A.-12
C.a≥-1D.a>-1
答案 D
解析 因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1.
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0B.1C.2D.4
答案 D
解析 由题意可得{a,a2}={4,16},∴a=4.
(3)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______.
答案 (-∞,-1]∪{1}
解析 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得
解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用维恩(Venn)图表示;集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
跟踪训练
(1)(2017·天津)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C等于( )
A.{2}B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}
答案 B
解析 A∪B={1,2,4,6}.
又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4},
故选B.
(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1A.[-1,2)B.[-1,3]
C.[2,+∞)D.[-1,+∞)
答案 D
解析 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A.
①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2;
②当B≠∅时,有
解得-1≤m<2.
综上,m的取值范围为[-1,+∞).
题型四 集合的新定义问题
典例若集合E={(p,q,r,s)|0≤p
A.200B.150C.100D.50
答案 A
解析 在集合E中,当s=1时,p=q=r=0,此时只有1个元素;当s=2时,p,q,r∈{0,1},此时有2×2×2=8(个)元素;当s=3时,p,q,r∈{0,1,2},此时有3×3×3=27(个)元素;当s=4时,p,q,r∈{0,1,2,3},此时有4×4×4=64(个)元素,故card(E)=1+8+27+64=100.
在集合F中,(t,u)的取值可能是(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共10种可能.同理,(v,w)也有10种可能,故card(F)=10×10=100,∴card(E)+card(F)=200.
思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.
跟踪训练定义一种新的集合运算△:
A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A等于( )
A.{x|3C.{x|3答案 B
解析 A={x|11.已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )
A.A=BB.A∩B=∅
C.ABD.BA
答案 D
2.(2017·浙江)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q等于( )
A.(-1,2)B.(0,1)
C.(-1,0)D.(1,2)
答案 A
解析 ∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},
∴P∪Q={x|-1<x<2}.故选A.
3.(2016·四川)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.3B.4C.5D.6
答案 C
解析 由题意可知,A∩Z={-2,-1,0,1,2},则A∩Z中的元素的个数为5.故选C.
4.(2017·吉林大学附中模拟)若集合A={x∈N|5+4x-x2>0},B={x|x<3},则A∩B等于( )
A.∅B.{1,2}
C.[0,3)D.{0,1,2}
答案 D
解析 由A中不等式变形,得(x-5)(x+1)<0,x∈N,解得-15.(2017·潍坊调研)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{0,1}B.{1}
C.{1,2}D.{0,1,2}
答案 B
解析 因为A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分,所以阴影部分所表示的集合为{1}.
6.已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x∉M}的子集的个数为( )
A.8B.4C.3D.2
答案 B
解析 由题意得P={3,4},∴集合P有4个子集.
7.(2017·全国Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B等于( )
A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}
答案 C
解析 ∵A∩B={1},∴1∈B.
∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
8.已知集合A={x|-1A.(-∞,0]B.[0,+∞)
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
答案 B
解析 用数轴表示集合A,B(如图),由A⊆B,得a≥0.
9.已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=________.
答案 (1,2)
解析 ∵P={x|x≥2或x≤0},∁RP={x|0<x<2},
∴(∁RP)∩Q={x|1<x<2}.
10.若{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则m=______.
答案 1
解析 由集合中元素的互异性,
可得
所以m=1.
11.(2018·衡水模拟)若集合A={y|y=lgx},B={x|y=
},则集合A∩B=________.
答案 [0,+∞)
解析 集合A={y|y=lgx}={y|y∈R}=R,
B={x|y=
}={x|x≥0},
则集合A∩B={x|x≥0}=[0,+∞).
12.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
答案 [1,+∞)
解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
13.(2017·黄山二模)已知集合A={-2,-1,0,1,2},∁RB=
,则A∩B等于( )
A.{-1,0,1}B.{-1,0}
C.{-2,-1,0}D.{0,1,2}
答案 C
解析 ∵集合A={-2,-1,0,1,2},
∁RB=
={x|x<-2或x≥1},
∴B={x|-2≤x<1},则A∩B={-2,-1,0}.
14.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________.
答案 -1 1
解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5则B={x|m15.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.
16.已知集合A=
,B={x|x2-2x-m<0},若A∩B={x|-1答案 8
解析 由
≥1,得
≤0,
∴-1又∵B={x|x2-2x-m<0},A∩B={x|-1∴4是方程x2-2x-m=0的根,
即42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B={x|-2故实数m的值为8.
§1.2 命题与量词、基本逻辑联结词
最新考纲
考情考向分析
1.理解命题的概念.
2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
3.理解全称量词和存在量词的意义.
4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点;命题的真假判断常以函数、不等式为载体,考查学生的推理判断能力,题型为选择、填空题,低档难度.
1.命题的概念
能够判断真假的语句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.
2.全称量词与全称命题
(1)全称量词:
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
(2)全称命题:
含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示:
形如“对M中的所有x,p(x)”的命题,用符号简记为“∀x∈M,p(x)”.
3.存在量词与存在性命题
(1)存在量词:
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.
(2)存在性命题:
含有存在量词的命题.
(3)存在性命题的符号表示:
形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用符号简记为∃x∈M,q(x).
(4)全称命题与存在性命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M,p(x)
∃x∈M,綈p(x)
∃x∈M,q(x)
∀x∈M,綈q(x)
4.基本逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词.
(2)命题真值表
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
知识拓展
1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q:
p,q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真.
(2)p∧q:
p,q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假.
(3)綈p:
与p的真假相反,即一真一假,真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”.
3.命题的否定和否命题的区别:
命题“若p,则q”的否定是“若p,则綈q”,否命题是“若綈p,则綈q”.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题.( √ )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题p,q中至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.( √ )
(4)“全等三角形的面积相等”是特称命题.( × )
(5)命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至少有一个是真命题.( × )
题组二 教材改编
2.已知p:
2是偶数,q:
2是质数,则命题綈p,綈q,p∨q,p∧q中真命题的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
答案 B
解析 p和q显然都是真命题,所以綈p,綈q都是假命题,p∨q,p∧q都是真命题.
3.命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________________________.
答案 存在一个正方形,这个正方形不是矩形
题组三 易错自纠
4.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( )
A.全等三角形的面积不一定都相等
B.不全等三角形的面积不一定都相等
C.存在两个不全等三角形的面积相等
D.存在两个全等三角形的面积不相等
答案 D
解析 命题是省略量词的全称命题,易知选D.
5.下列命题中,为真命题的是( )
A.∀x∈R,-x2-1<0
B.∃x∈R,x2+x=-1
C.∀x∈R,x2-x+
>0
D.∃x∈R,x2+2x+2<0
答案 A
6.若“∀x∈
,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y=tanx在
上是增函数,
∴ymax=tan
=1.
依题意知,m≥ymax,即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
1.设命题p:
函数y=log2(x2-2x)的单调增区间是[1,+∞),命题q:
函数y=
的值域为(0,1),则下列命题是真命题的为( )
A.p∧qB.p∨q
C.p∧(綈q)D.綈q
答案 B
解析 函数y=log2(x2-2x)的单调增区间是(2,+∞),所以命题p为假命题.
由3x>0,得0<
<1,所以函数y=
的值域为(0,1),故命题q为真命题.
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(綈q)为假命题,綈q为假命题.故选B.
2.(2017·山东)已知命题p:
∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:
若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题