平行线的性质.docx

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平行线的性质

平行线的性质

   一、学习目标   会用两条平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算。

   1、掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理和计算。

   2、了解平行线的判定和性质的区别。

   3、能利用平行线的判定和性质去解较综合的题目。

   二、要点指津

   1、平行线的性质是证明角相等或互补的重要方法，它和对顶角、邻补角、角平分线等知识结合使用。

角是平面几何中最灵活的量，注意对有关角的知识的不断总结、积累。

   2、平行线三个性质的已知条件是什么、求什么结论要记准、记牢；还要把这三个性质同平行线的判定做比较，去记忆，一定要清楚它们之间的区别和联系。

   3、直线和平面、平面和平面的平行关系，关键在于将直线或平面无限延展后永不相交，理解它需要一定的想象力。

   三、例题分析

   [例1]如图，DE∥AB,∠B与∠ADE的关系是（ ）

   A、互余   B、互补   C、相等   D、以上答案都不对   解：

   ∵AD⊥BC, ∴∠ADE+∠EDC=90°   ∵AB∥DE,∴∠B=∠EDC

   ∴∠B+∠ADE=90°   答案:

A

   [例2]前面我们学习了平行线的判定公理：

即同位角相等，两直线平行。

如果我们把这句话中的前后次序颠倒，就得到：

两直线平行，同位角相等。

我们知道，把一句原本正确的话，颠倒前后顺序，得到新的一句话，并不能保证一定正确。

例如"对顶角相等"是正确的，倒过来说"相

等的角是对顶角"就不正确了。

想想"两直线平行，同位角相等"这句话是否正确？

   提示：

   从画平行线的过程可以知道，已有一对同位角相等（如图

（1）中的∠1=∠2）是不是每对同位角都相等呢？

可以多画几条截线考虑。

   参考答案：

   这句话是正确的。

我们把它作为平行线的性质公理：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：

两直线平行，同位角相等。

   说明：

   我们可再画一条直线E′F′，使它直线AB，CD都相交，得同位角∠3，∠4。

利用量角器量一下，可知∠3=∠4。

不论怎样画截线，所得的同位角都相等。

[例3]两条平行线被第三条直线所截，可得同位角相等，那么内错角是否也相等呢？

提示：

   由a//b，可得∠1=∠2，要考虑∠2与∠3的关系，想想∠3与∠4是什么角？

是否相等？

   参考答案：

   两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行，简单说成：

内错角相等，两直线平行。

   说明：

   ∵a//b（已知）

   ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

   又∵∠1=∠3（对顶角相等）

   ∴∠3=∠2（等量代换）

   [例4]已知如图（5），直线a//b，c//d，∠1=110o，求∠2，∠3，∠4的度数？

   提示：

   平行性有哪些性质？

∠1与∠2，∠2与∠3，∠2与∠4分别是什么角？

   参考答案：

   ∵a//b（已知）

   ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）

   又∵∠1=110o（已知）

   ∴∠2=110o（等量代换）

   ∵c//d（已知）

   ∴∠2+∠3=180o（两直线平行，同旁内角互补）

   ∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）

   ∴∠3=180o-110o=70o ∠4=110o   说明：

   在求∠3的度数时，也可以根据邻补角的定义，∠3=180o-∠4来求。

   [例5]已知：

四边形ABCD中，AB//CD,BC//AD。

求证：

∠A=∠C，∠B=∠D   提示：

   图形中无同位角和内错角，只有同旁内角，想想两直线平行时，哪些同旁内角互补？

   参考答案：

   证明：

   ∵AB//CD（已知）

   ∴∠C＋∠B＝180o（两直线平行、同旁内角互补）

   ∵BC//AD

   ∴∠A＋∠B＝180o（两直线平行，同旁内角互补）

   ∴∠A＝∠C（同角的补角相等）

   同理可证：

∠B＝∠D。

   说明：

   如果题目要求证的两个结论中，第二个结论的证明方法与第一个结论的证明方法类似。

则可

以使用"同理可证"，而省略证明过程，此题还可以如下证明：

   证法二：

延长CB至E，（如图9）

   ∵BC//AD（已知）

   ∴∠A=∠ABE（两直线平行，内错角相等）

   ∵AB//CD（已知）

   ∴∠ABE=∠C（两直线平行，同位角相等）

   ∴∠A=∠C（等量代换）

   同理可证：

∠B=∠D

[例6]如图（10），根据DE//AB，DF//AC的条件，可以推出哪些角相等？

哪些角互补？

提示：

   把图形进行分解，先看DE//AB这个条件，再依次看DE，AB分别被BC，AC及FD所截得的同位角，内错角，同旁内角。

再看DF//AC这个条件。

   参考答案：

（1）

   ∵DE//AB（已知）

   ∴∠1=∠B，∠2=∠A（两直线平行，同位角相等）

   ∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）

   ∠A+∠6=180o ∠B+∠BDE=180o，∠3+∠AFD=180o（两直线平行，同旁内角互补）

（2）

   ∵DF//AC（已知）

   ∴∠4=∠A，∠5=∠C（两直线平行，同位角相等）

   ∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）

    ∠A+∠AFD=180o，∠A+∠CDF=180o，∠6+∠3=180o（两直线平行，同旁内角互补）   说明：

   因为平行线的性质较多，在两直线平行的条件下，可推出若干个结论。

所以书写时，也必须分清因果关系。

[例7]已知：

如图（11），∠1:

∠2:

∠3=2:

3:

4,且FE//BC，DE//AB，求：

∠A，∠B，∠C的

度数。

提示：

   ∠1，∠2，∠3这三个角有什么关系？

∠A与∠3，∠B与∠4，∠C与1分别是什么角？

   参考答案：

   解：

   ∵∠1+∠2+∠3=180o∠1：

∠2：

∠3=2:

3:

4

   ∴可设每一份为xo，则∠1=∠2xo∠2=3xo∠3=4xo

   ∴2xo+3xo+4xo=180o∴xo=20o

   ∴∠1=40o∠2=60o∠3=80o

   ∵FE//BC∴∠C=∠1=40o（两直线平行，同位角相等）

   ∠4=∠2=60o（两直线平行，内错角相等）

   又∵DE//AB∴∠A=∠3=80o（两直线平行，同位角相等）

   ∠B=∠4=60o（两直线平行，同位角相等）

   ∴∠A=80o∠B=60o∠C=40o

   [例8]已知：

如图（12），AB//CD，求证：

∴∠B+∠D+∠BED=360o（用三种方法）   提示：

   根据结论联想与360o有关的知识，由于360o=2×180o。

想想如何将结论分成两组角的和均为

180o，或根据周角的性质求证。

   参考答案：

   证法一：

作EF//AB。

如图（12-1）

   ∵AB//CD（已知）

   ∴EF//CD（平行于同一条直线的两直线平行）

   ∴∠B=∠1，∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）

   ∵∠1+∠2+∠BED=360o（周角定义）

   ∴∠B+∠D+∠BED=360o

   证法二：

作EM//BA（如图（12-2））

   ∵AB//CD（已知）

   ∴EM//CD（平行于同一直线的两直线平行）

   ∴∠B+∠1=180o，∠D+∠2=180o（两直线平行，同旁内角互补）

   ∴∠B+∠D+（∠1+∠2）=360o即∠B+∠D+∠BED=360o

   证法三：

作BN//ED交CD于N，（如图12-3）

   ∴∠3+∠BED=180o，∠2+∠D=180o（两直线平行，同旁内角互补）

   ∵AB//CD（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）

   ∴∠3+∠2+∠D+∠BED=360o∴∠3+∠1+∠D+∠BED=360o

   即∠ABE+∠D+∠BED=360o   说明：

    添加辅助线的目的是：

构造定理使用的图形，因为使用平行线的性质或判定定理时，对应的图形是两条直线被第三线直线所截。

在具体问题中，缺平行线或截线，因此在证法一、二中的辅助线是平行线，证法三中的BN对AB，CD来说补的是截线，对DE，BE来说补的是平行线。

   四、检测题

   1．如图1，AB//CD，则（）

   A.∠A+∠B=180o

   B.∠B+∠C=180o

   C.∠C+∠D=180o 

   D.∠A+∠C=180o

   2．如图2，AD//BC，则下面结论中正确的是（）

   A.∠1=∠2

   B.∠3=∠4

   C.∠A=∠C

   D.∠1+∠2+∠3+∠4=180o

   3．如图3，AB//CD，若∠2是∠1的2倍，则∠2等于（）

   A.60o    B.90o   C.120o    D.150o

   4．如图4，下面推理不正确的是（）

   A.∵∠1=∠2（已知）∴CE//AB（内错角相等，两直线平行）

   B.∵BF//CD（已知）∴∠3+∠4=180o（两直线平行，同旁内角互补）

   C.∵∠2=∠4（已知）∴CD//BF（同位角相等，两直线平行）

   D.∵∠1=∠2，∠2+∠3=180o（已知）∴∠1+∠3=180o，∴DC//BF（同旁内角互补，两直线平行）

   5.两条直线被第三条直线所截,则（ ）

   A、同位角相等   B、内错角的对顶角一定相等

   C、同旁内角互补 D、内错角不一定相等

   6.如图5，已知E、A、F在一条直线上，且EF//BC。

   ∵EF//BC

   ∴∠1=_________（）

   ∴∠3=_________（）

   ∵EF是一条直线    ∴∠1+∠2+∠3=180o    ∴∠2+____+____=180o

   7.已知如图6，AD，BC相交于点O，

   ∵∠B=∠C（已知）

   ∴______//_______（）

   ∴∠A=__________（）

   8.如图7，∵l1//l2（已知）

   ∴∠1=（）

   ∵∠1=∠3（已知）∴∠2=∠3

   ∴l2//l3（）

   9.如图8∵AB//EF（已知）    ∴∠A+______=180o（）

   ∵ED//CB（已知）

   ∴∠DEF=______________（）

   10.如图9DE//BC，∠1=39o∠2=25o，求∠BDE、∠BED的度数。

   11、如图10，AB//CD，∠B=130o，∠E=80o，求∠D的度数？

   答案：

   1、D

   2、B

   3、C

   4、B

   5、D

   6、∠1=∠C，两直线平行，内错角相等，∠3=∠B，两直线平行，内错角相等。

∠2+∠B+∠C=180o

   7、AB//CD（内错角相等，两直线平行），∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）

   8、∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），同位角相等，两直线平行。

   9、∠A+∠AEF=180o（两直线平行，同旁内角互补）∠DEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）

   10、∠BDE=116o∠BED=25o

   11、∠D=150o