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微积分习题库

习题1—2

1．确定下列函数的定义域：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»

2．求函数

«SkipRecordIf...»

的定义域和值域。

3．下列各题中，函数«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»是否相同？

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»；（4）«SkipRecordIf...»。

4．设«SkipRecordIf...»证明：

«SkipRecordIf...»

5．设«SkipRecordIf...»且«SkipRecordIf...»，试确定«SkipRecordIf...»的值。

6．下列函数中哪些是偶函数？

哪些是奇函数？

哪些是既非奇函数又非偶函数？

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»（6）«SkipRecordIf...»。

7．设«SkipRecordIf...»为定义在«SkipRecordIf...»上的任意函数，证明：

（1）«SkipRecordIf...»偶函数；

（2）«SkipRecordIf...»为奇函数。

8．证明：

定义在«SkipRecordIf...»上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。

9．设«SkipRecordIf...»定义在«SkipRecordIf...»上的奇函数，若«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上单增，证明：

«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上也单增。

10．下列各函数中哪些是周期函数？

对于周期函数，指出其周期：

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»（6）«SkipRecordIf...»。

11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？

把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»（5）«SkipRecordIf...»（6）«SkipRecordIf...»。

12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»（4）«SkipRecordIf...»。

13．求下列函数的反函数：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»。

习题1—3

1．利用数列极限定义证明：

如果«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，并举例说明反之不然。

习题1—4

1．设«SkipRecordIf...»

（1）作函数«SkipRecordIf...»的图形；

（2）根据图形求极限«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»；

（3）当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»有极限吗？

2．求下列函数极限：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»。

3．下列极限是否存在？

为什么？

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»。

习题1—5

求下列极限

1．«SkipRecordIf...»；2.«SkipRecordIf...»；3.«SkipRecordIf...»；

4．«SkipRecordIf...»；5.«SkipRecordIf...»；6.«SkipRecordIf...»。

习题1—6

1．求下列极限：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»；

（7）«SkipRecordIf...»；（8）«SkipRecordIf...»；（9）«SkipRecordIf...»；

（10）«SkipRecordIf...»；（11）«SkipRecordIf...»；（12）«SkipRecordIf...»。

2．利用极限存在准则证明：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）数列«SkipRecordIf...»，…的极限存在；

（3）«SkipRecordIf...»。

习题1—7

1．当«SkipRecordIf...»无限增加时，下列整标函数哪些是无穷小？

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；（4）«SkipRecordIf...»。

2．已知函数

«SkipRecordIf...»

（1）当«SkipRecordIf...»时，上述各函数中哪些是无穷小？

哪些是无穷大？

（2）当«SkipRecordIf...»时，上述各函数中哪些是无穷小？

哪些是无穷大？

（3）“«SkipRecordIf...»是无穷小”，这种说法确切吗？

3．函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»是是否有界？

又当«SkipRecordIf...»地，这个函数是否为无穷大？

为什么？

4．求下列极限

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；«SkipRecordIf...»

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»；

5．求下列极限：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；；；；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»。

6．下列各题的做法是否正确？

为什么？

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»

（3）«SkipRecordIf...»。

7．证明：

当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»。

8．利用等价无穷小的性质，求下极限：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»为正整数）；（4）«SkipRecordIf...»。

9．当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»是多少阶无穷小？

10．当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»是多少阶无穷小？

11．当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»是多少阶无穷小？

习题1—8

1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»；（4）«SkipRecordIf...»。

2．指出下列函数的间断点，说明这些间断点属于哪一类？

如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»。

3．«SkipRecordIf...»为何值时函数«SkipRecordIf...»在[0，2]上连续？

4．讨论函数«SkipRecordIf...»的连续性，若有间断点，判断共类型。

习题1—9

1．设«SkipRecordIf...»连续，证明«SkipRecordIf...»也是连续的。

2．若«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，且在«SkipRecordIf...»上«SkipRecordIf...»恒为正，证明：

«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上迹连续。

3．求下列极限：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»；

（7）«SkipRecordIf...»；（8）«SkipRecordIf...»；（9）«SkipRecordIf...»；

（10）«SkipRecordIf...»；（11）«SkipRecordIf...»

（12）«SkipRecordIf...»。

习题1—10

1．证明：

方程«SkipRecordIf...»在区间（1，2）上至少有一个根。

2．设«SkipRecordIf...»在闭区间[a，b]上连续，«SkipRecordIf...»是[a，b]内的«SkipRecordIf...»个点，证明：

«SkipRecordIf...»，使得

«SkipRecordIf...»

习题2—1

1．用导数定义求下列函数的导数：

（1）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»是常数）；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»。

2．下列各题中假定«SkipRecordIf...»存在，按照导数定义观察下列极限，指出«SkipRecordIf...»表示什么？

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»，其中，«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»。

3．利用幂函数求导数公式，求下列函数的导数：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»；（4）«SkipRecordIf...»。

4．已知函数«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

5．已知函数«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

6．自由落体运动«SkipRecordIf...»（g=9.8米/秒2）。

（1）求在从«SkipRecordIf...»秒到（«SkipRecordIf...»）秒时间区间内运动的平均速度，设«SkipRecordIf...»秒，«SkipRecordIf...»秒，0.001秒；

（2）求落体在5秒末的瞬时速度；

（3）求落体在任意时刻«SkipRecordIf...»的瞬时速度。

7．函数在某点没有导数，函数所表示的曲线在该点是不是就没有切线？

举例说明。

8．设函数«SkipRecordIf...»为了使函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处连续可导，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»应取什么值？

9．求曲线«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»处的切线斜率。

10．求曲线«SkipRecordIf...»上取横坐标为«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»的两点，作过这两点的割线。

问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

12．证明函数数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处连续，但不可导。

13．函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»处的导数是否存在，为什么？

14．讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性：

（1）«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处；

（2）«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处；

（3）«SkipRecordIf...»在点«SkipRecordIf...»处。

习题2—2

1．求下列函数的导数：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»；

（7）«SkipRecordIf...»；（8）«SkipRecordIf...»；（9）«SkipRecordIf...»。

2．求下列函数在指定点处的导数：

（1）«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

3．求下列函数的导数（其中«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»是自变量，«SkipRecordIf...»是大于零的常数）：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»；

（7）«SkipRecordIf...»；（8）«SkipRecordIf...»；（9）«SkipRecordIf...»；

（10）«SkipRecordIf...»；（11）«SkipRecordIf...»；（12）«SkipRecordIf...»；

（13）«SkipRecordIf...»；（14）«SkipRecordIf...»；（15）«SkipRecordIf...»；

（16）«SkipRecordIf...»；（17）«SkipRecordIf...»（18）«SkipRecordIf...»；

（19）«SkipRecordIf...»；（20）«SkipRecordIf...»；（21）«SkipRecordIf...»；

（22）«SkipRecordIf...»；（23）«SkipRecordIf...»；（24）«SkipRecordIf...»；

（25）«SkipRecordIf...»（26）«SkipRecordIf...»；（27）«SkipRecordIf...»；

（28）«SkipRecordIf...»；（29）«SkipRecordIf...»；（30）«SkipRecordIf...»；

（31）«SkipRecordIf...»；（32）«SkipRecordIf...»；（33）«SkipRecordIf...»；

（34）«SkipRecordIf...»；（35）«SkipRecordIf...»；（36）«SkipRecordIf...»；

（37）«SkipRecordIf...»；（38）«SkipRecordIf...»（39）«SkipRecordIf...»。

4．求与曲线«SkipRecordIf...»相切且通过点（1，2）的直线方程。

5．求曲线«SkipRecordIf...»的平行于直线«SkipRecordIf...»的法线方程。

6．抛物线«SkipRecordIf...»上哪一点的切线与直线«SkipRecordIf...»交成45°角。

7．求过曲线«SkipRecordIf...»上横坐标«SkipRecordIf...»的点处的法线方程，并求从原点到该法线的距离。

8．设«SkipRecordIf...»对«SkipRecordIf...»可导，求«SkipRecordIf...»：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；

（3）«SkipRecordIf...»（4）«SkipRecordIf...»。

习题2—3

1．求下列函数的二阶导数：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»；

（7）«SkipRecordIf...»；（8）«SkipRecordIf...»；（9）«SkipRecordIf...»。

2．验证函数«SkipRecordIf...»是常数）满足关系式«SkipRecordIf...»。

3．验证函数«SkipRecordIf...»满足关系式«SkipRecordIf...»。

4．求下列函数的高阶导数：

（1）«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

5．若«SkipRecordIf...»存在，求下列函数«SkipRecordIf...»的二阶导数«SkipRecordIf...»：

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»。

6．试从«SkipRecordIf...»导出«SkipRecordIf...»。

习题2—4

1．求下列方程所确定的隐函数«SkipRecordIf...»的导数«SkipRecordIf...»：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»。

2．利用对数求导法求下列函数的导数：

（1）«SkipRecordIf...»；

（2）«SkipRecordIf...»；（3）«SkipRecordIf...»；

（4）«SkipRecordIf...»；（5）«SkipRecordIf...»；（6）«SkipRecordIf...»。

3．求圆«SkipRecordIf...»过点（2，1）的切线方程。

4．设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

5．设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

6．已知«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

7．已知星形线«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

8．已知摆线«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»。

9．求下列曲线在给定点处的切线和法线方程：

（1）«SkipRecordIf...»，在«SkipRecordIf...»处；

（2）«SkipRecordIf...»，在«SkipRecordIf...»处。

10．已知质点运动方程为«SkipRecordIf...»

（1）求质点出发时所在的位置；

（2）«SkipRecordIf...»秒时的水平与铅直方向的速度；

（3）求水平方向加速度与铅直方向加速度。

11．验证参量方程«SkipRecordIf...»，

所确定的函数«SkipRecordIf...»满足关系式

«SkipRecordIf...»。

12．一架直升机离开地面时，距离一观察者120米，它以40米/秒的速度垂直上飞，求起飞后15秒时，飞机飞离观察者的速度？

13．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升的速度为多少？

14．有一长为5米的梯子，靠在墙上，若它的下端沿地板以3米/秒的速度离开墙脚滑动，问：

（1）当其下端离开墙脚多少米，梯子的上、下端滑动的速率相同？