解析 由
＝
，得x＝y.故选A．
3．命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是（ C ）
A．若α≠
，则tanα≠1
B．若α＝
，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠
D．若tanα＝1，则α＝
解析 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若tanα≠1，则α≠
”．故选C．
4．设集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的（ C ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且（A∩B）⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件．故选C．
5．（2017·天津卷）设x∈R，则“2－x≥0”是|x－1|≤1的（ B ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由|x－1|≤1，得0≤x≤2，∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2.故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．故选B．
一 四种命题及其相互关系
与四种命题有关的问题的解题策略
（1）写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
（2）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．
（3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【例1】
（1）（2018·山东邹平双语学校月考）已知命题p：
若x＜－3，则x2－2x－8＞0，则下列叙述正确的是（ D ）
A．命题p的逆命题是“若x2－2x－8≤0，则x＜－3”
B．命题p的否命题是“若x≥－3，则x2－2x－8＞0”
C．命题p的否命题是“若x＜－3，则x2－2x－8≤0”
D．命题p的逆否命题是真命题
（2）命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（ D ）
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
（3）下列命题为真命题的是（ B ）
A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
（4）已知命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（ D ）
A．否命题是“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m>1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m>1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题
解析
（1）命题p：
若x<－3，则x2－2x－8>0的逆命题为：
若x2－2x－8>0，则x<－3，A项错误；命题p：
若x<－3，则x2－2x－8>0的否命题为：
若x≥－3，则x2－2x－8≤0，B，C项错误；命题p：
若x<－3，则x2－2x－8>0是真命题，则命题p的逆否命题是真命题．故选D．
（2）将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
（3）对于A项，否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故A项为假命题；对于B项，逆命题为“若x>|y|，则x>y”，分析可知B项为真命题；对于C项，否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故C项为假命题；对于D项，逆否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4>1，故D项为假命题．
（4）因为f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则f′（x）＝ex－m≥0恒成立，所以m≤1，所以命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题是真命题．
二 充分、必要条件的判断
充分、必要条件的三种判断方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断．
（2）集合法：
根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．
①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件．
【例2】
（1）（2017·浙江卷）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的（ C ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）（2017·北京卷）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的（ A ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析
（1）因为{an}为等差数列，S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.故选C．
（2）对于非零向量m，n，若存在负数λ，使得m＝λn，则m，n互为相反向量，则m·n<0，满足充分性；而m·n<0包含向量m，n互为相反向量或者其夹角为钝角两种情况，故由m·n<0推不出m，n互为相反向量，所以不满足必要性．所以“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A．
三 充分条件、必要条件的应用
充分条件、必要条件的应用的注意点
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解．
（2）区间端点值的检验．
【例3】
（1）已知条件p：
|x－4|≤6；条件q：
（x－1）2－m2≤0（m>0），若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（ B ）
A．[21，＋∞） B．[9，＋∞）
C．[19，＋∞） D．（0，＋∞）
（2）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为__[0,3]__.
解析
（1）条件p：
－2≤x≤10，条件q：
1－m≤x≤m＋1，又p是q的充分不必要条件，故有
解得m≥9.
（2）由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P，又集合S非空，
则
所以0≤m≤3，所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
1．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 若“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d＝
<1，即|b|<
，不能得到0<
<1，所以直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交．故选B．
2．下列说法中错误的是（ C ）
A．命题“0既不是正数也不是负数”为真命题
B．“x＝1”是“x≥1”的充分不必要条件
C．“sinx＝
”的必要不充分条件是“x＝
”
D．命题“若x∈R，则x2≥0”的逆否命题为真命题
解析 对于A项，易知正确；对于B项，由于x＝1可以推出x≥1，但x≥1不一定能推出x＝1，故正确；对于D项，因为原命题“若x∈R，则x2≥0”为真命题，所以其逆否命题为真命题，故正确；对于C项，“x＝
”应为“sinx＝
”的充分不必要条件．
3．设向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），则“a∥b”是“tanθ＝
”成立的__必要不充分__条件（填充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要）．
解析 a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0或tanθ＝
，所以“a∥b”是“tanθ＝
”成立的必要不充分条件．
4．已知“（x－t）2>3（t－1）”是“x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数t的取值范围为__（－∞，－7]∪[1，＋∞）__.
解析 设P＝{x|（x－t）2>3（x－t）}＝{x|（x－t）（x－t－3）>0}＝{x|xt＋3}，Q＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|（x＋4）（x－1）<0}＝{x|－4错因分析：
对充分、必要、充要条件的概念不清，不知由谁推出谁．
【例1】已知p：
≥1，q：
|x－a|<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为______.
解析 由p，得
－1≥0⇔
≥0⇔
≤0⇔
解得2由q，得a－1因为p是q的充分不必要条件，
所以
解得2答案 （2,3]
【跟踪训练1】已知条件甲：
a＋b≠4，条件乙：
a≠1且b≠3，则甲是乙的__既不充分也不必要__条件．
解析 直接看甲、乙之间的推出关系易产生错误．由逆否命题与原命题的等价性可转化为判断“a＝1或b＝3”是“a＋b＝4”的什么条件．易知应为既不充分也不必要条件．
课时达标 第2讲
[解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置．
一、选择题
1．（2016·上海卷）设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的（ A ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
解析 当a>1时，a2>1；当a2>1时，a>1或a<－1.故选A．
2．原命题为“△ABC中，若cosA<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ B ）
A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．真、假、假
解析 因为cosA<0,00，所以逆命题为假，从而否命题也为假．故选B．
3．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：
l1，l2是异面直线，q：
l1，l2不相交，则（ A ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析 两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件．故选A．
4．（2018·河北邯郸二中期中）已知命题p：
（x－3）（x＋1）＞0，命题q：
x2－2x＋1＞0，则命题p是命题q的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由p：
（x－3）（x＋1）>0，得x<－1或x>3，由命题q：
x2－2x＋1>0，解得x≠1，由于p⇒q成立，q⇒p不成立，即命题p是命题q的充分不必要条件．故选A．
5．A＝{x||x－1|≥1，x∈R}，B＝{x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的（ B ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由已知得A＝（－∞，0]∪[2，＋∞），B＝（2，＋∞），若“x∈B”，则必有“x∈A”，反之不成立，即得“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．故选B．
6．下列四个选项中错误的是（ B ）
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
C．若命题p：
∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则¬p：
∃x0∈R，x
＋x0＋1＝0
D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
解析 对于A项，显然是正确的；对于B项，根据复合命题的真值表知，有p真q假、p假q真、p真q真三种情况，故B项是错误的；对于C项，由全称命题的否定形式知C项是正确的；对于D项，x2－3x＋2>0的解是x>2或x<1，故D项是正确的．
二、填空题
7．已知命题p：
若a>b>0，则log
ab＋1，命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为__2__.
解析 ∵a>b>0，∴log
ab，
∴命题p为真命题，
其逆命题为：
若log
ab＋1，则a>b>0，
∵a＝2，b＝2时，log
ab＋1，而a＝b.
∴逆命题为假命题．
根据命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，知命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中只有原命题及其逆否命题是真命题．
8．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg（x－a）的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为__（－∞，－3]__.
解析 由x2＋x－6<0，得－30，得x>a，即B＝（a，＋∞），若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，则a≤－3.
9．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为__－1，－2，－3（答案不唯一）__.
解析 取a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但a＋b＝－3＝c，不满足a＋b>c，故“设a，b，c是任意实数，若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为－1，－2，－3.
三、解答题
10．（2018·山东邹平月考）写出“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
解析 逆命题：
若x2－5x＋6＝0，则x＝2，是假命题；否命题：
若x≠2，则x2－5x＋6≠0，是假命题；逆否命题：
若x2－5x＋6≠0，则x≠2，是真命题．
11．已知函数f（x）＝lg（x2－2x－3）的定义域为集合A，函数g（x）＝2x－a（x≤2）的值域为集合B．
（1）求集合A，B；
（2）已知命题p：
m∈A，命题q：
m∈B，若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析
（1）A＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|（x－3）（x＋1）＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{y|y＝2x－a，x≤2}＝{y|－a＜y≤4－a}．
（2）∵¬p是¬q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，∴BA，
∴4－a<－1或－a≥3，∴a≤－3或a>5，
即实数a的取值范围是（－∞，－3]∪（5，＋∞）．
12．已知p：
x2－8x－20≤0，q：
x2－2x＋1－m4≤0.
（1）若p是q的必要条件，求m的取值范围；
（2）若¬p是¬q的必要不充分条件，求m的取值范围．
解析 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
即p：
－2≤x≤10，q：
1－m2≤x≤1＋m2.
（1）若p是q的必要条件，
则
即
即m2≤3，解得－
≤m≤
.
故m的取值范围是[－
，
]．
（2）∵¬p是¬q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
即
即m2≥9，解得m≥3或m≤－3.
故m的取值范围是（－∞，－3]∪[3，＋∞）．
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