初中数学二次函数图形详解Word格式.docx

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因此b2－4ac＜0

10.B

依题意画出简图如下：

由于y＝96x2－2007的对称轴为y轴

因此的中点必在y轴上

而且的中点其y坐标必为96

的中点坐标为（0,96）

11.A

y＝0代入y＝－9x2＋25

得x＝或－

＝k＝－（－）＝

3＜＜43＜k＜4

12.B

a＜0开口向下

b＜0a、b同号顶点在y轴左侧

c＞0图形交y轴于正向

综合以上，故选（B）

13.B

y＝ax2＋c图形的对称轴是y轴

又点（p,q）关于y轴的对称点为点（－p,q）

因此y＝ax2＋c的图形亦会通过点（－p,q）

14.A

解3x2－5x－12＝0，得x＝－或x＝3

因为a＜b，所以a＝－，b＝3

由于a、b、c成等差数列，所以a＋c＝2b

即－＋c＝3×

2，解出c＝6＝7

15.A

∵y＝ax2＋a为二次函数

∴a≠0，顶点坐标为（0,a）

当a＞0，图形开口向上，（0,a）在y轴的正向，如图（A）

当a＜0，图形开口向下，（0,a）在y轴的负向

16.A

设此二次函数为y＝ax2＋bx＋c

过

代入、得，解出

y＝ax2＋bx＋c＝3x2＋6x－5＝3（x＋1）2－8

当x＝－1时，此二次函数有最小值－8，

17.C

由y＝x2＋6x－7

＝（x＋3）2－16＝（x＋7）（x－1）

可以得到A、B、D三点坐标为：

A（－7,0）、B（1,0）、D（－3,－16）

设新图形为y＝（x＋3－9）2－16－m

由下图可知新图形亦通过B点

以B（1,0）代入y＝（x＋3－9）2－16－m

0＝25－16－mm＝9

故选（C）

18.C

解－（x－）（x－5）＝0

得B（,0）、C（5,0）

由二次函数的对称性可知：

顶点A的x坐标＝（＋5）＝3

以x＝3代入y＝－（x－）（x－5）中

得y＝－×

×

（－）＝10

△ABC的面积＝×

（5－）×

10＝25

19.C

平移后得到的二次函数为：

y＝2（x－5）2－2

所以顶点坐标为（5,－2），故选（C）

20.B

y＝－2x2－8x－9

＝－2（x＋2）2－1

顶点P的坐标为（－2,－1）

将y＝－3代入y＝－2x2－8x－9得：

－2x2－8x－9＝－3

（x＋3）（x＋1）＝0

x＝－3或x＝－1

△PQR的面积

＝×

∣－3－（－1）∣×

∣－3－（－1）∣

2×

2＝2

21.D

依题意画简图如下：

由上图可知

＝＞＝

22.D

设增加x人，总收入为y元

y＝（60＋x）（7550－100x）＝－100x2＋7550x－6000x＋453000

＝－100x2＋1550x＋453000＝－100（x2－x）＋453000＝－100[x2－x＋（）2]＋453000＋100×

（）2＝－100（x－）2＋453000＋

但x必为正整数，故令x为最接近的正整数8

当x＝8，y＝（60＋x）（7550－100x）＝68×

6750＝459000（元），故选（D）

23.A

与x轴只有一个交点判别式＝0

（－20）2－4×

4×

m＝0m＝25

此交点的x坐标n＝－＝－＝

m－10n＝25－10×

＝0

24.B

甲：

D＝22－4×

1×

4＜0

乙：

（－4）＞0

丙：

D＝（－2）2－4×

丁：

所以甲、丙恒在x轴上方，共两个，故选（B）

25.D

y＝3x2＋kx－6为开口向上的拋物线

且与y轴交于（0,－6），因此顶点必在x轴的下方，即顶点的y坐标为负

又顶点的x坐标＝－＝－＞0

因此顶点在第四象限，故选（D）

26.A

（A）y＝－（x＋1）2＋5，顶点为（－1,5），对称轴x＝－1

（B）y＝x2＋4x＝（x＋2）2－4，顶点为（－2,－4）

（C）y＝（2x－4）2＋1＝4（x－2）2＋1，顶点为（2,1），对称轴x＝2

（D）y＝－x2－4x＝－（x＋2）2＋4，顶点为（－2,4）

27.B

y＝－3x2＋6x－1＝－3（x2－2x＋1）＋3－1＝－3（x－1）2＋2

顶点为（1,2），开口向下

又图形与y轴的交点为（0,－1），则

图形不经过第二象限，故选（B）

28.C

y＝6x－1－3x2＝－3（x－1）2＋2

a＝2，b＝－3a＋b＝－1，故选（C）

29.C

设C（x），则＝x，＝12－x

＝x（12－x）＝－x2＋12x＝－（x－6）2＋36

所以×

的最大值为36，故选（C）

30.C

二次函数图形的最低点的x坐标为＝－1

31.B

设此二次函数为y＝a（x－3）2－2

过（0,7），得7＝a（0－3）2－2，解出a＝1

y＝（x－3）2－2＝x2－6x＋7

各项系数和＝1＋（－6）＋7＝2，故选（B）

32.A

（A）顶点（0,－1），与原点距离｜－1｜＝1

（B）顶点（0,－3），与原点距离｜－3｜＝3

（C）顶点（0,2），与原点距离｜2｜＝2

（D）顶点（0,－2），与原点距离｜－2｜＝2

33.A

设长x公尺，宽（30－x）公尺

y＝x（30－x）＝－（x－15）2＋225

当x＝15时，y有最大值225，故选（A）

34.D

a＜0→图形开口向下，c＞0→图形与y轴交于正向，故选（D）

35.B

B的开口向上、且开口大小比A大，故选（B）

36.A

（B）、（C）、（D）的顶点均为（0,3）

（A）的顶点为（0,0）

37.B

先求出L：

y＝ax－b与x轴交于（,0），与y轴交于（0,－b）

－b＞0b＜0；

＞0a＜0

y＝ax2－bx－3开口向下

顶点的x坐标＝＞0，故选（B）

38.B

因为顶点为（1,－3）

所以这个二次函数可以假设为y＝a（x－1）2－3

又因为它的图形过（0,－5）

因此－5＝a（0－1）2－3，解出a＝－2

即此二次函数为y＝－2（x－1）2－3＝－2x2＋4x－5

因此a＝－2，b＝4，c＝－5

所以a－b－c＝（－2）－4－（－5）＝－1

39.D

y＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1m＝1

当x＝0，y＝5M＝5

M＋m＝5＋1＝6，故选（D）

40.A

（A）为二次函数，故选（A）

41.B

设矩形的长、宽分别为x公分和（12－x）公分，面积为y平方公分

则y＝x（12－x）＝－x2＋12x＝－（x－6）2＋36

所以矩形的最大面积为36平方公分，故选（B）

42.A

y＝2x2＋4图形的顶点为（0,4）

y＝2（x－3）2－4图形的顶点为（3,－4）

所以要先向右移动3个单位，再向下移动8个单位

43.B

二次函数图形开口向下，有最高点

（A）为一次函数，没有最低点

（B）为二次函数，图形开口向下，有最高点

（C）为二次函数，图形开口向上，有最低点

（D）为二次函数，图形开口向上，有最低点

44.C

∵｜－3｜＞｜－1｜＞｜－｜

∴开口的大小：

A＞B＞C

＞＞

45.B

此二次函数在x＝－1时，有最大值8

因此若x的值越接近－1

则其对应的y值也越接近8

本题中的－最接近－1

46.C

由于S1的开口最小，S3的开口最大

因此｜a1｜＞｜a2｜＞｜a3｜……

又S1、S2、S3的开口皆向下

所以a1、a2、a3皆为负数……

由、可知a1＜a2＜a3

47.A

令x＝0，y＝5，可得C0,5）

设B点在A点的右方

5＝

＝

B点的x坐标为

将（,0）代入y＝ax2＋5中得0＝a×

（）2＋5

a＝－4

48.A

因为函数图形通过（－1,0）与（3,0）

故设y＝a（x＋1）（x－3）

函数图形通过（2,3）

以（2,3）代入y＝a（x＋1）（x－3）

3＝a×

3×

（－1）a＝－1

此二次函数方程式为

y＝－（x＋1）（x－3）＝－（x－1）2＋4

顶点坐标为A（1,4）

顶点与原点距离为＝

49.B

y＝－2x2图形的顶点为（0,0），开口向下，且通过（1,－2），故选（B）

50.D

依题意可画简图如下：

由＝8与＝8可知D点的坐标为（4,8）

设此拋物线为y＝ax2

以D（4,8）代入得8＝a×

16a＝

再由＝12可知B点的y坐标为12

以y＝12代入y＝x2中，得12＝x2x＝±

2，即B点的x坐标为2

＝2×

2＝4，故选（D）

51.D

将y＝6代入y＝x2＋2x－2得：

x2＋2x－2＝6x2＋2x－8＝0

（x＋4）（x－2）＝0

x＝－4或x＝2

＝2－（－4）＝6，故选（D）

52.A

过

解方程式可得到a＝－3，b＝－12，c＝－15

所以此二次函数为y＝－3x2－12x－15

y＝－3x2－12x－15

＝－3（x2＋4x＋4）－15＋12

＝－3（x＋2）2－3

因此顶点为（－2,－3）

53.D

（A）二次函数的图形一定是拋物线

（B）正确

（C）x2项的系数为－2＜0，故其图形开口向下

（D）其图形的对称轴为x＝1，此选项错误

54.D

图形的开口方向及大小相同时，

即可经过平移重合

y＝（x＋3）2－1，x2项系数＝1，且大于0

55.B

y＝－（x＋2＋3）2

y＝－（x＋5）2

56.D

设其中一段为x公分，则另一段长为（20－x）公分

两正方形的面积和＝x2＋（20－x）2＝2x2－40x＋400＝2（x2－20x＋100）＋400－200＝2（x－10）2＋200≧200

所以两正方形面积和的最小值为200平方公分，故选（D）

57.C

－2与b为ax2＋5x＋30＝0的两根

所以a×

（－2）2＋5×

（－2）＋30＝0a＝－5

两根之和：

－2＋b＝－＝1b＝3

58.C

y＝－2x2＋4x－7

＝－2（x2－2x＋1）－7＋2

＝－2（x－1）2－5

顶点为（1,－5）在第四象限

59.D

有最低点a＞0……

顶点在y轴的右方－＞0……

代入得b＜0

（a,b）在第四象限，故选（D）

60.D

y＝4x2－8x＝4（x2－2x）＝4（x2－2x＋1）－4＝4（x－1）2－4，顶点坐标为（1,－4）

（A）y＝2x2－4x＝2（x2－2x）＝2（x2－2x＋1）－2＝2（x－1）2－2，顶点坐标为（1,－2）

（B）y＝－2（x＋1）2，顶点坐标为（－1,0）

（C）y＝2（x＋1）2＋4，顶点坐标为（－1,4）

（D）y＝－2（x－1）2－4，顶点坐标为（1,－4）

61.C

将A（－1,a）代入y＝2x2

得a＝2

再将B（－2,b）代入y＝2x2

得b＝8A（－1,2）、B（－2,8）

＝＝

62.C

以（3,a）代入y＝2x2－5x＋6

得a＝2×

32－5×

3＋6＝9

以（2,b）代入y＝2x2－5x＋6

得b＝2×

22－5×

2＋6＝4

a－b＝9－4＝5，故选（C）

63.A

设此二次函数为y＝a（x－3）2＋b

将（1,1）与（0,5）代入上式得：

解得a＝，b＝－

此二次函数为y＝（x－3）2－

所以此二次函数的图形会通过（2,－），故选（A）

64.B

设矩形宽x公尺，长（100－2x）公尺，面积为y平方公尺

y＝x（100－2x）＝－2x2＋100x＝－2（x2－50x＋252）＋2×

252＝－2（x－25）2＋1250

所以矩形的最大面积为1250平方公尺，故选（B）

65.A

甲、乙两函数的二次项系数皆为＋1

因此它们的图形的开口大小与开口方向皆相同

平移后可重迭在一起，故选（A）

66.B

y＝16x2＋mx＋49的图形与x轴交于一点

y＝16x2＋mx＋49＝（4x7）2

∵P点在x轴的正向

∴P（,0）

P介于A（1,0）和B（2,0）之间，故选（B）

67.D

设此二次函数为y＝a（x＋2）2＋b

将（－1,6）与（1,－10）代入上式

解得a＝－2，b＝8

y＝－2（x＋2）2＋8＝－2x2－8x

68.D

由题意得此图形的对称轴为x＝－2

此二次函数为y＝8（x＋2）2＋k

8（x＋2）2＋k＝8x2＋bx＋c

8x2＋32x＋32＋k＝8x2＋bx＋c

b＝32

69.A

y＝x2－2x＋c＝x2－2x＋1＋c－1＝（x－1）2＋c－1

因为最小值为4，所以c－1＝4，即c＝5，故选（A）

70.B

（－4）2－4×

a×

2＞0，16－8a＞0，a＜2

二、填充：

（每题0.5分，共30分）

1.2

k＝2

2.－28，（－,0）

图形与x轴只交于一点

m2－4×

（－49）×

（－4）＝0m＝±

28

顶点的x坐标＜0m与－49同号m＝－28

y＝－49x2－28x－4＝－49（x＋）2，A（－,0）

3.1250，2000

（1）xy＝x（100－2x）＝－2x2＋100x＝－2（x－25）2＋1250≦1250

所以xy的最大值为1250

此时x＝25，y＝50

（2）x2＋y2＝x2＋（100－2x）2＝5x2－400x＋10000＝5（x－40）2＋2000≧2000

所以x2＋y2的最小值为2000

此时x＝40，y＝20

4.2

设此二次函数为y＝a（x－2）2＋b

将（3,－1）与（4,8）代入上式得：

解得a＝3，b＝－4

此二次函数为y＝3（x－2）2－4

顶点坐标为（2,－4）

故所求为＝2

5.－

y＝a（x＋2）2＋3

顶点P为（－2,3）

H点为（－2,－4）

△PQR的面积＝×

21＝×

7

＝6＝3

R点坐标为（1,－4）

y＝a（x＋2）2＋3过R（1,－4）

－4＝9a＋3a＝－

6.

x＝2时，y＝ax2＝a×

22＝4a

x＝4时，y＝ax2＝a×

42＝16a

依题意可知16a－4a＝6，解出a＝

7.1：

1：

1

y＝（a＋b）x2＋2cx－（a－b）＝（a＋b）（x＋）2－

（a＋b）x2＋2cx－（a－b）＝（a＋b）x2＋（a＋b）x－

比较系数可得

2c＝a＋b……，a－b＝a＝b……

代入得2c＝a＋aa＝c

故a：

b：

c＝1：

8.－1

y＝4＋x2图形的顶点为（0,4）……

y＝－x2－6图形的顶点为（0,－6）……

两图形对称于y＝k

两顶点必对称于y＝k……

由、、得：

k＝＝－1

9.（0,－8）

y＝30x－x2

＝－（x2－30x＋225）＋225＝－（x－15）2＋225

y＝－（x－15）2＋225－8

以x＝0代入乙得y＝－225＋225－8＝－8

故乙图形与y轴的交点为（0,－8）

10.四

与y轴交于负向处c＜0

以x＝1代入y＝ax2＋bx＋c得a＋b＋c＝y

由图形可看出a＋b＋c＞0

点（a＋b＋c,c）＝点（＋,－）在第四象限

11.－7

（,－）与（－1,－）为y＝3x2＋bx＋c图形上的两个对称点

这两个对称点的对称轴亦为二次函数y＝3x2＋bx＋c图形的对称轴

故对称轴方程式为x＝[（－1）＋]÷

2＝＝－b＝－7

12.

设＝＝＝x公尺

则＝＝公尺，如下图所示

养鸡场的总面积＝长方形ABCD的面积

＝x×

＝－（x－）2＋≦

所以养鸡场总面积的最大值为平方公尺

13.－

设此二次函数为y＝a（x－3）2－8

由题意得Q、R两点的距离为＝6

Q、R两点的坐标为（6,0）、（0,0）

将（0,0）代入y＝a（x－3）2－8得a＝

又ax2＋bx＋c＝a（x－3）2－8

∴b＝－6a＝－

14.4

x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4有最小值4

有最大值＝4

15.k＜且k≠－2

（2k＋1）2－4（k＋2）k＞0

4k2＋4k＋1－4k2－8k＞0

－4k＋1＞0，k＜

又k＋2≠0，k≠－2

故k＜且k≠－2

16.向下，x＝－，（－,）

y＝－x－x2

＝－（x2＋x＋）＋＋

＝－（x＋）2＋

因此图形的开口向下

对称轴方程式为x＝－

顶点坐标为（－,）

17.

（1）－x2＋x＋　

（2），

＝x，则＝2x，＝1－x

（1）四边形CDEF的面积＝正方形ABCD－△AEF－△FBC＝1－－＝1－x2－＋x＝－x2＋x＋

（2）－x2＋x＋＝－[x2－x＋（）2]＋＋＝－（x－）2＋

故当x＝时，四边形CDEF有最大面积为

18.y＝2x2＋4x－1

设二次函数为y＝a（x＋1）2＋b

将（1,5）、（－2,－1）带入上式得：

解得a＝2，b＝－3

故此二次函数为y＝2（x＋1）2－3＝2x2＋4x－1

19.－1

已知顶点为（2,4），且a＜0

设y＝a（x－2）2＋4

展开得y＝a（x2－4x＋4）＋4＝ax2－4ax＋4a＋4

a＝－1，b＝0

a＋b＝－1＋0＝－1

20.－2x2＋7

由（2,－1）与（－2,－1）两点可知

该二次函数图形的对称轴为y轴

又其图形与y轴交于（0,7）

因此可设此二次函数为y＝ax2＋7

由于通过（2,－1）

所以－1＝a×

22＋7

a＝－2

故此二次函数为y＝－2x2＋7

21.

（1）32

（2）8

设其中一股长为x公分，另一股长为16－x公分

（1）面积＝×

x×

（16－x）＝－（x－8）2＋32≦32

所以此直角三角形的最大面积为32平方公分

（2）斜边长＝＝≧＝8

所以斜边长的最小值为8公分

22.1

设此二次函数为y＝（x－1）2＋k

将（－1,6）代入上式得：

6＝（－1－1）2＋kk＝2

∴y＝x2＋bx＋c＝（x－1）2＋2

x2＋bx＋c＝x2－2x＋3

∴b＝－2，c＝3

故b＋c＝－2＋3＝1

23.

（1）＜　

（2）＞　（3）＜　（4）＝

（1）图形开口向下a＜0

（2）与x轴的交点位与x轴的负向b＞0

（3）与y轴的交点（0,c）位于y轴的负向c＜0

（4）图形与x轴只有1个交点

函数有重根，判别式＝0

（－b）2－4ac＝b2－4ac＝0

24.a2

A、B两点坐标为

A（a,a2）、B（a,a2）

＝a2－a2

＝a2

25.－

利用对称轴的概念得＝

a＝－

26.（0,10）

设a＝2k、b＝4k、c＝5k（k≠0）

y＝ax2＋bx＋c＝2kx2＋4kx＋5k＝2k（x＋1）2＋3k

有最小值6，所以3k＝6，