中考数学专题复习18等腰三角形.docx
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中考数学专题复习18等腰三角形
2017年中考数学专题练习18《等腰三角形》
【知识归纳】
一、等腰三角形
1．等腰三角形的定义：
的三角形是等腰三角形．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形两底角；
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：
；
（3）等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴．
3.等腰三角形的判定方法
（1）定义判定：
一个三角形中，如果有两条边，那么这个三角形是等腰三角形．
（2）判定定理：
等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边．
4.等边三角形的性质
等边三角形的各角都相等，并且每—个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．
5.等边三角形的判定
（1）三边都的三角形是等边三角形；
（2）三个角都的三角形是等边三角形；
（3）有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.
【基础检测】
1．（2013德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）
A、680B、320C、220D、160
2．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（ ）
A．70° B．55° C．50° D．40°
3．（2015湖北荆门，14，3分）若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______．
4．（2013湖北荆门，19，9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：
BE＝CE；
（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．
求证：
△AEF≌△BCF．
A
B
C
D
E
F
（第19题图2）
5．（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：
OA=1：
，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105°．
6．（2016•莆田）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OBB．OC=ODC．∠OPC=∠OPDD．PC=PD
7.（2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．
8.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：
BE=CD，BE⊥CD．
【达标检测】
一．选择题
1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50°B．100°C．120°D．130°
2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）
A．36°B．54°C．18°D．64°
3.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
4.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2016·湖北荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7B．10C．11D．10或11
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是
A．5B．10C．12D．13
7.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）
A．120°B．90°C．60°D．30°
8.已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）
A.21B.20C.19D.18
9.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）
A．8B．10C．3πD．5π
二．填空题
10．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）有一面积为5
的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 ．
11．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行 海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．
12．（2016·湖北荆门·3分）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=
图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是 ．
13.如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：
①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）
14.（2016·福建龙岩·3分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．
三．解答题
15.（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：
BD=AE．
16.如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：
以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于
GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．
（1）求证：
AB=AE；
（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．
17．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：
AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：
AE=2
CM+
BN．
18.（2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图
（1）、图
（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4
时，a= 4
，b= 4
；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=
，b=
；
【归纳证明】
（2）请你观察
（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3
，AB=3，求AF的长．
【知识归纳答案】
一、等腰三角形
1．有两条边相等
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形两底角相等；
（2）三线合一；
（3）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴．
3.等腰三角形的判定方法
（1）定义判定：
一个三角形中，如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形．
（2）判定定理：
等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等．
4.等边三角形的性质
60°；3．
5.等边三角形的判定
（1）三边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
【基础检测答案】
1．（2013德州，4，3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=740,，则∠B的度数为（）
A、680B、320C、220D、160
【答案】B.
【解析】在△CDE中，∵CD=CE，∴∠D=∠DEF=74°,∴∠C=180°-2×74°=32°.
∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°.
【方法指导】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、三角形内角和.本题把平行线、三角形内角和、等腰三角形基础知识进行简单组合进行考查.注意“等边对等角”前提是在同一个三角形中，也就是是等腰三角形的重要性质.
2．（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（ ）
A．70° B．55° C．50° D．40°
【答案】：
D．
【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°，再根据三角形内角和定理得∠A=180°-∠C-∠B=180°-70°-70°=40°.故选D.
【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：
等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：
三角形内角和为180°.
3．（2013湖北荆门，14，3分）若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______．
【答案】50°或80°．
【解析】
（1）若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；
（2）若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°．
【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论．
4．（2013湖北荆门，19，9分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：
BE＝CE；
（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．
求证：
△AEF≌△BCF．
A
B
C
D
E
F
（第19题图2）
【思路分析】
（1）证△ABE≌△ACE即可．
（2）△AEF和△BCF已具备两组角对应相等，因此只需证有一组对应边相等．由∠BAC＝45°可知ABF为等腰直角三角形，于是找到对应边AF，BF相等．
【解】证明：
（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，
∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
△ABE≌△ACE．
∴BE＝CE．
（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．
由
（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．
在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，
∴△AEF≌△BCF．
【方法指导】证三角形全等，关键是证角相等或边相等．全等三角形的判定方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS和HL（HL为直角三角形专用）．等腰三角形的三线合一性在三角形全等的证明中有较广泛的应用.
5．（2015，广西玉林，17，3分）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点O分斜边AB为BO：
OA=1：
，将△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则∠AQC= 105° ．
考点：
旋转的性质；等腰直角三角形．
专题：
计算题．
分析：
连接OQ，由旋转的性质可知：
△AQC≌△BOC，从而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根据特殊直角三角形边的关系，分别求出∠AQO与∠OQC的值，可求出结果．
解答：
解：
连接OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠A=45°，
由旋转的性质可知：
△AQC≌△BOC，
∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，
∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠OQC=45°，
∵BO：
OA=1：
，
设BO=1，OA=
，
∴AQ=
，
∴∠AQO=60°，
∴∠AGC=105°．
点评：
本题主要考查了图形旋转的性质，特殊角直角三角形的边角关系，掌握图形旋转的性质，熟记特殊直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
6．（2016•莆田）如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OBB．OC=ODC．∠OPC=∠OPDD．PC=PD
【分析】要得到△POC≌△POD，现有的条件为有一对角相等，一条公共边，缺少角，或着是边，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．于是答案可得．
【解答】解：
∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=∠BOP，
∵OP=OP，
∴根据‘HL’需添加PC⊥OA，PD⊥OB，
根据‘SAS’需添加OC=OD，
根据‘AAS’需添加∠OPC=∠OPD，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
7.（2015•河北,第20题3分）如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．
考点：
等腰三角形的性质．
分析：
根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解答：
解：
由题意可知：
AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
故答案为：
9．
点评：
考查了等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
8.（2015•山东莱芜,第21题9分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：
BE=CD，BE⊥CD．
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．.
专题：
证明题．
分析：
（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．
解答：
（1）解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB=
BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴BD=
=BC
=2BC，
∵G为BD的中点，
∴BG=BD=BC，
∴△CBG为等腰直角三角形，
∴∠CGB=45°，
∵∠ADB=45°，
AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45°
∴∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）证明：
∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴CE=AB=AD，
在△BCE与△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD，
∴∠CBE=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CBE+∠BCD=90°，
∴∠CFB=90°，
即BE⊥CD．
点评：
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．
【达标检测答案】
一．选择题
1．（2016·湖北黄石·3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50°B．100°C．120°D．130°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故选：
B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）
A．36°B．54°C．18°D．64°
【答案】B．
【解析】∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°﹣36°=54°．故选B．
3.（2016·湖北荆门·3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】勾股定理；等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD=
=4，
∴BC=2BD=8，
故选C．
4.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【解析】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形．
因为BD是△ABC的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36°所以△ABD是等腰三角形．
在△BDC中有三角形的内角和求出∠BDC=72°所以△BDC是等腰三角形．所以BD=BC=BE
所以△BDE是等腰三角形．所以∠BDE=72°,所以∠ADE=36°,所以△ADE是等腰三角形．共5个．
故选D．
5．（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7B．10C．11D．10或11
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解答】解：
把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：
D．
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是
A．5B．10C．12D．13
（第11题图）
【答案】D.
【解析】在Rt△CAE中，CE=5，AC=12，由勾股定理得：
又DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE=13.
故选D.
7.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）
A．120°B．90°C．60°D．30°
【答案】D．
【解析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解：
∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°．
故选D．
8.已知等腰三角形ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）
A.21B.20C.19D.18
【答案】A．
【解析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解：
∵8+8+5=21．
∴这个三角形的周长为21．
故选A．
9..如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）
A．8B．10C．3πD．5π
【答案】A．
【解析】连结DE，作FH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=
BD=2，∴点E′与点E重合，∴∠BDE=30°，DE=
BE=
，∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠EDP+∠HDF=90°，∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH，在△DPE和△FDH中，∵∠PED=∠DHF，∠EDP=∠DFH，DP=FD，∴△DPE≌△FDH，∴FH=DE=
，∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为
，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DA
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