三角形的斜边上中线性质求出AB，根据三角形的面积公式求出即可．

【解答】解：

∵CD是Rt△ACB斜边AB上的中线，

∴AB=2CD=2×6cm=12cm，

∴Rt△ACB的面积S=

AB×CE=

12cm×5cm=30cm2，

故答案为：

12cm，30cm2．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是根据性质求出AB的长，注意：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

16．如图，已知∠AOB=60°，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=　3　．

【分析】过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC﹣MC求出OM的长即可．

【解答】解：

过P作PC⊥MN，

∵PM=PN，

∴C为MN中点，即MC=NC=

MN=1，

在Rt△OPC中，∠AOB=60°，

∴∠OPC=30°，

∴OC=

OP=4，

则OM=OC﹣MC=4﹣1=3，

故答案为：

3

【点评】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．

三．解答题（共5小题）

17．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．

【分析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，求得∠EBF的度数，在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数．

【解答】解：

在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，

∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，

又∵∠BCE=30°，

∴∠ACB=50°，

∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．

18．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．

（1）求证：

∠ACD=∠B；

（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：

∠CEF=∠CFE．

【分析】

（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；

（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．

【解答】证明：

（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠B；

（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，

同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．

又∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠DAE，

∴∠AED=∠CFE，

又∵∠CEF=∠AED，

∴∠CEF=∠CFE．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．

19．如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？

【分析】根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，根据等腰三角形的性质得到AD=CD=20，由直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，

∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，

∴∠ACB=∠CAD，

∴AD=CD=20，

又∵∠ABD=90°，

∴AB=

AD=10，

∴树的高度为10米．

【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．

（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；

（2）求证：

∠1=∠2．

【分析】

（1）由勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可；

（2）由直角三角形的锐角关系和等腰三角形的性质即可得出结论．

【解答】

（1）解：

∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，

∴AB=

=5，

∵CD是AB边上的中线，

∴CD=

AB=2.5；

（2）证明：

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠A+∠1=90°，

∴∠B=∠1，

∵CD是AB边上的中线，

∴BD=CD，

∴∠B=∠2，

∴∠1=∠2．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质；熟记性质是解题的关键．

21．在△ABC中，CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点．

（1）指出图中的一个等腰三角形，并说明理由．

（2）若∠A=x°，求∠EFD的度数（用含x的代数式表达）．

【分析】

（1）根据直角三角形的性质得到EF=

BC，DF=

BC，等量代换即可；

（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算；

【解答】解：

（1）△DEF是等腰三角形．

∵CE，BD分别是边AB，AC上的高，F是BC边上的中点，

∴EF=

BC，DF=

BC，

∴EF=DF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵FE=FB，FD=FC，

∴∠FEB=∠FBE，∠FDC=∠FCD，

∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°，

∴∠FED+∠FDE=360°﹣（180°﹣x°）﹣（180°﹣x°）=2x°，

∴∠EFD=180°﹣2x°；

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

四．回顾与思考（1小题）

22．（2016•北京）在等边△ABC中，

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；

（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：

在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：

要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；

想法2：

在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM；

想法3：

将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK…

请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）．

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；

（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：

（1）∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；

（2）如图2，∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ，

∵点Q关于直线AC的对称点为M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°，

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△APM是等边三角形，

∴AP=PM．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．