26 平行线的性质.docx

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26平行线的性质

2.6平行线的性质

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课标要求

掌握平行线的三个性质定理；会运用平行线的性质定理进行计算和说理。

本节重点是平行线的性质；

难点：

平行线的性质与判定综合运用.

教材详解

1.平行线的性质

性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简称：

两直线平行，同位角相等。

推理格式：

如图2.6-1，∵a∥b（已知），

∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）.

性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简称：

两直线平行，内错角相等。

推理格式：

如图2.6-1，∵a∥b（已知），

∴∠3=∠5（两直线平行，同位角相等）.

性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简称：

两直线平行，同旁内角互补。

推理格式：

如图2.6-1，∵a∥b（已知），

∴∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

2.平行线的判定与性质的区别

（1）从因果关系上看：

性质与判定的因果关系是相反的。

性质：

因为两条直线平行，所以

。

判定：

因为

，所以两条直线平行。

（2）从用途上看：

性质：

根据两条直线平行，去证角的相等或互补。

判定：

根据两角相等或互补，去证两条直线平行，

【名师优质讲堂】

例题精析

例1如图2.6-2，已知AB∥CD，∠1=50°，求∠2的度数．

分析∠2与∠1的关系不明确，但∠2与∠3互为邻补角，∠1与∠3是同位角，而且由已知条件也可以求出∠3的度数，故可先求∠3的度数.

解∵AB∥CD，∠1=50°，

∴∠1=∠3=50°，

∵∠2+∠3=180°，

∴∠2=130°.

说明当所求角与已知角没有直接关系时，可先求与所求角和已知角都有直接关系的角，进而求出所求角的度数.这个角一般是所求角的余角（或补角或内错角或同位角或同旁内角）.

图2.6-2图2.6-3

【变式1】如图2.6-3，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（　　）

A．60°B．50°C．45°D．40°

分析根据两直线平行，同旁内角互补及∠C可求出∠CAB的度数，再由∠CAD=60°，即可知道∠BAD的度数．

解∵AB∥CD，∠C=80°，∴∠CAB=180°-∠C=100°，又∵∠CAD=60°，∴∠BAD=100°-60°=40°．故选D．

【变式2】如图2.6-4，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若∠1=72°，∠2=58°，则∠3=（　　）

A．45°B．50°C．60°D．58°

图2.6-4图2.6-5

解如图2.6-5，∵l1∥l2，∴∠2=∠4（两直线平行，同位角相等），

又∵∠2=58°，∴∠4=58°。

∵∠1+∠3+∠4=180°（平角定义），∠1=72°（已知），∠4=58°（已求），

∴∠3=180°-72°-58°=50°．故选B．

例2如图2.6-6所示，已知AB∥CD，一条直线分别交AB、CD于E、F，EG平分∠AEF，FH平分∠DFE，则EG∥FH吗？

为什么？

分析要使EG∥FH，必须有∠FEG=∠EFH，而由已知可得∠AEF=2∠FEG，∠DFE=2∠EFH，故必须有∠AEF=∠DFE，而这一点可由AB∥CD得到.

解EG∥FH，理由如下：

因为AB∥CD，所以∠AEF=∠DFE，

因为EG平分∠AEF，所以∠AEF=2∠FEG，

因为FH平分∠DFE，所以∠DFE=2∠EFH，

所以∠FEG=∠EFH，所以AB∥CD.

说明在两条平行线被第三条直线所截的图形中，如果还有角平分线，则应考虑半角或倍角的度数.本题主要根据“两直线平行，內错角相等”得到∠AEF=∠DFE，然后再根据角平分线的定义得到∠FEG=∠EFH，再根据“內错角相等，两直线平行”得到EG∥FH.

【变式1】如图2.6-7，已知AB∥CD，OM是∠BOF的平分线，∠2=70°，则∠1的度数为（　　）

A．100°B．125°C．130°D．140°

图2.6-7

解∵AB∥CD，∠2=70°，∴∠BOM=∠2=70°，∵OM是∠BOF的平分线，∴∠BOF=2∠BOM=140°，∵AB∥CD，∴∠1=∠BOF=140°．故选D．

【变式2】如图2.6-8，已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于E、F，∠MFD＝50o，EG平分∠MEB，那么∠MEG的大小是_____度.

解由AB∥CD，∠MFD＝50o，得∠MEB=∠MFD＝50o，又因为EG平分∠MEB，所以∠MEB=2∠MEG=50o,故∠MEG=25o.填25.

例3如图2.6-9，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（　　）

A．100°B．60°C．40°D．20°

分析过点C作CD∥a，由a∥b，即可得CD∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠3的度数．

图2.6-9

解过点C作CD∥a，∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．故选A．

说明如果两条平行线被一条折线所截，过折线的折点作其中一条直线的平行线，即可运用两直线平行的性质来探索折线上各角的数量关系，并将待求角用已知角表示出来，从而解决问题.

【变式1】如图2.6-10，直线a∥b，则∠A的度数是（　　）

A.28°B.31°C.39°D.42°

解过点A作直线EA∥a（如图2.6-10），则∠EAD=∠ADB=31o，又因为a∥b，所以EA∥b，所以∠EAC=∠ACF=70o，故∠BAD=∠EAC-∠EAD=70o-31o=39o.选C.

【变式2】如图2.6-11所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

分析设公路上第一次拐弯之前的道路起点为E，第三次拐弯之后的道路终点为F，因为CF∥AE，但CF、AE间没有截线，无法运用两直线平行的性质，故过点B作BD∥AE，这样就能运用两直线平行的性质来探索∠C与∠A、∠ABC的关系，并由此求出∠C的度数.

解过点B作BD∥AE.

则∠DBA=∠A=120°（两直线平行，内错角相等），

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=150°-120°=30°.

∵CF∥AE（已知），BD∥AE（已作），

∴CF∥BD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）,

∴∠C=180°-∠DBC=150°（等式性质）.

故选D.

例4如图2.6-12，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．

证明：

因为∠1=∠2，所以∥，（）

所以∠EAC=∠ACG，（）

因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，

所以=

∠EAC，=

∠ACG，

所以=，

所以AB∥CD（）．

图2.6-12图2.6-13图2.6-14

分析观察图形可以发现，本题的关键是判定直线AE与CF平行，然后关键平行线的性质获得到∠EAC=∠ACG，进而得到∠3=∠4，为证明AB∥CD提供条件。

证明因为∠1=∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），

所以∠EAC=∠ACG（两直线平行，内错角相等），

因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，

所以∠3=

∠EAC，∠4=

∠ACG，

所以∠3=∠4，

所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

说明本题是一道判定与性质的综合问题，其基本思路就是由角的关系得到平行线，再由平行线得到新的角的关系，由此证明新的平行线。

但要注意不能把判定与性质写反了。

【变式1】如图2.6-13，已知∠1=∠2，∠3=80°，则∠4=（　　）

A．80°B．70°C．60°D．50°

解根据∠1=∠2，∠1=∠5，得到：

∠5=∠2，则a∥b，∴∠4=∠3=80°．故选A．

【变式2】如图2.6-14，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（　　）

A．45°B．55°C．65°D．75°

解∵∠1与∠2互补，∴a∥b，∵∠3=∠5，∴∠5=135°，∵a∥b，∴∠4与∠5互补，∴∠4=180°-135°=45°．故选A．

为什么错

1.乱用条件

例5如图2.6-15，直线AB、CD被直线BC所截，且AB//CD，∠ABE=∠DCF，BE与CF平行吗？

说明理由.

错解因为∠ABE=∠DCF，所以BE//CF.

分析错解乱用已知条件，不管所用已知条件是否能推出待证结论，强行搭配，导致说理不通。

观察图形可知∠ABE和∠DCF根本不是内错角，所以不能直接根据∠ABE=∠DCF说明BE//CF.要说明EB//CF，观察图形可知∠EBC和∠BCF是内错角，所以应先说明∠EBC=∠BCF.

正解因为AB//CD，所以∠ABC=∠BCD，

又因为∠ABE=∠DCF，所以∠ABC-∠ABE=∠DCB-∠DCF，

所以∠EBC=∠FCB，所以BE//CF.

2.漏解错误

例6如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（　　）

A．相等B．互余或互补C．互补D．相等或互补

错解选A或C．

分析本题没有给出图形，∠A和∠B的两边分别平行时，∠A和∠B应该有两种位置关系，如图2.6-16，错解A只画出相等的情形，漏掉了互补的情形；错解C则只画出互补的情形，漏掉了相等的情形。

两种错解的结果都是导致漏解。

显然∠A和∠B的关系是相等或互补．

正解选D．

探究平台

例7如图2.6-17，已知AB∥BE，要使∠B=∠D，还需要补充一个什么条件？

请说明理由。

图2.6-17图2.6-18

分析先分析由条件能的到什么？

由AB∥BE，可得到∠B=∠COE、∠B=∠BOD、∠B+∠BOC=180°。

要使∠B=∠D，只需∠D=∠COE或∠D=∠BOD，又∠BOC=∠DOE，所以也可添加条件∠D+∠DOE=180°。

而由BE∥DF，可以得到∠D=∠COE、∠D=∠BOD、∠D+∠DOE=180°，所以也可添加条件BE∥DF。

方法不唯一。

下面选择一种说明理由。

解可补充一个条件为：

BE∥DF。

理由：

因为BE∥DF，所以∠D=∠COE，根据两直线平行，同位角相等。

因为AB∥BE，所以∠B=∠COE，根据两直线平行，同位角相等。

所以∠B=∠D。

说明已知中所给出条件不够，还需要根据结论再补充一个或多个使结论成立的条件，这种类型的题为条件开放性问题.对于条件开放性问题，一般先分析题目有什么条件，它能得到什么，再从结论出发，看需补充什么条件.

【变式】如图2.6-18，AB//CD//EF，且CD是∠ACE的平分线，试为∠1与∠2有什么关系？

说说你的理由.

分析根据AB//CD//EF，可得到与∠1，∠2相等或互补的角，根据CD是∠ACE的平分线，可得到相等的角，把这些角联系起来就可得出∠1，∠2之间的关系.

解因为AB//CD，所以∠1=∠ACD，

因为EF//CD，所以∠2+∠DCE=180°，

又因为CD平分∠ACE，所以∠ACD=∠ECD，

所以∠1+∠2=180°.即∠1与∠2互为补角.

说明当问题中所给的结论不明确时，需要根据已知条件并结合图形进行结论探究，像这样的问题称为结论探索型问题。

本题的解题思路是根据已知条件并结合图形找到与∠1，∠2有关的角，如相等，互补等，通过这些角的桥梁作用，得出∠1，∠2的关系.

【智能分级演练】

知识达标

1.选择题

（1）如图2.6-19，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于（　　）

A．70°B．80°C．90°D．100°

图2.6-19图2.6-20图2.6-21

（2）如图2.6-20，a∥b，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）

A．50°B．120°C．130°D．140°

（3）如图2.6-21，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（　　）

A．30°B．60°C．90°D．120°

（4）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（　　）

A．B．C．D．

（5）如图2.6-22，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，则∠C的度数为（　　）

A．150°B．130°C．120°D．100°

图2.6-22图2.6-23图2.6-24

（6）如图2.6-23，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35°，则∠A的度数为（　　）

A．35°B．45°C．55°D．65°

（7）如图2.6-24，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是（　　）

A．当∠1=∠2时，一定有a∥bB．当a∥b时，一定有∠1=∠2

C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=180°D．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°

（8）如图2.6-25，直线l1∥l2，则∠α为（　　）

A．150°B．140°C．130°D．120°

图2.6-25图2.6-26图2.6-27

（9）如图2.6-26所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2的度数为（　　）

A．20°B．40°C．50°D．60°

（10）如图2.6-27，直线a与直线b互相平行，则|x-y|的值是（　　）

A．20B．80C．120D．180

（11）如图2.6-28，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（　　）

A．32°B．58°C．68°D．60°

图2.6-28图2.6-29图2.6-30

（12）如图2.6-29，顽皮的小聪课间把教师的直角三角板的直角顶点放在黑板的a两条平行线a，b上，已知∠1=55°，则∠2的度数为（　　）

A．35°B．45°C．55°D．125°

（13）如图2.6-30，已知CB∥DF，则下列结论成立的是（　　）

A．∠1=∠2B．∠1=∠3C．∠3=∠2D．∠1+∠2=90°

（14）如图2.6-31，如果AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（　　）

A.∠1+∠2B.∠2-∠1C.180°-∠2+∠1D.180°-∠1+∠2

图2.6-31图2.6-32图2.6-33

（15）如图2.6-32，AB∥CD，∠α=（　　）

A．50°B．80°C．85°D．95°

（16）如图2.6-33，两条直线a，b被直线c，d所截，已知∠1=65°，∠2=115°，若∠3=45°，则∠4的度数为（　　）

A．35°B．45°C．55°D．65°

（17）如图2.6-34，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数是（　　）

A．110°B．115°C．120°D．125°

图2.6-34图2.6-35图2.6-36

（18）如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线（　　）

A．互相垂直B．互相平行C．互相重合D．以上均不正确

（19）如图2.6-35，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共（　　）个．

A．2个B．3个C．4个D．5个

（20）如图2.6-36所示，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（　　）

A．6个B．5个C．4个D．2个

2.填空题

（1）如图2.6-37，直线a、b分别被直线c、b所截，如果∠1=∠2，那么∠3+∠4=度．

图2.6-37图2.6-38图2.6-39

（2）如图2.6-38，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是度．

（3）如图2.6-39，已知AB∥CD，BC∥DE，∠ABC=40°，则∠CDE=度．

（4）如图2.6-40，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．

图2.6-40图2.6-41图2.6-42

（5）如图2.6-41，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度．

（6）如图2.6-42，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=度．

（7）∠1与∠2有一条边共线，另一边互相平行，∠1=60°，则∠2=．

（8）如图2.6-43所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1=度。

图2.6-43图2.6-44

（9）如图2.6-44，AB∥CD，BC∥DE，则∠B与∠D的关系是.

（10）将一直角三角形与两边平行的纸条如图2.6-45所示放置，下列结论①∠1=∠2，②∠3=∠4，③∠2+∠4=90°，④∠4+∠5=180°，其中正确的有（填序号）．

图2.6-45图2.6-46

3.如图2.6-46，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数．

4.如图2.6-47，∠1+∠2=180°，∠3=108°，求∠4的度数．

图2.6-47图2.6-48图2.6-49

5.如图2.6-48所示，∠1=∠2，∠3=118°，求∠4的度数．

6.如图2.6-49，已知：

∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数．

7.如图2.6-50，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？

为什么？

图2.6-50图2.6-51图2.6-52

8.如图2.6-51，已知∠A=∠F，∠C=∠D．试问BD是否与CE平行？

为什么？

9.如图2.6-52，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，那么AE与DF有什么位置关系？

试说明理由．

10.如图2.6-53，∠1=∠2，∠C=∠D．∠A与∠F有怎样的数量关系？

请说明理由．

图2.6-53图2.6-54图2.6-55

11.如图2.6-54，∠1=∠2，∠D=∠A，那么∠B=∠C吗？

为什么？

12.如图2.6-55，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E=∠3．请问：

AD平分∠BAC吗？

若平分，请说明理由．

能力挑战

13.如图2.6-56，a∥b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（　　）

A．180°B．270°C．360°D．540°

图2.6-56图2.6-57图2.6-58

14.如图2.6-57，已知AB∥CD，∠1=30°，∠2=90°，则∠3等于（　　）

A．60°B．50°C．40°D．30°

15.完成下列推理说明：

如图2.6-58，已知AB∥DE，且有∠1=∠2，∠3=∠4，试说明BC∥EF．

∵AB∥DE（已知），

∴∠1=∠3（）.

∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），

∴∠2=（等量代换）。

∴BC∥EF（）

16.如图2.6-59，AB∥DE，∠1=∠2，问AE与DC的位置关系，说明理由．

图2.6-59图2.6-60

17.已知：

如图2.6-60，∠1=∠2，∠C=∠D，试探究∠A=∠F相等吗？

试说明理由．

18.如图2.6-61，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．求∠BCA的度数．

图2.6-61图2.6-62

自主创新

19.如图2.6-62，是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，当横板AB的A端着地时，测得∠OAC=α，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（　　）

A．αB．2αC．90°-αD．90°+α

20.如图2.6-63，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）

图2.6-63

答案与提示

1.

（1）B提示：

∵AB∥DF，∴∠D+∠DEB=180°，∵∠DEB与∠AEC是对顶角，∴∠DEB=100°，∴∠D=180°-∠DEB=80°．

（2）C提示：

∵a∥b，∠1=50°，∴∠2=180°-∠1=180°-50°=130°．

（3）B提示：

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠B=30°，再根据角平分线的概念，得：

∠BDE=∠ADB=30°，再根据两条直线平行，内错角相等得：

∠DEC=∠ADE=60°．

（4）B提示：

A中的∠1与∠2是两平行线形成的同旁内角，只能得到∠1+∠2=180°的结论；B中由“对顶角相等”和“同位角相等”得到∠1=∠2；C、中的两个角不是由两平行线形成的内错角；D中的两个角也不是由两平行线所形成的同旁内角，故无法判断两角的数量关系．

（5）C提示：

∵直线AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∵∠CDB=180°-∠CDE

=30°，∴∠ABD=30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，∵AB∥CD，∴∠C=180°-∠ABC=180°-60°=120°．

（6）C提示：

∵∠ACB=90°，∠BCE=35°，∴∠ACD=180°-90°-35°=55°。

∵AB∥DE，∠A=∠ACD=55°（两直线平行，内错角相等）。

（7）C提示：

如图2.6-64，∵∠2与∠3互为邻补角，∴∠3=180°-∠2，当∠1=∠3，即∠1=180°-∠2时，根据同位角相等，两直线平行，一定有a∥b，故A错误；当a∥b时，根据两直线平行，同位角相等，一定有∠1=∠3，∵∠2与∠3互为邻补角，∴∠3+∠2=180°，即∠1+∠2=180°，故B错误；由B知，C正确；由B知，D错误．

图2.6-64图2.6-65图2.6-66

（8）D提示：

如图2.6-65，∵l1∥l2，∴130°所对应的同旁内角为∠1=180°-130°=50°，又∵α与（70°+50°）的角是对顶角，∴∠α=70°+50°=120°．

（9）C提示：

∵EF平分∠CEG，∴∠CEG=2∠CEF。

又∵AB∥CD，∴∠2=∠CEF=（180°-∠1）÷2=50°．

（10）A提示：

∵直线a与直线b互相平行，∴x=30，∴3y°=180°-30°=150°，得y=50，∴|x-y|=|30-50|=20．

（11）B提示：

根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1=58°．

（12）A提示：

如图2.6-66，∵a∥b，∴∠1=∠3=55°，∵∠A