写结论,并说明理由。
（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?
写出结论,可不说明理由。
3.直线CD经过BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且
BECCFA．
（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若BCA90o,90o，则EFBEAF（填“”，“”或
“”号）；
②如图2，若0oBCA180o，若使①中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关
系是；
（2）如图3，若直线CD经过BCA的外部，线段的数量关系，并给予证明．
BCA，请探究EF、与BE、AF三条
B
E
FD
B
B
F
E
A
E
D
C
C
F
CA
图1
AD
图2图3
.
考点2：
利用角相等证明垂直
1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
QA
F
DE
P
BC
2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作
BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：
CD=BF；
（2）求证：
AD⊥CF；
（3）连接AF，试判断△ACF的形状.
拓展巩固：
如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，
过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
C
FD
AB
E
图9
（提示：
对比此题的条件和上面那题的条件，
对比此题的图形和上题的图像，
有什么区别和
联系？
）
.
3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE
和GC.你认为
（1）中的结论是否还成立？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
4.如图1，
ABC的边BC在直线l上，AC
BC,且AC
BC,EFP的边FP也
在直线l上，边EF与边AC重合，且EF
FP
（1）
在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出
AB与AP所满足的
数量关系和位置关系；
（2）
将EFP沿直线l向左平移到图
2的位置时，EP交AC于点Q,连接
AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将
EFP沿直线l向左平移到图
3的位置时，EP的延长线交AC的延长
线于点Q,连结AP,BQ,你认为
（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置
关系还成立吗？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由
.
A
（E）
E
A
Q
B
C
（F）
P
l
BFC
Pl
（1）
（2）
E
A
l
FPBC
（3）
Q
.
三、等腰三角形（中考重难点之一）
考点1：
等腰三角形性质的应用
1.如图，ABC中，ABAC，BAC
90，D是BC中点，ED
FD，ED与AB交于
E，FD与AC交于F．求证：
BE
AF，AECF．
A
F
E
B
D
C
o
o
2.两个全等的含30
，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E,A,C三点在
一条直线上，连结
BD，取BD的中点M，连结ME,MC．试判断
EMC的形状，并说
明理由．
MB
D
EC
A
压轴题拓展：
（三线合一性质的应用）已知RtABC中，AC的中点，EDF90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交
于E、F．
当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证SDEF
BC，
C90，D为AB边
AC、CB（或它们的延长线）
SCEF
1
SABC．当EDF绕
2
D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立
?
若成立，
请给予证明；若不成立，
SDEF
，SCEF
，SABC
又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不
需证明．
A
A
A
D
D
E
D
E
C
BF
C
F
B
C
FB
E
图1
图2
图3
提示：
此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。
.
3.已知：
如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
（1）BF=AC
（2）CE=1BF
2
（3）CE与BC的大小关系如何。
考点2：
等腰直角三角形（45度的联想）
1.如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边
经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.
⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是
③请证明你的上述两猜想.
⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点
；
；
N,
使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
.
2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：
DG=DC
②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，
（1）中的其他条件不变，借
助图2画出图形。
在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在
（1）中得出的结论是否
发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）
B
B
H
G
G
F
A
D
E
CA
D
C
E
图1
图2
同类变式：
（期末考试原题哦）
已知：
△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角
三角尺的一条直角边经过点
A，且60o角的顶点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），
斜边与∠ACM的平分线CF交于点F
（1）如图
（1）当点E在BC边得中点位置时
○
猜想AE与EF满足的数量关系是
.
1
○
连结点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是
.
2
○3请证明你的上述猜想；
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和
EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？
AA
F
N
F
BCMBECM图
（2）
图
（1）
.
四、角平分线问题
1.如图：
E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD＝x,
BC＝y，且x,y满足x2
y2
6x8y250
（1）求AD和BC的长；
（2）你认为AD和BC还有什么关系？
并验证你的结论；
（3）你能求出AB的长度吗？
若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.
E
C
D
A
B
2.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以
OP所在直线为对称轴的全等
三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA
的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出
FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，你
在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
B
M
B
E
E
D
P
F
D
F
O
A
C
A
C
图①
N
图②
图③
（第23题图）
3.（北京市中考模拟题）如图，在四边形
ABCD中，AC平分
BAD，过C作CE
AB于E，
并且AE
1（ABAD），则
ABC
ADC等于多少？
2
D
C
A
E
B
4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
b
，求AE、BE的长.
A
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=a，AC=
E
G
BC
F
D
.
五、中点问题
1.在△ABC中,D为BC的中点，
BG于点G。
DEGF,并交AB
过D点的直线
于点E.连结
GF交AC于
EG.
F
交AC的平行线
（1）求证:
BGCF；
（2）请猜想BECF与EF的大小关系,并加以证明
2.
AB
如右下图，在
2DE．
ABC
中，若
B2C，
AD
BC
，E为
BC
边的中点．求证：
A
BDEC
3.已知ABC中，AB
的中线．求证CD
AC，BD为AB的延长线，且
2CE（提示：
倍长中线试试）
BD
AB，CE
为
ABC
的
AB边上
C
AEBD
附加思考题：
（此题有很好地思维训练价值，
值得深入思考探究）
以ABC的两边
AB、AC
为腰分别向外作等腰
RtABD和等腰RtACE，
BAD
CAE
90.连接
DE，
M
、
N分
别是
BC
、DE的中点．探究：
AM
与DE的位置关系及数量关系．
⑴如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是
数量关系是；
⑵将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（0
；线段AM与DE的
90）后，如图②所示，⑴问
中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
D
N
D
N
E
A
E
A
B
M
C
BMC
图①
图②
.
1．判断与说理
（1）如图11－1，△ADE中，AE=AD且∠AED=∠ADE，∠EAD=90°，EC、DB分别平分∠AED、
∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；
（2）△ADE的位置保持不变，将△ABC绕点A逆时针旋转至图11－2的位置，AD、BE相交
于O，请你判断线段BE与CD的关系，并说明理由．
C
AAB
BCO
E
D
E
D
图11－1
图11－2
2．某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：
①如图12-1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN.
②如图12-2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN.
学习小组成员根据上述两个命题运用类比．．的思想又提出了如下的命题：
③如图12-3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN.
（友情提示：
正多边形的各边相等且各内角也相等）
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个说明理由；
．．
（2）请你继续完成下面的探索：
图12－1图12－2
图12－3图12－4
①如图12-4，在正n边形（n≥6）中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交
于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？
（不要求证明）
②如图12-5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交
于点O，当∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否还成立？
若成立，请给予证明；若不
成立，请说明理由.
图12
－5
解：
（1）我选
.（仅填写①、②、③中的一个）
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