最新初中数学思维技巧专项训练七建反比例函数模型解实际问题.docx
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最新初中数学思维技巧专项训练七建反比例函数模型解实际问题
建“反比例函数”模型解实际问题
方法点津·
通过数学建模解决实际问题，它既符合素质教育提出的“培养学生的应用意识”的新要求，同时也有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，解这类数学应用题的关键是通过对问题原始形态的分析、联想和抽象，将实际问题转化为一个数学问题，即构建一个相应的数学模型来解决问题．
典题精练·
类型一 根据给定的关系，建立反比例函数模型
此类问题一般题中已明确给出变量间的函数关系，根据给定的关系，用一个变量表示另一个变量，建立等量关系，从而把实际问题转化为数学问题，利用相关数学知识解决问题．
1．水产公司有一种海产品，为寻求合适的销售价格，进行了一周的试销，通过试销发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的反比例函数，且当销售价格定为120元/千克时，销售量为100千克．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）试销后，公司决定把这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么库存的2000千克的海产品预计再用多少天可以全部售出？
2．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（单位：
h）与行驶速度v（单位：
km/h）满足函数关系t＝
，其图象为图7－Y－1中的一段曲线，端点为A（40，1）和B（m，0.5）．
（1）求k和m的值；
（2）若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要多长时间？
图7－Y－1
3．某地上一年度电价为每度0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至每度0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至每度x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x－0.4）元成反比例．又知当x＝0.65时，y＝0.8.
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若每度电的成本价为0.3元，电价调至每度0.6元，请你预算一下本年度电力部门的收入是多少（收入＝售价－成本）．
类型二 根据题目中的隐性等量关系，建立反比例函数模型
此类题需要先根据题意判断出要解决的问题属于哪类实际问题，然后根据不同类型的实际问题（比如工程问题、行程问题、销售问题等）中蕴含的基本相等关系及题目中提供的条件，找到能够表示应用题全部含义的一个相等关系，根据这个相等关系列出两个变量之间的关系式．
4．某项工程需要沙石料2×106m3，阳光公司承担了该工程运送沙石料的任务．
（1）在这项任务中平均每天的工作量v（m3/天）与完成任务所需要的时间t（天）之间具有怎样的函数关系？
写出这个函数解析式；
（2）阳光公司计划投入A型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料2×104m3，则完成全部运送任务需要多少天？
如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A型卡车120辆，在保持每辆车每天工作量不变的前提下，是否能提前28天完成任务？
5．某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30个，那么12小时可以完成．
（1）设每小时加工x个零件，所需时间为y小时，写出y与x之间的函数解析式，并画出其图象；
（2）若要在一个工作日（8小时）内完成，则每小时要比原来多加工几个零件？
6．小王骑自行车以15km/h的平均速度从甲地到乙地用了4h.
（1）他坐出租车沿原路返回，求出租车的平均速度v（km/h）与时间t（h）之间的函数解析式；
（2）如果小王必须在40min之内赶回甲地，那么返程时的平均速度至少为多少？
类型三 根据表格或图象中变量之间的规律特点，建立反比例函数模型
此类题通过表格或图象的形式给出两个变量之间的关系，应注意运用“由数想形，以形助数”的策略，要能够从图表中读出有用的信息，从而建立相应的函数模型．
7．如图7－Y－2是某一蓄水池的排水速度v（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）直接写出此函数的解析式和自变量t的取值范围；
（2）如果要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
（3）如果每小时的排水量是5m3，那么水池中的水要用多少小时才能排完？
图7－Y－2
8.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物试验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图7－Y－3所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数解析式；
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？
图7－Y－3
9．某中学组织学生参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？
请求出这个函数解析式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少？
10．某同学在做电学实验时，当电压一定时，记录下电流y（A）与电阻x（Ω）有如下对应关系：
y/A
…
1
2
3
4
5
…
x/Ω
…
20
10
5
4
…
（1）请在平面直角坐标系中通过描点、连线画出图象，观察并求出y与x之间的函数解析式；
（2）当电流是0.5A时，电阻是多少欧姆？
11．某化工厂2018年1月的利润为200万元．设2018年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2018年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（图象如图7－Y－4所示）．
（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间的函数解析式；
（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平？
（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，则该厂资金紧张期共有几个月？
图7－Y－4
12.某商场出售一批进价为2元/张的贺卡，在商场营销中发现此商品的部分日销售价x（元/张）与销售量y（张）之间有如下关系：
x（元/张）
3
4
5
6
y（张）
20
15
12
10
（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2）猜测并确定y与x之间的函数解析式，并画出图象；
（3）当日销售价为每张10元时，贺卡的日销售量是多少张？
（4）设此贺卡的销售利润为W元，试求出W与x之间的函数解析式，若物价部门规定此贺卡的日销售价最高不能超过10元/张，试求出当日销售价定为多少时，能使每天获得最大利润．
13．近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其中含有CO.在一次矿难事件的调查中发现：
从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图7－Y－5，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x间的函数解析式，并写出相应自变量的取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多大的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井．
图7－Y－5
详解
1．解：
（1）设y关于x的函数解析式为y＝
（k≠0），
把x＝120，y＝100代入y＝
，可得100＝
，
解得k＝12000，
∴y关于x的函数解析式为y＝
.
（2）当x＝150时，y＝
＝80.
2000÷80＝25（天）．
即库存的2000千克的海产品预计再用25天可以全部售出．
2．解：
（1）将（40，1）代入t＝
，得1＝
，解得k＝40，
所以t与v之间的函数解析式为t＝
.
当t＝0.5时，0.5＝
，解得m＝80.
所以k＝40，m＝80.
（2）令v＝60，则t＝
＝
.
结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要
h.
3．解：
（1）∵y与x－0.4成反比例，
∴设y＝
（k≠0）．
把x＝0.65，y＝0.8代入y＝
，
得0.8＝
，解得k＝0.2，∴y＝
，
∴y与x之间的函数解析式为y＝
.
（2）当x＝0.6时，y＝1.
根据题意，本年度电力部门的收入为（0.6－0.3）×（1＋y）＝0.3×2＝0.6（亿元）．
答：
本年度电力部门的收入是0.6亿元．
4．解：
（1）反比例函数关系，v＝
（t>0）．
（2）当v＝2×104时，2×104＝
，
解得t＝100，
∴完成全部运送任务需要100天．
当公司再投入A型卡车120辆时，平均每天的工作量v＝
×（200＋120）＝3.2×104，
完成任务所需的总时间t＝25＋
＝71.875，
100－71.875＝28.125（天）>28天，
∴能提前28天完成任务．
5．解：
（1）需加工的零件数为30×12＝360（个），
故y与x之间的函数解析式为y＝
（x＞0），图象如图．
（2）当y＝8时，x＝360÷8＝45，
45－30＝15（个）．
∴若要在一个工作日（8小时）内完成，则每小时要比原来多加工15个零件．
6．解：
（1）设甲、乙两地的路程为skm.
由题意，得s＝15×4＝60，
所以v与t之间的函数解析式为v＝
（t＞0）．
（2）40min＝
h，把t＝
代入v＝
，
得v＝
＝90.
即如果小王必须在40min之内赶回甲地，那么返程时的平均速度至少为90km/h.
7．解：
（1）设此函数的解析式为v＝
，
∵点（12，4）在此函数图象上，
∴4＝
，解得k＝48，
∴此函数的解析式为v＝
.
∵t表示排水所用的时间，∴t＞0.
（2）当t＝6时，v＝
＝8，故如果要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是8m3.
（3）当v＝5时，
＝5，
∴t＝9.6.
故如果每小时的排水量是5m3，那么水池中的水要用9.6h才能排完．
8．解：
（1）当0≤x≤4时，设直线的函数解析式为y＝kx，将（4，8）代入y＝kx，得8＝4k，解得k＝2，
故血液中药物浓度上升阶段y与x之间的函数解析式为y＝2x（0≤x≤4）．
当4≤x≤10时，设反比例函数的解析式为y＝
，
将（4，8）代入y＝
，得8＝
，
解得a＝32，
故血液中药物浓度下降阶段y与x之间的函数解析式为y＝
（4≤x≤10）．
（2）在y＝2x中，当y＝4时，4＝2x，
解得x＝2；
在y＝
中，当y＝4时，4＝
，
解得x＝8.
∵8－2＝6（时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为6小时．
9．解：
（1）由表中数据，得xy＝6000，所以y是x的反比例函数，其函数解析式为y＝
.
（2）由题意，得（x－120）y＝3000，将y＝
代入，得（x－120）·
＝3000，解得x＝240.
经检验，x＝240是原方程的解且符合题意．
答：
若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为每双240元．
10．解：
（1）描点画图（如图所示）：
通过观察图象，知y是x的反比例函数．
设y＝
（k≠0），由表知，当x＝20时，y＝1，
代入y＝
，得1＝
，
解得k＝20，
所以y与x之间的函数解析式是y＝
（x>0）．
（2）当y＝0.5时，有0.5＝
，解得x＝40.即当电流是0.5A时，电阻是40Ω.
11．解：
（1）当1≤x≤5时，设y＝
，把（1，200）代入y＝
，得k＝200，即y＝
；因为当x＝5时，y＝40，所以当x＞5时，y＝40＋20（x－5）＝20x－60.
（2）当y＝200时，20x－60＝200，解得x＝13，所以治污改造工程完工后经过13－5＝8（个）月，该厂月利润才能达到2018年1月的水平．
（3）对于y＝
，当y＝100时，x＝2；对于y＝20x－60，当y＝100时，x＝8，所以该厂资金紧张期共有8－2＝6（个）月．
12．解：
（1）在平面直角坐标系内描点，如图所示．
（2）图象如图所示．根据图象猜测y与x是反比例函数关系，设y＝
（k≠0），把（3，20）代入y＝
，得k＝60，所以y＝
（x≥2）．
把（4，15），（5，12），（6，10）分别代入y＝
中均成立，
所以y与x之间的函数解析式是y＝
（x≥2）．
（3）当x＝10时，y＝6，即当日销售价为每张10元时，贺卡的日销售量是6张．
（4）W＝（x－2）y＝（x－2）×
＝60－
（x≥2）．因为物价部门规定此贺卡的日销售价最高不能超过10元/张，所以当x取10时，W有最大值．
即当日销售价定为10元/张时，能使每天获得最大利润．
13．解：
（1）∵爆炸前CO浓度呈直线增加，
∴可设y与x间的函数解析式为y＝k1x＋b.
由图象知y＝k1x＋b的图象过点（0，4）与（7，46），
∴
解得
∴y＝6x＋4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7.
∵爆炸后CO浓度成反比例下降，
∴可设y与x的函数解析式为y＝
.
由图象知y＝
的图象过点（7，46），
∴
＝46，
∴k2＝322，
∴y＝
，此时自变量x的取值范围是x＞7.
（2）当y＝34时，由y＝6x＋4，得6x＋4＝34，解得x＝5.
∴撤离的最长时间为7－5＝2（h），
∴撤离的最小速度为3÷2＝1.5（km/h）．
答：
这时他们至少要以1.5km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生．
（3）当y＝4时，由y＝
，得x＝80.5，80.5－7＝73.5（h），
∴矿工至少在爆炸后73.5h才能下井．
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