小数的初步认识知识点三部分知识点.docx
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小数的初步认识知识点三部分知识点
小数的初步认识知识点【三部分知识点】
小数的初步认识知识点【三部分知识点】
解析几何、复数、立体几何
知识点整理-------老刘祝大家周末愉快！
别忘记好好做周末卷哦！
一、直线和圆
1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；
直线方向向量的意义（a=λ（1,k）或λ（0,1）（λ≠0））及其直线方程的向量式
（（x-x0,y-y0）=λa（a为直线的方向向量））.
应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况？
2.知直线纵截距b，常设其方程为y=kx+b或x=0；知直线横截距x0，常设其方程为x=my+x0（直线斜率k存在时，m为k的倒数）或y=0.知直线过点（x0,y0），常设其方程为y=k（x-x0）+y0或x=x0.
注意：
（1）直线方程的几种形式：
点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、点方向式、点法向式．以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？
）★好用的直线系：
与直线l:
Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+C1=0；与直线l:
Ax+By+C=0垂直的直线可表示为Bx-Ay+C1=0；过点P（x0,y0）与直线l:
Ax+By+C=0平行的直线可表示为：
A（x-x0）+B（y-y0）=0；
过点P（x0,y0）与直线l:
Ax+By+C=0垂直的直线可表示为：
B（x-x0）-A（y-y0）=0.
（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；
直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为±1或直线过原点.
（3）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3.相交两直线的夹角：
夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是（0,]，
2夹角公式tanθ=|
k1-k21+k1k2
|=|
A1B2-A2B1A1A2+B1B2
|，
4.
点到直线的距离公式d=.
特别：
l1⊥l2⇔k1k2=-1（k1、k2都存在时）⇔A1A2+B1B2=0；
l1//l2⇔
=kAB=AB
；（k、k都存在时）⇔{{bk≠bAC≠AC
AB=ABk=k
l、l重合⇔{（k、k都存在时）⇔{b=bAC=AC或BC
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
11
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
=B2C1
.
5.圆的方程：
最简方程x2+y2=R2；标准方程（x-a）2+（y-b）2=R2；
一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F0）；参数方程
{
x=Rcosθ
（θ为参数）；
y=Rsinθ
直径式方程（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0.
注意：
（1）
在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是（-,-）,R=22
（2）圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：
x+y=1→x=cosθ,y=sinθ，
x+y=2→x=
2
2
2
2
.
22
θ,y=θ
，
x+y≤1→x=rcosθ,y=rsinθ（0≤r≤1），
x+y≤
2→x=rcosθ,y=rsinθ（0≤r≤
2
2
.
6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质（如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等）的作用!
”
（1）过圆x2+y2=R2上一点P（x0,y0）圆的切线方程是：
xx0+yy0=R2，过圆（x-a）2+（y-b）2=R2上一点P（x0,y0）圆的切线方程是：
（x-a）（x0-a）+（y-a）（y0-a）=R，
2
过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F0）上一点P（x0,y0）圆的切线方程是：
xx0+yy0+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0.
22
如果点P（x0,y0）在圆外，那么上述直线方程表示过点P两切线上两切点的“切点弦”方程.
如果点P（x0,y0）在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于O1P（O1为圆心）的直线方程，|O1P|⋅d=R2（d为圆心O1到直线的距离）.
7.曲线C1:
f（x,y）=0与C2:
g（x,y）=0的交点坐标⇔方程组
{gf（（xx,,yy））==00的解；
过两圆C1:
f（x,y）=0、C2:
g（x,y）=0交点的圆（公共弦）系为f（x,y）+λg（x,y）=0，当且仅当无平方项时，f（x,y）+λg（x,y）=0为两圆公共弦所在直线方程.
二、圆锥曲线
1.椭圆、双曲线、抛物线
2.圆锥曲线的几何性质：
圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、.重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.注意：
等轴双曲线的意义和性质.
3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.特别是：
①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”.
②直线与抛物线（相交不一定交于两点）、双曲线位置关系（相交的四种情况）的特殊性，应谨慎处理.
③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式
（|AB|=|AB|=
|x2-x2|=
|a|
|AB|=y1-y2|=
|a|
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.（共线）
4.要重视常见的寻求曲线方程的方法（待定系数法、定义法、直接法、代入法、参数法、交轨法、向量法等）,以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质（定义法、几何法、代数
法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等），这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.
注意：
①如果问题中涉及到平面向量，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合（如角平分线的双重身份）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
三、复数
1、i的周期性：
i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4nn∈Z）
i
4n
+i
4n+1
+i
4n+2
+i
4n+3
=0（n∈Z）
2、复数的代数形式：
a+bi（a,b∈R），a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。
C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集。
NZQRC.
3、复数相等：
a+bi=c+di⇔a=c且b=d；a+bi=0⇔a=0且b=0
⎧实数（b=0）
⎪
4、复数的分类：
复数Z=a+bi⎨⎧一般虚数（b≠0,a≠0）
⎪虚数（b≠0）⎨
⎩纯虚数（b≠0,a=0）⎩
虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3+i,6+2i也没有大小。
5、复数的模：
若向量OZ表示复数z，则称OZ的模r为复数z的模，
z=|a+bi|=
z1z2
z1z2
；
积或商的模可利用模的性质
（1）z1⋅zn=z1⋅z2⋅⋅zn，
（2）6、复数的几何意义：
=
（z
2
≠0）
7其中x轴叫做实轴，
y实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数z1与z2的和：
z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i.（a,b,c,d∈R）复数z1与z2的差：
z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i.（a,b,c,d∈R）复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义：
复数z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）；OZ=OZ1+OZ
2
=（a，b）+（c，
d）=（a+c，b+d）＝（a+c）+（b+d）i
复数减法的几何意义：
复数z1-z2的差（a－c）+（b－d）iZ2Z1=OZ1-OZ2，两个
复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
=zB－zA.，z=AB=z9.特别地，z-zA为两点间的距离。
BABAB
|z-z1|=|z-z2|z对应的点的轨迹是线段Z1Z2的垂直平分线；|z-z0|=r，z对应的点的
轨迹是一个圆；|z-z1|+|z-z2|=2a（Z1Z2
|z-z1|-|z-z2|=2a（Z1Z22a），z对应的点的轨迹是双曲线。
z1-z2≤z1±z2≤z1+z2
10、显然有公式：
z1+z2
2
+z1-z2
2
=2z1
（
2
+z2
2
）
11、复数的乘除法运算：
复数的乘法：
z1z2=（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i.（a,b,c,d∈R）复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
*
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z,z,z∈C及m,n∈N有:
123mnm+nmnmnnnnzz=z,（z）=z,（zz）=zz.
1212复数的除法：
z1z2
=（a+bi）÷（c+di）=
a+bic+di
=
ac+bdc+d
2
2
+
bc-adc+d
2
2
i（a,b,c,d∈R），分母实
数化是常规方法
12、共轭复数：
若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；
z=a+bi,z=a-bi（a,b∈R），两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称
。
z=|z|=
2
2
z⋅z=a+b∈R,z⋅z=z
1i
22
=z，z1±z2=z1±z2,z1⋅z2=z1⋅z2,
1+i1-i
⎛z1⎫z1
=⎪z⎝2⎭z2
1-i1+i
=-i
22
13、熟记常用算式：
=-i，（1+i）=2i，（1-i）=-2i，
=i，
14、复数的代数式运算技巧：
1+i
2
2
（1）①
（1+i）=2i
②
（1-i）=-2i
③1-i
=i
1-i
④1+i
=-i
ω=-
（2）“1”的立方根
12
±
32
i
的性质：
ω+
1=-1
1=ω
①ω=1②ω
32
=ω③1+ω+ω
2
=0④
ω
⑤ω
15、实系数一元二次方程的根问题：
（1）当∆=b2-4ac≥0时，方程有两个实根x1,x2。
（2）当∆=b2-4ac
此时有x1
2
2
=x2=x1x2=
ca
且x1,2=
-b±
2a
-∆i
。
注意两种题型：
（1）x1-x2
（2）x1+x2
四、直线、平面、简单多面体（后面的一并给你）
1.计算异面直线所成角
2.计算直线与平面所成的角3.计算二面角的大小主要有：
定义法（先作其平面角后计算大小）、公式法（cosθ=
S影S原
）、
向量法（两平面法向量的夹角）、
等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：
定义法（取点、作垂、构角）、三垂线法（两垂一连，关键是第一垂（过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线））、垂面法.
4.计算距离的主要有：
定义法（先作垂线段后计算）、等积法、转换法（平行换点、换面）等.
5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是：
线线关系
线面关系
面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系（三垂线定理
及其逆定理）的桥梁作用.注意：
书写证明过程需规范.
特别声明：
①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.
②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化（构造）为特殊几何体（如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等）中问题，并获得去解决.③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.
6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.
如长方体中：
对
角线长l=
，棱长总和为4（a+b+c），全（表）面积为
2
2
2
2
2（ab+bc+ca），（结合（a+b+c）=a+b+c+2ab+2bc+2ca可得关于他们的等量
关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式），cos2α+cos2β+cos2γ=2
（1）；如三棱锥中：
侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）⇔顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直（两对对棱垂直）⇔顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等（侧面与底面所成相等）且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.
如正四面体和正方体中：
arccos
7.求几何体体积的常规方法是：
公式法、割补法、等积（转换）法、比例（性质转换）法等.注意：
补形：
三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体分割：
三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是.
8.多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．
正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．关于多面体的概念间有如下关系：
⊃⊃⊃
{多面体}≠{简单多面体}≠{凸多面体}≠{正多面体}；
⊃⊃⊃⊃{凸多面体}≠{棱柱}≠{直棱柱}≠{正棱柱}≠{正方体}；
⊃⊃{凸多面体}≠{棱锥}≠{正棱锥}≠{正四面体}．
⊃
欧拉公式（V＋F一E＝2）是简单多面体的重要性质，在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”．“简单多面体各面的内角总和是（V-2）×3600”.
过一个顶点有n条棱，每个面是m边形的一般方法是什么？
看看-----很有趣！
如果让你画，你能画出来吗？
？
？
10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长（半径）的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：
“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.
球体积公式V=
43
πR，球表面积公式S=4πR，是两个关于球的几何度量公式．它们
32
都是球半径及的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质（尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系）.
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