立体几何与直线平行与垂直.docx

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立体几何与直线平行与垂直

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．

求证：

CF⊥平面EAB．

11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．

求证：

（1）CD⊥PD；

（2）EF⊥平面PCD．

能力提升

12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．

13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：

（1）AQ⊥平面SBC；

（2）PQ⊥SC．

1．运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直⇔线面垂直”．

2．直线和平面垂直的判定方法

（1）利用线面垂直的定义．

（2）利用线面垂直的判定定理．

（3）利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；

②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．

3．线线垂直的判定方法

（1）异面直线所成的角是90°．

（2）线面垂直，则线线垂直．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．

求证：

（1）MN∥AD1；

（2）M是AB的中点．

11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：

GG′⊥α．

能力提升

12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，

求证：

平面DMN∥平面ABC．

13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．

（1）求证：

MN⊥平面A1BC；

（2）求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．

1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．

2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题．

10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．

求证：

平面BEF⊥平面BGD．

11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝

．

（1）证明：

平面PBE⊥平面PAB；

（2）求二面角A—BE—P的大小．

能力提升

12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．

求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．

13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．

（1）求证：

BC⊥平面PAC．

（2）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？

并说明理由．

1．证明两个平面垂直的主要途径

（1）利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．

（2）面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：

先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．

3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．

三、解答题

10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．

求证：

BC⊥AB．

11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD边的中点，求证：

BG⊥平面PAD；

（2）求证：

AD⊥PB．

能力提升

12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝

a，E为PA的中点．求证：

平面EDB⊥平面ABCD．

13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4

．

（1）设M是PC上的一点，

求证：

平面MBD⊥平面PAD；

（2）求四棱锥P—ABCD的体积．

1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理，应用时应注意：

（1）两平面垂直；

（2）直线必须在一个平面内；

（3）直线垂直于交线．

2．此定理另一应用：

由一点向一个平面引垂线，确定垂足位置是求几何体高的依据．

3.1.1　倾斜角与斜率

【课时目标】　1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．

1．倾斜角与斜率的概念

定义

表示或记法

倾

斜

角

当直线l与x轴________时，我们取________作为基准，x轴________与直线l________________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°

α

斜率

直线l的倾斜角α（α≠90°）的____________

k＝tanα

2．倾斜角与斜率的对应关系

图示

倾斜角

（范围）

α＝0°

0°<α<90°

α＝____

90°<α<180°

斜率

（范围）

0

大于0

斜率不

存在

小于0

一、选择题

1．对于下列命题

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

2．斜率为2的直线经过点A（3,5）、B（a,7）、C（－1，b）三点，则a、b的值为（　　）

A．a＝4，b＝0B．a＝－4，b＝－3

C．a＝4，b＝－3D．a＝－4，b＝3

3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为（　　）

A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°

4．直线l过原点（0,0），且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是（　　）

A．[0°，90°]B．[90°，180°）

C．[90°，180°）或α＝0°D．[90°，135°]

5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（　　）

A．k1

C．k3

6．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是（　　）

A．mn>0B．mn<0

C．m>0，n<0D．m<0，n<0

二、填空题

7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为____________，斜率为____________．

8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线的斜率之和为________．

9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是________________________．

三、解答题

10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．

11．一条光线从点A（－1,3）射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B（3,1），求P点的坐标．

能力提升

12．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求

的最大值和最小值．

13．已知函数f（x）＝log2（x＋1），a>b>c>0，则

，

，

的大小关系是________________．

1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．

2．三点共线问题：

（1）已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；

（2）三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线．

3．斜率公式的几何意义：

在解题过程中，要注意开发“数形”的转化功能，直线的倾斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问题更直观形象，会起到意想不到的效果．

两条直线平行与垂直的判定

【课时目标】　1．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系．

1．两条直线平行与斜率的关系

（1）对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2⇔________．

（2）如果直线l1、l2的斜率都不存在，并且l1与l2不重合，那么它们都与________垂直，故l1________l2．

2．两条直线垂直与斜率的关系

（1）如果直线l1、l2的斜率都存在，并且分别为k1、k2，那么l1⊥l2⇔__________．

（2）如果两条直线l1、l2中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l1与l2的位置关系是________．

一、选择题

1．有以下几种说法：

（l1、l2不重合）

①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；

②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；

③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；

④只有斜率相等的两条直线才一定平行．

以上说法中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．0

2．以A（－1,1）、B（2，－1）、C（1,4）为顶点的三角形是（　　）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．以A点为直角顶点的直角三角形

D．以B点为直角顶点的直角三角形

3．已知A（1,2），B（m,1），直线AB与直线y＝0垂直，则m的值（　　）

A．2B．1C．0D．－1

4．已知A（m,3），B（2m，m＋4），C（m＋1,2），D（1,0），且直线AB与直线CD平行，则m的值为（　　）

A．1B．0C．0或2D．0或1

5．若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则有（　　）

A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°

C．|α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°

6．顺次连接A（－4,3），B（2,5），C（6,3），D（－3,0）所构成的图形是（　　）

A．平行四边形B．直角梯形

C．等腰梯形D．以上都不对

二、填空题

7．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．

8．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________．

9．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A（1，

），B（－2，－2

），则直线l1，l2的位置关系是____________．

三、解答题

10．已知△ABC三个顶点坐标分别为A（－2，－4），B（6,6），C（0，6），求此三角形三边的高所在直线的斜率．

11．已知△ABC的顶点坐标为A（5，－1），B（1,1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，试求m的值．

能力提升

12．已知△ABC的顶点B（2,1），C（－6,3），其垂心为H（－3,2），则其顶点A的坐标为________．

13．已知四边形ABCD的顶点A（m，n），B（5，－1），C（4,2），D（2,2），求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．

判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：

一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．