版 第4章 2 21 实际问题的函数刻画22 用函数模型解决实际问题23 函数建模案例.docx

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版第4章221实际问题的函数刻画22用函数模型解决实际问题23函数建模案例

§2　实际问题的函数建模

2．1　实际问题的函数刻画

2．2　用函数模型解决实际问题

2．3　函数建模案例

1.了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用．（重点）

2.掌握求解函数应用题的基本步骤．（难点）

[基础·初探]

教材整理1　实际问题的函数刻画

阅读教材P120～P122整个本节课内容，完成下列问题．

　在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．

　“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：

领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是（　　）

【解析】　乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.

【答案】　B

教材整理2　用函数模型解决实际问题

阅读教材P123～P125整节课的内容，完成下列问题．

1.常用的函数模型

名称

解析式

条件

一次函数模型

y＝kx＋b

k≠0

反比例函数模型

y＝

＋b

k≠0

二次函数模型

一般式：

y＝ax2＋bx＋c

顶点式：

y＝a

2＋

a≠0

指数函数模型

y＝b·ax＋c

a＞0且a≠1，b≠0

对数函数模型

y＝mlogax＋n

m≠0，a＞0且a≠1

幂函数模型

y＝axn＋b

a≠0

2.数据拟合

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

　一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图421，那么图像所对应的函数模型为（　　）

图421

A．分段函数　　　　　　　B．二次函数

C．指数函数D．对数函数

【解析】　由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．

【答案】　A

教材整理3　函数建模案例

阅读教材P125～P130整节课的内容，完成下列问题．

函数建模

（1）定义

用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模．

（2）过程

　我国1999～2002年国内生产总值（单位：

万亿元）如下表所示：

年份

1999

2000

2001

2002

x

0

1

2

3

生产总值

8.2067

8.9442

9.5933

10.2398

画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式．

【解】　画出函数图形．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型．

如图所示．设所求的线性函数为y＝kx＋b.

把直线通过的两点（0,8.2067）和（3,10.2398）代入上式，解方程组，得k＝0.6777，b＝8.2067.

因此，所求的函数关系式为

y＝f（x）＝0.6777x＋8.2067.

[小组合作型]

一次、二次、分段函数模型

　某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图422

（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图422

（2）的抛物线表示．

（1）　　　　　　　　　　　　　

（2）

图422

（1）写出图422

（1）表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f（t）；

写出图422

（2）表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g（t）．

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大．

（注：

市场售价和种植成本的单位：

元/102kg，时间单位：

天）

【导学号：

04100078】

【精彩点拨】　本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式．

【尝试解答】　

（1）f（t）＝

设g（t）＝a（t－150）2＋100（a≠0），

将t＝50，Q＝150代入得a＝

.

∴g（t）＝

（t－150）2＋100（0≤t≤300）．

（2）设纯收益为y元，当0≤t≤200时，

y＝f（t）－g（t）

＝（－t＋300）－

＝－

t2＋

t＋

＝－

（t－50）2＋100.

当t＝50时，y取到最大值，且最大值为100.

当200＜t≤300时，

y＝f（t）－g（t）＝（2t－300）－

＝－

t2＋

t－

＝－

（t－350）2＋100.

当t＝300时取到最大，最大值为87.5.

故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．

处理此类问题的一般思路是：

认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．

[再练一题]

1.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：

每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．

（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；

（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

【解】　

（1）设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，则y＝

即y＝

（2）设旅行社获得利润为S元，

则S＝

即S＝

因为S＝900x－15000在区间（0,30]上单调递增，当x＝30时，S取最大值12000，又S＝－10（x－60）2＋21000在区间（30,75]上，当x＝60时，S取最大值21000.

故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.

指数（对数）函数模型

　燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2

（单位：

m/s），其中Q表示燕子的耗氧量．

（1）求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

【精彩点拨】　理清各个量的含义，代入运算．

【尝试解答】　

（1）由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log2

，解得Q＝10.

即燕子静止时的耗氧量是10个单位．

（2）将耗氧量Q＝80代入题中给出的函数关系式，得

v＝5log2

＝5log28＝15.

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.

1.指数模型

在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用下面的公式y＝N（1＋p）x表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．

2.对数模型

对数模型函数可设为y＝klogax＋b.利用条件确定系数，对数模型函数解题的关键是对数运算.

[再练一题]

2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝

t－a（a为常数）．如图423所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

图423

（1）从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（时）之间的函数关系式；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

【解】　

（1）设药物释放过程中即t∈（0,0.1）时，y与t的函数关系式为y＝kt，

将（0.1,1）代入y＝kt，得1＝0.1k，所以k＝10，y＝10t.

t∈[0.1，＋∞）时，将（0.1,1）代入y＝

t－a，

得

＝1，a＝

.

故所求函数关系式为：

y＝

（2）由

（1）知，当t∈[0.1，＋∞）时，y为t的减函数．

令

，所以t－

＞

，所以t＞

.

即

小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室．

[探究共研型]

建立拟合函数解应用题

探究1　建立拟合函数的探索方法是什么？

【提示】　依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索方法为：

（1）首先建立直角坐标系，画出散点图；

（2）根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式；

（3）利用待定系数法求出各解析式；

（4）对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．

探究2　今有一组试验数据如下表所示：

t

1.99

3.0

4.0

5.1

6.12

u

1.5

4.04

7.5

12

18.01

则能体现这些数据关系的函数模型是（　　）

A．u＝log2t　　　　　　B．u＝2t－2

C．u＝

D．u＝2t－2

【提示】　可以先描出各点（如图），并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．

由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，

＝

＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝

能较好地体现这些数据关系．故选C.

　某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：

投资A种商品金额（万元）

1

2

3

4

5

6

获纯利润（万元）

0.65

1.39

1.85

2

1.84

1.40

投资B种商品金额（万元）

1

2

3

4

5

6

获纯利润（万元）

0.25

0.49

0.76

1

1.26

1.51

该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A，B两种商品各多少最合算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．（结果保留两个有效数字）

【精彩点拨】　先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．

【尝试解答】　设投资额为x万元时，获得的利润为y万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．

设二次函数的解析式为y＝－a（x－4）2＋2（a＞0），

一次函数的解析式为y＝bx.

把x＝1，y＝0.65代入y＝－a（x－4）2＋2（a＞0），

得0.65＝－a（1－4）2＋2，解得a＝0.15.

故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－0.15（x－4）2＋2表示．

把x＝4，y＝1代入y＝bx，得b＝0.25，

故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y＝0.25x表示．

令下月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元、xB万元，总利润为W万元，得

W＝yA＋yB＝－0.15（xA－4）2＋2＋0.25xB，

其中xA＋xB＝12，

则W＝－0.15

2＋0.15·

2＋2.6（0≤xA≤12），

则当xA＝

≈3.2万元时，W取得最大值，

0．15·

2＋2.6≈4.1万元，此时xB＝

≈8.8（万元）．

即投资A商品3.2万元，投资B商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．

此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：

（1）作图：

根据已知数据作出散点图；

（2）选择函数模型：

根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；（3）求出函数模型：

选出几组数据代入，求出函数解析式；（4）利用所求得的函数模型解决问题.

[再练一题]

3.某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系（见下表）：

x

…

30

40

45

50

…

y

…

60

30

15

0

…

（1）在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x，y）对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f（x）；

图424

（2）设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．

【解】　根据上表作图，点（30,60），（40,30），（45,15），（50,0）近似在同一条直线上，设直线方程为y＝kx＋b（k≠0），

∴

⇒

∴y＝－3x＋150（x∈N）．

经检验点（30,60），（40,30）也在此直线上，

故所求函数关系式为

y＝－3x＋150（x∈N）．

（2）依题意有P＝y（x－30）

＝（－3x＋150）（x－30）

＝－3（x－40）2＋300，

∴当x＝40时，P有最大值300.

故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.

1.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了akm，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b＜a），当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为（　　）

　　A　　　B　　　　　C　　　　D

【解析】　由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图像特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．故选C.

【答案】　C

2.国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：

运送距离x（km）

0＜x≤500

500＜x≤1000

1000＜x≤1500

…

邮资y（元）

5.00

6.00

7.00

…

如果某人在西安要快递800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是（　　）

A．5.00元　　　　　　B．6.00元

C．7.00元D．8.00元

【解析】　由题意可知，当x＝1200时，y＝7.00元，故选C.

【答案】　C

3.已测得（x，y）的两组值为（1,2），（2,5），现有两个拟合模型，甲：

y＝x2＋1，乙：

y＝3x－1.若又测得（x，y）的一组对应值为（3,10.2），则选用________作为拟合模型较好．

【解析】　对于甲：

x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：

x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．

【答案】　甲

4.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg

中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数，则当N＝40时，t＝________.（已知lg2≈0.301，lg3≈0.477）

【导学号：

04100079】

【解析】　当N＝40时，则t＝－144lg

＝－144lg

＝－144（lg5－2lg3）＝36.72.

【答案】　36.72分钟

5.

图425

要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图425，窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积S最大，窗户应具有怎样的尺寸？

【解】　由题意得窗框总长l＝

x＋x＋2y，

∴y＝

，

∴S＝

x2＋xy

＝

x2＋x·

＝－

2＋

.

由

得x∈

，

当x＝

时，Smax＝

，

此时y＝

＝

，

所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．