八年级数学教案整式的乘除与因式分解.docx

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八年级数学教案整式的乘除与因式分解

八年级数学教案：

整式的乘除与因式分解

　　以下是为您推荐的整式的乘除与因式分解，希望本篇文章对您学习有所帮助。

整式的乘除与因式分解

一、学习目标：

1.掌握与整式有关的概念;

2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则;

3.掌握单项式、多项式的相关计算;

4.掌握乘法公式：

平方差公式，完全平方公式。

5..掌握因式分解的常用方法。

二、知识点总结：

1、单项式的概念：

由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：

的系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：

几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：

，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：

单项式和多项式统称整式。

注意：

凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则：

（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：

6、幂的乘方法则：

（都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

如：

幂的乘方法则可以逆用：

即

如：

7、积的乘方法则：

（是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：

（=

8、同底数幂的除法法则：

（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

如：

9、零指数和负指数;

，即任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。

如：

10、单项式的乘法法则：

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即（都是单项式）

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]

如：

12、多项式与多项式相乘的法则;

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

13、平方差公式：

注意平方差公式展开只有两项

公式特征：

左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：

14、完全平方公式：

公式特征：

左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

完全平方公式的口诀：

首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

15、三项式的完全平方公式：

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：

首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：

18、因式分解：

常用方法：

提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法

三、知识点分析：

1.同底数幂、幂的运算：

aman=am+n（m，n都是正整数）.

（am）n=amn（m，n都是正整数）.

例题1.若，则a=;若，则n=.

例题2.若，求的值。

例题3.计算

练习

1.若，则=.

2.设4x=8y-1,且9y=27x-1,则x-y等于。

2.积的乘方

（ab）n=anbn（n为正整数）.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1.计算：

3.乘法公式

平方差公式：

完全平方和公式：

完全平方差公式：

例题1.利用平方差公式计算：

20092019-20192

例题2.利用平方差公式计算：

.

例题3.利用平方差公式计算：

.

例题4.（a-2b+3c-d）（a+2b-3c-d）

变式练习

1.广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少?

2.（3+1）（32+1）（34+1）（32019+1）-.

3.已知求的值

4、已知，求xy的值

5.如果a+b-2a+4b+5=0，求a、b的值

6.试说明

（1）两个连续整数的平方差必是奇数

（2）若a为整数，则能被6整除

7.一个正方形的边长增加4cm，面积就增加56cm，求原来正方形的边长

4.单项式、多项式的乘除运算

（1）（a-b）（2a+b）（3a2+b2）;

（2）[（a-b）（a+b）]2（a2-2ab+b2）-2ab.

（3）.已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值.

5.因式分解：

1.提公因式法：

式子中有公因式时，先提公因式。

例1把分解因式.

分析：

把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式.

解：

说明：

用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.

例2把分解因式.

分析：

按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式.

解：

说明：

由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用.

2.公式法：

根据平方差和完全平方公式

例题1分解因式

3.配方法：

例1分解因式

解：

说明：

这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.

4.十字相乘法：

（1）.型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

（1）二次项系数是1;

（2）常数项是两个数之积;（3）一次项系数是常数项的两个因数之和.

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

例1把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同.

例2把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.

例3把下列各式因式分解：

（1）

（2）

分析：

（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数.

（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式.

解：

（1）

（2）

（2）.一般二次三项式型的因式分解

大家知道，.

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.

例4把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法凑，看是否符合一次项系数，否则用加法凑，先凑绝对值，然后调整，添加正、负号.

练习

1、已知，，求的值。

2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值

提高练习

1.（2x2-4x-10xy）（）=x-1-y.

2.若x+y=8，x2y2=4，则x2+y2=_________.

3.代数式4x2+3mx+9是完全平方式则m=___________.

4.（-a+1）（a+1）（a2+1）等于（）

（A）a4-1（B）a4+1（C）a4+2a2+1（D）1-a4

5.已知a+b=10，ab=24，则a2+b2的值是（）

（A）148（B）76（C）58（D）52

6.

（2）（+3y）2-（-3y）2;

（2）（x2-2x-1）（x2+2x-1）;

7.（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）的值.

8.已知x+=2，求x2+，x4+的值.

9.已知（a-1）（b-2）-a（b-3）=3，求代数式-ab的值.

10.若（x2+px+q）（x2-2x-3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值.

《整式的乘除与因式分解》单元试题

一、选择题：

（每小题3分，共18分）

1、下列运算中，正确的是（）

A.x2x3=x6B.（ab）3=a3b3C.3a+2a=5a2D.（x）=x5

2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）

（A）（B）

（C）（D）

3、下列各式是完全平方式的是（）

A、B、C、D、

4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

（A）（B）（C）（D）

5、如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）

A.3B.3C.0D.1

6、一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边长为（）

A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm

二、填空题：

（每小题3分，共18分）

7、在实数范围内分解因式

8、___________

9、若3x=，3y=，则3x-y等于

10、绕地球运动的是7.910米/秒，则卫星绕地球运行8105秒走过的路程是

三、计算题：

（每小题4分，共12分）

11、12、

13、[（x-2y）+（x-2y）（2y+x）-2x（2x-y）]2x.

四、因式分解：

（每小题4分，共16分）

14、15、2x2y-8xy+8y

16、a2（x-y）-4b2（x-y）

五、解方程或不等式：

（每小题5分，共10分）

17、

六、解答题：

（第22～24小题各6分，第25小题8分，共26分）

18、若，求的值。

23、自己作图：

大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,利用此图证明平方差公式。

24、如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米?

并求出当，时的绿化面积.

25、察下列各式

（x-1）（x+1）=x2-1

（x-1）（x2+x+1）=x3-1

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?

还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。

这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1

（1）根据规律可得（x-1）（xn-1++x+1）=（其中n为正整数）

（2）计算：

单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。

（3）计算：

“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？

”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？

”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?

曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。