届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ23函数的奇偶性与周期性学doc.docx

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§2.3函数的奇偶性与周期性

最新考纲

考情考向分析

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

2.会运用甫数图象理解和研究函数的奇偶性.

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.

1.奇函数、偶函数的概念

图像关于厘点对称的函数叫作奇函数.

图像关于洌对称的函数叫作偶函数.

2.判断函数的奇偶性

判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是

（1）考察定义域是否关于原点对称.

（2）考察表达式是否等于fd）或—fg：

若/'（—x）=—f3,则为奇函数；

若f（一劝=fd）,则f\x）为偶函数；

若f（—劝=—£（劝且代一x）=f（x）,则f（x）既是奇函数又是偶函数；

若f（—方工_代方且f（—，则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数.

3.周期性

（1）周期函数：

对于函数y=,如果存在一个非零常数T,使得当丸取定义域内的任何值时，都有fd+7）=fd）,那么就称函数y=f\x）为周期函数，称T为这个函数的周期.

（2）最小正周期：

如果在周期函数的所有周期中存在一个最尘的正数，那么这个最小止数就叫作fd）的最小正周期.

【知识拓展】

1.函数奇偶性常用结论

仃）如果函数f（x）是偶函数，那么f^=f{\x\}・

（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的

单调性.

（3）在公共定义域内有：

奇土奇=奇，偶土偶=偶,奇X奇=偶,偶＞＜偶=他，奇＞＜偶=奇.

2.函数周期性常用结论

对代力定义域内任一自变量的值%：

⑴若Ax+a）=-Ax）,则r=2a（3＞0）.

（2）若f{x+a）—

r基础自测

题组一思考辨析

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“丁”或“X”）

（1）偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点.（X）

（2）若函数y=f{x+a）是偶函数，则函数y=f（x）关于直线x=a对称.（V）

⑶函数fd）在定义域上满足日）=—f（0,则fd）是周期为2日（Q0）的周期函数.（J）

（4）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.（V）

（5）若T是函数的一个周期，则//SWZ,刀工0）也是函数的周期.（V）

题组二教材改编

2.已知函数fd）是定义在R上的奇函数，且当疋＞0时，£（方=班1+方，贝IJ/（-!

）=

答案一2

（-若+2=1・

答案

解析

=_4X

解析f（l）=1X2=2,又fd）为奇幣数,

4.设奇函数fd）的定义域为［—5,5］,若当”丘［0,5］时，代力的图像如图所示，则不等式f\x）＜0的解集为・

答案（-2,0）U（2,5]

解析由图像可知，当00；当20.

综上，/'（%）<0的解集为（―2,0）U（2,5].

题组三易错自纠

5.已知+是定义在[白一1,2白]上的偶函数，那么a+b的值是（）

1111

A，-3B-3C-_2°-2

答案B

解析依题意得/'（—0，・••方=0,又日一1=—2日，

.I日+方=+，故选B.

6.偶函数y=f（x）的图像关于直线x=2对称，f（3）=3,则/（—1）=.

答案3

解析•:

fg为偶函数,・・・f（—l）=f（l）.

又/（%）的图像关于直线x=2对称，

.\f（l）=f（3）.A/（-1）=3.

题型分类深度剖析

貝题典题深度剖析董点难点多维探究

题型一判断函数的奇偶性-••”“-““-“•师生共研

典例判断下列函数的奇偶性：

（1）f{x）=yj3—x+寸,_3；

|x-2|-2;

即函数f（x）的定义域为｛—羽，羽｝,

f^x）3—xx—3—0.

—=—f（x）且f{—x）=f{x）,

・•・函数fd）既是奇函数又是偶函数.

（2）由|—得定义域为（一1,0）U（0,1）,关于原点对称.

x27^2

z—2<0,・：

|/—21—2=—x,・•.『'（/）=—.

—X

XvA-x）=臥1—（—怕=辿二总=_心,

XX

・・・函数fd）为奇函数.

（3）显然函数f（x）的定义域为0）U（0,+-）,关于原点对称.

•・•当xVO时，一/>0,

贝】Jf{~x）=—{—X）1—X=—X—X=—f{x）;

当无>0时，一/VO,

贝1Jf\—X）—{—x）~—X=X—X=—f{x）;

综上可知：

对于定义域内的任意尢总有f（一力=一£（力，

・・・函数代对为奇函数.

思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

（2）判断与f（—0是否具有等量关系.

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式门方+门一方=0（奇函数）或f3一fi=0（偶函数）是否成立.

跟踪训练

（1）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

2

A.y=x+sin2xB.y=x—cosx

C.y=2'+矛D.y=x+sinx

答案D

解析对于A,f（~x）=—%+sin2（—/）

=—d+sin2方=—f（x）,为奇函数；

对于B,f（—方=（―02—cos（―方=,—cosx=f（^x）,为偶函数；

对于C,f（—方=2"+右=2”+寺=心），为偶函数；

对于D,y=z+sinx既不是偶函数也不是奇函数，

故选D.

（2）函数/*U）=lg|sin”是（）

A.最小正周期为n的奇函数

B.最小正周期为2ii的奇函数

C.最小正周期为Ji的偶函数

D.最小正周期为2兀的偶函数

答案C

解析易知函数的定义域为{x\x^k^,WGZ},关于原点对称，又/（—%）=lg|sin（—%）|=lg|—sin%|=lg|sinx\=f{x）^所以f（x）是偶函数，又函数y=|sinx\的最小正周期为兀，所以函数A%）=lg|sin”是最小正周期为Ji的偶函数.

题型二函数的周期性及其应用一〜自主演练

1.若函数fCr）dUR）是周期为4的奇函数，且在［0,2］上的解析式为=0^1,则爸+奔卜_.

sinnx,1〈/W2,（4丿（6丿

口木16

解析由于函数代方是周期为4的奇函数，

・・・/•⑴=1,f

（2）=2,A3）=A-3）=-l,f（4）=f（一2）=0,A5）=A-l）=-hA6）=A0）=0,

・・・f（l）+f

（2）+・・・+f（6）=l,・・・f（l）+f

（2）+f（3）+・・・+f（2015）+A2016）

又f（2017）=f⑴=1,f（2018）=f

（2）=2,

AAl）+f

（2）+f（3）+…+f（2018）=339.

思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.

题型三函数性质的综合应用

命题点1求函数值或函数解析式

典例

（1）（2017•全国II）已知函数厂（方是定义在R上的奇函数，当—0）时，fg

=2x+x,则f

（2）=.

答案12

解析方法一令^>0,则一/<0.

f（~x）=—2/+X.

・・•函数代方是定义在R上的奇函数，

f（—X）——f{x）.

・・・（^>0）・

・・・A2）=2X2-22=12.

方法二/

（2）=-A-2）=-[2X（-2）3+（一2）勺=12.

（2）（2016•全国HI改编）已知代方为偶函数，当xWO时，t\x）=e~v_1—%,则f\x）=

解析•・•当/>0时，一/VO,

・•・

e"'虑0,

ex~[+x,x>0.

.9.f（x）=f（—x）=exl+x,

命题点2求参数问题

典例

（1）设函数广3」皆2）（兀+斤）为奇函数，则&=.

tanx

答案—2

解析Jf（力为奇函数，・•・f（一力=一f（力，

.（卄2）（卄斤）（—卄2）（—卄&）

…tanxtan（—x）

/.（/+2）（/+«）=（2—力（&—力，

x+2x+kx+2k=2k~kx~2x+x,：

・k=_2.

⑵设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[一1,1]±,/V）=

劲+1,—1W*O,

＜加+20V/V1其中已'圧出若彳|）=彳|），则日+30的值为•答案TO

解析因为fd）是定义在R上且周期为2的函数,

尹21

从rfii~=—㊁日+]9尹1

即3曰+2方=—2.①

由f（—1）=f⑴,得一a+1=2‘

即b=_2a.②

由①②得已=2,〃=—4,从而臼+3力=—10.

命题点3利用函数的性质解不等式

<0,贝】J（）

A.f（3）

c./（-2XA1XA3）d.r（3）

答案A

解析由题意知广（方为偶函数，所以代一2）=f

（2）,

又^re[0,+8）时，£（劝为减函数，且3>2>1,

/.A3）

（2）

）>即A3XA-2XA1）,故选A・

⑵若为奇函数，且在（一->,0）上是减函数，又代一2）=0,则x-/UX0的解集为

QO,/W

答案（一8,—2）U（2,+oo）

x<0,

解析rhx•t\x）

W»>o

Vf（x）为奇函数，在（―°°,0）上是减函数，f（—2）=0,

/.X-/UXO的解集为（一8,-2）U（2,4-00）.

思维升华

（1）关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.

（2）掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

1f（方为偶函数今f（方=f（I刃）・

2若奇函数在丸=0处有意义，则A0）=0.

跟踪训练

（1）已知fd）是定义在R上的奇函数，且在［0,+8）上是增加的，若Alg^XO,则/的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,10）

C.（1,4-oo）D.（10,+8）

答案A

解析由题意，函数fd）在R上是增函数，且/（0）=0,不等式Aig^<0=A0）等价于Ig

X0,故0

故选A.

（2）己知定义在R上的奇函数fd）满足fd—4）=—fd）,且在区间［0,2］上是增函数，则

（）

A.A-25XA11XA80）

B./（80）

C./（11）

D./（-25）

答案D

解析因为t\x）满足f\x—4）=—f\x）,

所以A%-8）=ra）,所以函数他0是以8为周期的周期函数，则代一25）=f（—1）,A80）

=f（o）,All）=A3）.

由f（方是定义在R上的奇函数且满足fCv—4）=—f（x）,得f（11）=f（3）=—H—1）=H1）・

因为fd）在区间［0,2］上是增函数，f（x）在R上是奇函数,所以代刃在区间［—2,2］上是增函数，

所以A-1XA0XA1）.

所以A-25）

!

）•

■咼频小考点•

函数的性质

考点分析函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在

•起命题，解题吋，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.

一、函数性质的判断

典例1

（1）（2017•北京）已知函数f（0=3f&则f\x）（）

⑵（2017•荆州模拟）下列函数:

1

y=sin・+3sinx\

③y=lg

xWO,

X〉0,

—%+i,④尸I.

—X—\y

其中是奇函数且在（0,1）上是减函数的个数为（）

A.1B.2C.3D-4

⑶定义在实数集R上的函数f（0满足f（0+fd+2）=O,且f^~x）=f\x）.现有以下三个命题：

①8是函数f（x）的一个周期；②f（x）的图像关于直线x=2对称；③代劝是偶函数.其屮正确命题的序号是.

解析

（1）J函数f3的定义域为R,

x-y=-Kx）,

•••函数fd）是奇函数.

•••函数f{x）=3X—

在R上是增函数.

又Vy=3v在R上是增函数,

故选B.

（2）易知①中函数在（0,1）上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③.

（3）由f\x）+f\x+^=0可得

f（x+4）=—/（%+2）=f（x）,

・•・函数f（x）的周期是4,①对；由A4-%）=/（%）,

可得f（2+x）=f（2—方，£（方的图像关于直线/=2对称，②对；f（4—0且f（4—x）=f（x）,

f（—X）=f（0,f（0为偶函数,③对.

答案

（1）B

（2）B（3）①②③

二、函数性质的综合应用

典例2

（1）已知Hx）是定义在R上的奇函数,对任意的实数X,f（%-2）=f（x+2）,当（0,2）吋，/（%）=-/,则（等）等于（）

B.

A.

⑵函数f3=log£卄2018—彳在［1,+°°）上是增函数，则$的取值范围是.

⑶己知是定义在R上的偶函数，且在区间（一〜0）上是增加的.若实数日满足H2"

7>f（—曲,则白的取值范围是.

解析

（1）由fd—2）=fd+2）,可知函数代方的最小正周期7=4,又由于该函数是奇函

（2）由已知函数x=a+2018—空在［1,+s）上是增函数，且y>0恒成立.

X

*•y'=1+$,令/NO得吕$—#（以$1）,

X

8三—1.

又由当x=l时，y=l+2018—日>0,得a<2019.・・・Q的取值范围是[-1,2019）・

⑶・・・f（2I）>A-a/2）=/（^2）,

又由已知可得fU）在（0,+8）上是减少的，

・・・2“7<花=2*,

,113

丨臼—1丨V㊁，.•・°V&V

3、

答案

（1）D

（2）[-1,2019）（3）^2）

课时作业

P基础保分练

1.下列函数为偶函数的是（）

A./（%）=x—1B.f（x）=F+x

C.f（x）=2x-2'xD.f^=2x+2"x

答案D

解析函数f3=x—1和f（x）=x2+x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和B；选项C中，f{x）=2A-2-\则A-x）=2-A-2A=-/U）,且定义域为R,所以f（x）=2x-2~x为奇函数,排除选项C；选项D中，f（x）=2x+2~x9则f（-x）=2~x+2x=f（x）f所以f（x）=2”+2一”为偶函数，故选D.

2.设函数f（x）=ln（l+x）—ln（l—x）,则£（0是（）

A.奇函数，且在（0,1）上是增函数

B.奇函数，且在（0,1）上是减函数

C.偶函数，且在（0,1）上是增函数

D.偶函数，且在（0,1）上是减函数

答案A

解析易知函数定义域为（一1,1）,f（—x）=ln（l—%）—ln（l+^）=—f{x）,故函数A%）为奇函数，又f（x）=ln岂=ln（—1+总）由复合函数单调性判断方法知，代方在（0,1）

上是增函数，故选A.

3.（2017•江西南城一中模拟）已知R上的奇函数fd）满足：

当x>0时，f（x）=x+x~lf则AA-1））等于（）

A.-1B.1C.2D.-2

答案A

解析Ty=f（x）是奇函数，・•・/*（—1）=—f（l）=—1,

且当圧（_|,0）时,f（x）

.-./'（/（-I））=f（—l）=—l.

4.已知函数fd）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4,

=log2（—3x+l）,则f（2021）等于（）

A.4B.2C.-2D.log27

答案C

解析•・•函数f（x）是定义在R上的奇函数，英最小正周期为4,・・・代2021）=£（4X505+1）

=A1）=-A-1）.0

f{x）=log2（—3%+l）,

/（—1）—log2〔—3X（—1）+1］=2,

・・・f（2021）=-/（-!

）=-2.

5-若心）Y—”为奇函数，则心一1）<宀的解集为（）

A.（—8,2）B.（—8,1）

C.（2,+oo）D・（1,+oo）

答案A

解析因为f（^）=e-ae~x为奇函数,所以f（0）=l—日=0,即日=1,则f\x）=ev-e_x在

R上单调递增，且f（l）=e--.则由Ax-l）

^<2,所以不等式fd—1）Ve—丄的解集为（一8,2）.

e

6.已知偶函数fd）对于任意圧R都有fd+l）=—fd）,且在区间［0,1］上是增加的,则代一6.5）,A-l）,f（0）的大小关系是（）

A.A0XA-6.5XA-1）

B.A-6.5）

C.f（-l）Vf（—6.5）

D.A-l）

答案A

解析由f（x+l）=-f（x），得/U+2）=—/U+l）=/U）,・・・函数/*（0的周期是2.

•・•函数代方为偶函数，

・"（一6・5）=f（-0・5）=f（0・5）,A-l）=A1）・

Vf{x）在区间[0,1]上是增加的,

・・・AO）

7.若f（x）=ln（e"+l）+臼x是偶函数，则爲=•

"3

答案飞

解析函数f3=ln（』+l）+站是偶函数,故A-x）=Ax）,即ln（e^+l）-ax=ln（e3x

1+評1+評

+1）+敬，化简得In-^=2^=ln尹，即飞=战=尹，

e十ee+e

整理得=（評+1）,所以2站+3尸0,

解得a=—-

8.已知函数f（x）在R上为奇函数，且当x>0时，/U）=y[x+1,则当X0时，/（%）=答案一Jr—1

解析Vf{x）为奇函数，当Q0时，f（x）=y[x+1,

・••当*0时，一Q0,

f{x）=—f{—x）=—（^/―%+1）,

即当%<0时，f3=—（寸_才+1）=—yj—x—l.

9.设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：

①f（力+f（—*）=0；②f（x）=f{x+i）；

③当0W/W1时，Ax）=2-1,则（£|+f（l）+彳另+f

（2）+〈|）=.

答案y[2

./|j+Al）+

=£]+%）+

解析依题意知：

函数代方为奇函数且周期为2,

=2*—1+2'—1+2°—1

10.若函数fd）是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8）上是增函数.如果实数r满足Hln

"+（ln,那么才的取值范围是

答案e

解析由于函数广匕）是定义在R上的偶函数，

所以f（lnt）=/ln^,

由Hln“+心器2产

（1）,

得Hlnt）Wf（l）.

又函数fd）在区间［0,+<-）上是增函数，

所以IInHWl,即一lWln广Wl,故丄W/We.

—y+2x,x>0,

11.己知函数fd）=<0,x=0,是奇函数.

V+mx,KO

（1）求实数/〃的值；

（2）若函数f（0在区间［一1,自一2］上是增加的,求实数£的取值范围.

解

（1）设*0,则一00,

所以f（~x）=—（―x）2+2（—%）=—x—2x.

又f（x）为奇函数，所以f（~x）=~f（x）.

于是*0时，f{x）=x+2x=x+mx,

所以777=2.

（2）要使fd）在［―1,a-2］上是增加的，

（a—2>—1,

结合广（方的图像知

⑴一2W1,

所以1<^3,

故实数臼的取值范围是（1,3］.

12.设f（x）是定义域为R的周期函数，最小正周期为2,且f（l+x）=f（l—方，当一1W/W0时，f{x）=—x.

（1）判断的奇偶性；

（2）试求出函数fd）在区间［一1,2］上的表达式.

解

（1）Tf（l+x）=f（l—/）,/./（—%）=f（2+x）.

又f（x+2）=f（x）,f（—x）=f{x）・

又O）的定义域为R,

・・・代方是偶函数.

（2）当久€[0,1]时，一/丘[一1,0],则/（%）=/（—%）=x；从而当1W/W2时,—lWx—2W0,f{x）=f（x—2）=—（才一2）=—x+2.

—x,xE：

[―1,0],

故f{x）=

、一X~\~2y[1,2].

N技能提升练

13.

对任意JVWR恒成立，则A2

若定义在R上的偶函数f（0满足rW>o,fd+2）=

019）等于

答案1

所以f（x+4）=f[（x+2）+2]=/（、+，?

）=”一=f{x），

丽

即函数代方的周期是4,

所以f（2019）=f（505X4—l）=广（一1）.

因为函数fd）为偶函数，

所以/'（2019）=/'（-!

）=/'（!

）.

A-1+2）

由f（x）>0，得Al）=b所以f（2019）=/（!

）=!

.

14.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的用R恒有/V+l）=f（x—l）,已知当

[0,1]时,代方=2",则有

12是函数代0的周期；

2函数fd）在（1,2）±是减函数，在（2,3）上是增函数；

3函数f3的最大值是1,最小值是0.

其中所有正确命题的序号是・

答案①②

解析在f（x+1）=f（x—1）中，令X—l=t,

则有

因此2是函数f3的周期，故①正确；

当圧［0,1］时,f（x）=2”是增函数,

根据函