第一章三角形教案.docx

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第一章三角形教案

第一章三角形

教材内容

本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和。

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。

教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。

教学目标

〔知识与技能〕

1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。

〔过程与方法〕

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题，增强应用意识；3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。

重点难点

三角形三边关系、内角和，；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形是难点。

1认识三角形

[教学目标]1、了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；2、理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.

[重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。

[教学过程]

一、情景导入

三角形是一种最常见的几何图形，[投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有关概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：

三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，

相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，

相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC。

三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

三、三角形三边的不等关系

探究：

[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?

各条路线的长一样吗?

为什么？

有两条路线：

（1）从B→C，

（2）从B→A→C；不一样，AB+AC＞BC①；因为两点之间线段最短。

同样地有AC+BC＞AB②

AB+BC＞AC③

由式子①②③我们可以知道什么？

三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边..

四、三角形的分类

我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。

按角分类:

三角形直角三角形

斜三角形锐角三角形

钝角三角形

那么三角形按边如何进行分类呢？

请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形；

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。

按边分类:

三角形不等边三角形

等腰三角形底和腰不等的等腰三角形

等边三角形

五、例题

例用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？

为什么？

分析：

（1）等腰三角形三边的长是多少？

若设底边长为x㎝，则腰长是多少？

（2）“边长为4㎝”是什么意思？

解：

（1）设底边长为x㎝，则腰长2x㎝。

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.

（2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则

4+2x=18

解得x=7

如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则

2×4+x=18

解得x=10

因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。

六、课堂小结

1、三角形及有关概念；

2、三角形的分类；

3、三角形三边的不等关系及应用。

三角形的高、中线与角平分线

〔教学目标〕1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；毛

2、会画三角形的高、中线与角平分线；

3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.

〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点.

〔教学过程〕

一、导入新课

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。

三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。

二、三角形的高

请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。

注意：

高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？

三角形的三条高相交于一点。

如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

显然，上页的结论成立。

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。

上页的结论还成立。

三、三角形的中线

如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？

请画图回答。

上页的结论还成立。

四、三角形的角平分线

如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。

思考：

三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上页的结论还成立吗？

请画图回答。

上页的结论还成立。

想一想：

三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

五、课堂小结

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

三角形的稳定性

[教学目标]1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；

2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。

[重点难点]三角形稳定性及应用。

[教学过程]

一、情景导入

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、三角形的稳定性

〔实验〕1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

从上页的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。

如：

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

四、课堂练习

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

三角形的内角

[教学目标]掌握三角形内角和定理。

[重点难点]三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。

[教学过程]

一、导入新课

我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？

二、三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出

∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

[投影1]

图1

想一想，还可以怎样拼？

①剪下∠A，按图

（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图2

②把

和

剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

如果把上页移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？

已知△ABC，求证：

∠A+∠B+∠C=1800。

证明一

过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，

又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800

∴∠A+∠B+∠ACB=1800。

即：

三角形的内角和等于1800。

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于

由图2、图3你又能想到什么证明方法？

请说说证明过程。

三、例题

例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

分析：

怎样能求出∠ACB的度数？

根据三角形内角和定理，只需求出AB和∠CBA的度数即可。

∠CAB等于多少度？

怎样求∠CBA的度数？

解：

∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300

∵AD∥BE∴∠BAD+∠ABE=1800

∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000

∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600

∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900

答：

从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是。

在直角三角形ABC中，∠C＝900由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=1800，

所以∠A+∠B＝900

三角形内角和定理的推论：

直角三角形的两个锐角互余。

复习一

一、双基回顾

1、三角形：

由的三条直线所组成的图形，叫做三角形。

〔1〕图中有个三角形，用符号表示为。

2、三角形的分类：

（1）按角分类：

三角形

（2）按边分类:

三角形

〔2〕三角形中最大的角是700，那么这个三角形是三角形。

3、三角形三角的关系：

三角形三个内角的和是。

4、三角形的三边关系：

三角形的两边之和第三边，两边之差第三边。

〔3〕一个三角形的两边长分别是3和8，则第三边的范围是.

5、三角形的高、中线、角平分线

从三角形的向它的作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高

注意：

三角形的高与垂线不同；三角形的高可能在三角形内部，可能在三角形的边上，可能在三角形的外部。

在三角形中,连接与它的线段，叫做三角形的中线.

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，与之间的线段,叫做三角形的角平分线。

注意：

三角形的角平分线与角的平分线不同.

〔4〕如图，以AE为高的三角形是.

6、三角形的三条高所在的直线相交于一点。

这点可能在三角形的，可能在三角形的，可能在三角形的。

三角形的三条中线相交于一点。

这点在三角形的.

三角形的三条角平分线相交于一点。

这点在三角形的。

〔5〕如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[]

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形

7、三角形的稳定性：

具有稳定性，具有不稳定性.

〔6〕有些窗户是可以向外推开的，当我们把窗户推开后，就顺手把风钩勾上，为什么这样做呢？

我们的校门是铁栅栏，为什么既能拉开，又能推拢去呢？

二、例题导引

例1两根木棒长分别为3厘米和6厘米，要截取其中一根木棒将它钉成一个三角形，如果要求三边长为整数，那么截取的情况有几种？

例2如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6厘米，AC=8厘米，BC

＝10厘米，∠CAB=900,试求

（1）AD的长；

（2）△ABE的页积；（3）△ACE与△ABE的周长的差。

例3如图，BE平分∠ABC,CD平分∠ACB，∠A＝500，求∠BOC的度数。

三、练习升华，夯实基础

1、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是（）

A.1、2、3B.1、2、4C.2、3、4D.2、3、6

2、如图，工人师傅把新做好的门框上方钉两根木条后存放起来，这是防止，根据是.

2题3题4题

3、图中共有个三角形。

4、如图，AB⊥BD于B,DC⊥AC于C,AC与BD交于点E,那么△ADE的边DE上的高为，AE上的高为.

5、下列说法正确的是〔〕

A、直角三角形只有一条高B、三角形的三条中线相交于一点

C、三角形的三条高相交于一点D、三角形的角平分线是射线

6、如果三角形的三个内角的度数比是2:

3:

4,则它是（）毛

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.钝角或直角三角形

7、现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取〔〕的木棒

A.10cmB.20cmC.50cmD.60cm

8、在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.

9、在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O,∠ECB=50°,求∠BOC的度数.

10、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形.

11、任何一个三角形的三个角中至少有〔〕

A、一个锐角B、两个锐角C、一个直角D、一个钝角

12、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为〔〕

A.13B.15C.14D.13或15

13、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.

14、在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,S△ABC＝.

15、在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

16、如图，△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠C＝600，

∠B＝280，求∠DAE的度数。

17、如图，线段

、

相交于点

，能否确定

与

的大小，并加以说明．毛

三角形的外角

[教学目标]1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。

[重点难点]三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。

[教学过程]

一、导入新课

〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？

它们有什么关系？

是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。

若延长BC至D，则∠ACD是什么角？

这个角与△ABC的三个内角有什么关系？

二、三角形外角的概念

∠ACD叫做△ABC的外角。

也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？

共有六个。

注意：

每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。

研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.

三、三角形外角的性质

容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？

〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CE∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2

又∠ACD=∠1+∠2

∴∠ACD=∠A+∠B

你能用文字语言叙述这个结论吗？

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

四、例题

〔投影3〕例如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？

分析：

∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？

∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？

解：

∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，

∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400

又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800

∴∠1+∠2+∠3==3600。

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于3600。

五、课堂小结

1、什么是三角形外角？

2、三角形的外角有哪些性质？

复习二

一、双基回顾

1、三角形的外角：

三角形与另组成的角叫做三角形的外角.如图1，∠是△ABC的一个外角.

图1图2

2、三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角等于两个内角和.

注意：

三角形的外角和等于3600.

〔1〕如图2，∠

＝450，则x=.

（2）三角形的一个外角与它不相邻的任何一个内角.

〔2〕如图，△ABC中，∠1与∠A有什么关系？

为什么？

二、练习提高

夯实基础

1、若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是（）毛

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定

2、如图,∠CAB的外角为120°,∠B为40°,则∠C的度数是___.

3、如图1，AB∥CD，∠A=38°∠C=80°，则∠M为（）

A、52°B、42°C、10°D、40°

2题3题

4、如图，在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，∠1与∠A的大小关系是.

5、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线，∠2=350,∠4=65°,求∠ADB的度数.

能力提高

6、如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度.

7、如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于（）

A.120°B.115°C.110°D.105°

13题15题

8、.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.

9、如图所示,△ABC两外角的平分线BP、CP交于点P,已知∠A=500，求∠P的度数.

本章小结

一、知识结构

二、回顾与思考

1、什么是三角形？

2、什么是三角形的高、中线、角平分线？

3、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？

4、三角形的内角和是多少？

5、三角形的外角和是多少？

三、例题导引

例1如图，在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHC的度数。

例2如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P＝1/2∠A.