高等数学第一章总结.docx
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高等数学第一章总结
高等数学
多元函数微分法
及其应用学习总结
一．知识结构图
多元函数微分学：
●基本概念（区域.定义.极限.连续）
●偏导数（定义.计算.高阶偏导数）
●全微分（定义.计算.必要条件.充分条件）
●多元复合函数导数（链式法则.全导数）
●隐函数求导法则（一个方程.方程组）
●多元函数微分学的几何应用（曲线以及曲面的切线和法平面）
●方向导数及其梯度
●多元函数最值及其求法
二．内容提要
1）二次极限定义：
设f（x，y）的区域D内有定义，
（
）是D的聚点，若
>0，
，当点P（x,y）满足
|
|<
时，总有
成立，则称函数
当（x，y）趋向
时以A为极限，记作
或
.
2）二元函数连续性定义
设函数
在点
的某个邻域
内有定义，若
，则称二元函数
在点
处连续，点
称为
的连续点。
设函数
在点
的某个邻域
内有定义，分别给自变量x,y在
处以增量△X,△y,得到全增量△Z=
。
如果极限
则称
在
处连续。
3）偏函数几何意义
如果函数
的偏导数
为曲面
与平面
的交线在点
处关于x轴的斜率；
为曲面
与平面
的交线在点
处关于y轴的斜率。
4）偏导函数
如果函数
在区域D内任一点都存在偏导数，则称函数
在D内可导，这个新的函数关系式称为
的偏导函数，记作
或
。
5）偏导数计算
a.求
时，只要把
中的y固定（看作常数），仅对x求导；求
时只要把
中的x固定（看作常数），仅对y求导。
b.
是一元函数
在
处的导数，
是一元函数在
的导数，所以偏导数实际仍是一元函数的求导问题。
6）高阶偏导数
定义：
设函数
在区域D内有偏导数
，如果在D内
，
仍可导，则称他们是偏导数
的二阶偏导数，分别是
其中
，
称为
的二阶混合偏导数。
以此类推，可以定义三阶和三阶以上的偏导数。
7）微分定义
8）可微的必要条件
若函数
在（x，y）处可微分，则
在点（x，y）处必可导，且全微分
9）可微的充分条件
若函数
在（x，y）处的偏导数存在且连续，则
在点（x，y）处必可微。
10）方向导数和梯度
若函数
在点
的某个领域内有定义，自点
引射线L，设x轴正向到射线L的转角为α，y轴正向到射线L的转角为β。
该邻域中的另一点
在L上，当
沿L趋向于
时，极限
存在，则称此函数极限值为函数
在点
处沿L的方向导数，记作
，即
=
。
若函数
在点
可微分，则
=
cosα+
cosβ。
设函数
在点
可微分，则称向量
为
在
处的梯度，记作grad
，即
grad
=
=
梯度的方向是函数
在点
处方向导数取得最大值的方向，梯度的模
即为方向导数的最大值。
11）多元函数求导法则
设
，
在点（x，y）处可导，而函数
在相应的（u，v）
处可微，则复合函数
在点（x，y）处可导，且偏导数为
设
在点t处可导，而函数
在相应的（u，v）处可微，
则复合函数
在点t处可导，且全导数为
12）隐函数求导
1.设
函数在
的某邻域内有一个连续的偏导数，且
，
则方程
=0在
的某个邻域内恒定能确定一个单值连续且具
有连续导数的一元函数
，并且
.
2.设函数在
在
的某个邻域内有连续的偏导数，且
=0，
0，则方程
=0在
的某个领域内恒能确定
一个单只连续且具有连续偏导数的函数
，满足条件
，
并有
，
。
13）空间曲线方程切线及其法平面
设空间曲线参数方程为
，其中
都是可微函数，
且
在曲线
上，对应
，则曲线
在点
的切线向量为
切线方程为：
法平面方程：
三．典型例题
1）判断
是否存在.
分析：
选择直线
，是的极限和k值有关，从而说明极限不存在，
这是判断二重极限是否存在的一个常用方法。
解：
当
沿直线y=x趋向于0时，
=
当（x，y）沿直线y=2x趋向于0时，
因为沿不同路径趋向于0时，函数极限不等，所以原式极限不存在。
2.已知
，试求
.
解：
3.设
解：
4.设
，求dz.
解：
5.设
求
.
解：
方法一：
设
当
时，
在对x求一次导得：
方法二:
对方程直接求导：
再次对两边求导得：
6.求曲线
在点（1,1,1）所对应的的切线及其法平面方程.
解：
因为
，点（1,1,1）所对应的参数
于是切线方程为：
，
法线方程为：
即：
8.求曲线
在点（1,-2,1）处的切线和法平面方程
解：
将方程两边对x求导并移项，得
由此得：
从而
故切线方程为：
即
9求函数
，当
时的全微分。
解
11求曲面
解：
设
的方向是等值面
即2x+4y+z=14
曲面在
处的法线方程是
12求曲线
在对应于
处的切线以及法平面的方程。
13.求函数
。
14..求函数
的极值.
解：
先解方程组
求得驻点为（1,0）（1,2）（-3,0）（-3,2）
再求出二阶偏导
在点（1,0）处，
F（1,0）=-5;
16.要造一个容积等于定数的长方形无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使他表面积最小。
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