初二数学一次函数.docx

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初二数学一次函数

初二数学

14.2.2一次函数

（1）

教学目标

①理解一次函数与正比例函数的概念以及它们的关系,在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊和一般的辩证关系.

②能根据问题信息写出一次函数的表达式.能利用一次函数解决简单的实际问题.

③经历利用一次函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力.

教学重点与难点

重点：

①一次函数、正比例函数的概念及关系.

②会根据已知信息写出一次函数的表达式.

难点：

理解一次函数、正比例函数的概念及关系.在探索过程中,发展抽象思维及概括能力.

教学设计

复习与反思

1.复习：

函数与正比例函数的概念和它们之间的关系.

注:

在对旧知的复习中突出函数是对变量间关系的刻画,正比例函数则是对某一类关系共性的抽象反映.为完善认知与深刻理解概念做准备.

2.问题：

某登山队大本营所在地的气温为15℃.海拔每升高1km气温下降6℃,登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所在位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系.

注:

得到的解析式不是原先学过的正比例函数,促使学生对函数特征的思考.

3.反思：

这个函数是正比例函数吗?

它与正比例函数有什么不同?

这种形式的函数还会有吗?

概念的形成

1.下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示?

出示教科书P.27问题①～④.

逐一出示题目并由学生完成.此处不必对自变量取值范围作深入追究,重在正确得出关系式.

注意选题时各小题表示变量的字母虽然不同,但结构相同,进一步揭示函数的本质在于对变量间对应关系的反映,而与所取符号无关.

2.思考：

上面这些函数有什么共同点?

你能再举出一些例子吗？

引导学生自己得出上面这些函数的形式都是自变量的走（常数）倍与一个常数的和.并把它们抽象为y=kx+b的形式.

在探索过程中,发展抽象思维及概括能力.理解抽象的符号揭示的是一般规律.

3.抽取共性,形成概念

一般地,形如y=kx+b（k、b是常数,k≠O）的函数,叫做一次函数.

4.回顾反思,追求统一

本节涉及的函数y=15-6x,c=7t-35,g=h-105,y=0.01x+22,y=-5x+50都不符合正比例函数的结构,都不是正比例函数,而是一次函数.

那么像y=2x,y=

x这些正比例函数是否符合一次函数的结构呢?

在怎样的情况下符合?

这说明了什么?

注:

从一开始的y=15-6x不是正比例函数,引出一次函数的形成,似乎已经画了一个句

号.但细敲之下,里面还大有文章.这能给学生带来一种震撼与感悟.

5.达成共识,完善认知

学生通过讨论达成共识：

当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以正比例函数其实是一种特殊的一次函数.

应当使学生领会：

正比例函数首先是一次函数,其次它是特殊的一次函数.

概念的辨析

教科书P.128练习1：

下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?

①y=-8x；②y=5x2+6；③y=

;④y=-0.5x-1

特别注意：

回答哪些是一次函数时需包含正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.

注:

对解析式结构分析与比较,加深对已有知识的理解,促进认知结构的完善.

应用与问题解决

1.教科书P.128练习2、3

注:

逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力.

补充：

2.气温随着高度的增加而下降,下降的一般规律是从地面到高空11km处,每升高1km,气温下降6℃.高于11km时,气温几乎不再变化,设地面的气温为38℃,高空中xkm的气温为y℃.

（1）当0≤x≤11时,求y与x之间的关系式?

（2）求当x=2、5、8、11时,y的值?

（3）求在离地面13km的高空处,气温是多少度?

（4）当气温是-16℃时,问在离地面多高的地方?

回顾与小结

1.回顾函数、正比例函数、一次函数的概念与它们间的关系.

注:

引导学生用语言叙述自己的理解,理解要正确清晰.

2.感受数学的抽象与广泛应用.体会结构的重要.

布置作业

教科书P.135习题11.2第3题.

教学反思

14.2.2一次函数

（2）

教学目标

①了解一次函数（包括正比例函数）的图象与性质,了解常数k,b的意义和作用.

②能用简便方法熟练作出一次函数的图象③经历利用函数图象研究函数性质的过程,发展观察、比较、抽象和概括能力,体验“数形结合”的思想与方法.

教学重点与难点

重点：

一次函数（包括正比例函数）图象与性质.

难点：

如何使学生通过自己的实践与探究发现图象的特点与性质.

教学准备

教师准备：

作图工具、多媒体课件.

学生准备：

作图工具、方格子纸若干张.

教学设计

复习与反思

1.复习：

正比例函数的图象与性质.

2.反思：

①正比例函数是特殊的一次函数,正比例函数的图象是直线,那么一次函数的图象也会是一条直线吗?

②从解析式上看,一次函数y=kx+b与正比例函数y=kx只差一个常数b,体现在图象上,又会有怎样的关系呢?

注:

体现特殊与一般的关系并引发猜想.渗透数形相互影响的思想.

探究新知

1.画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象.

注:

（1）学生通过列表、描点、连线画出图象,使用课前准备好的方格子纸（或由教师统一发下）可以节约时间提高效率.

（2）同时画出这两个函数的图象旨在便于观察k相同,b不同时图象间的关系.

2.观察与比较

比较上面两个函数的图象的相同点与不同点.填出你的观察结果并与同伴交流.

这两个函数的图象形状都是____,并且倾斜程度_____.

函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点____,

即它可以看作由直线y=-6x向____平移____个单位长度而得到.

注:

先独立观察比较发现规律,再经同伴间的交流、互相启发促进达成共识.

3.探究

比较两个函数的解析式与图象,你能解释这是为什么吗?

注:

建议引导学生理性思考并回答.允许学生按自己的理解从不同角度解释,形成个性化的学习体验.

4.猜想

你得到的结论具有一般性吗?

不画图,你能说出一次函数y=3x-4的图象是什么形状吗?

它与直线y=3x有什么关系?

你能解释其中的道理吗?

注:

（1）鼓励学生讨论,形成统一且正确的认识.

（2）鼓励学生用自己的语言归纳、互相补充,发展学生的抽象与概括能力.

（3）本题不再依赖操作与观察而是类比猜想,为最终概括结论的形成再加一个台阶.

5.结论

一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.

（当b>0时,向上平移；当b<0时,向下平移）

注:

鼓励学生用自己的语言说出,教师再完整出示.

巩固与应用

画出函数y=2x-1与y=-2x+1的图象.

思路1：

由于一次函数的图象是直线,故选择其上合适两点即可画出.

思路2：

先画直线y=2x与直线y=-2x,再平移它们,也能得到.

注:

让学生说出你是怎么做的,再谈谈这个方法你是怎样想到的.

教科书例2、例3以及P.30对性质的探究,所画的图象都互相独立,这样时间占用较多.

将例3稍作修改,既不影响例3本身的作用又可节约时间并使研究连成整体.

研究的深入

在上题的基础上,继续画出函数y=x+1,y=-x-1的图象,分析这些图象的特点,并由它们联想：

一次函数解析式y=kx+b（k,b是常数,k≠0）中,k的正负对函数图象有什么影响?

注:

鼓励学生用自己的语言说出,教师引导学生归纳与概括从而形成一次函数的性质：

当k>0时,y随x的增大而增大；当k<0时,y随x的增大而减小.

回顾与反思

在本节课中,我们经历了怎样的过程?

有怎样的收获?

1.一次函数的图象与性质,常数k,b的意义和作用；

2.数形结合的思想与方法；

3.进一步体验研究函数的一般思路与方法.

对学习过程与结果的回顾

反思进一步加深对新知的理解与感悟,不同层次感悟的程度肯定不一样,但最基本的一种感触应当让每个学生都达到.

布置作业：

必做题：

教科书P.131练习1、2、3题.

选做题：

教科书P.135习题11.2第4、8题.

教学反思

14.2.2一次函数（3）

教学目标

①了解待定系数法的思维方式与特点.明确两个条件确定一个一次函数、一个条件确定一个正比例函数的基本事实.

②会根据所给信息用待定系数法求一次函数解析式,发展解决问题的能力.

③进一步体验并初步形成“数形结合”的思想方法.

教学重点与难点

重点：

根据所给信息确定一次函数的表达式.

难点：

培养数形结合解决问题的能力.

教学设计

复习与反思

1.复习：

画出函数y=

x与y=3x-1的图象

2.反思：

你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?

你为何选取这几个点?

可以有不同取法吗?

注:

前面学习中是通过描点法画出一次函数的图象,发现它们的特点与性质.再利用发现的结论形成图象的简便画法.此处则是对简便画法本身的进一步反思,从而初步感知基本量,为待定系数法思想的形成做好准备.

3.引入：

在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下,我们可以说出它的图象特征及有关性质；反之,如果给你信息,你能否求出函数的表达式呢?

这将是本节课我们要研究的问题.

提出问题、形成思路

1.求下图中直线的函数表达式：

图1图2

注:

在前面学习中,学生都是先有解析式（数）,再由数出发探求.这里反过来,是先有图再探求数,是一种思维的逆向.

2.分析与思考：

根据原有经验,图1的解析式学生可凭经验与直觉答出.但图2的解析式凭直觉不易得出.应引导学生进行理性思考.

注:

给学生充分的时间进行分析与思考,体现课堂的动态生成与灵动.经历从直觉经验到理性思考的过程,也促进学生体会数学学习的特点与魅力.

从图象知,图1中直线的函数是正比例函数,故其解析式必为y=kx+b形式,关键是如何求出k的值；同样由图可知图象经过点（1,2）,所以该点坐标必适合解析式,将坐标代入y=kx即可求出k的值.

图2中直线的函数是一次函数,故其解析式为y=kx+b形式,同样代入直线上两点（2,0）与（0,3）即可求出k、b,确定解析式.

注:

教学时,应让学生充分表达自己的想法,并在讨论交流中清晰思路.

3.反思小结：

确定正比例函数的表达式需要1个条件,

确定一次函数的表达式需要2个条件.

初步应用、感悟新知

1.例题：

已知一次函数的图象经过点（3,5）与（-4,-9）.求这个一次函数的解析式.

注:

在前面形成思路的基础上,此题的解答应突出解题过程的完整.教师应作好板演示范.

这个问题涉及数学对象的一个本质概念－－基本量.鼓励学生做这样的思考,有助于增强其对数学对象的理解.

与前面的例子相比，从直观的图形信息到文字形式展示,本质上是一样的,更突出2个基本量的事实.适时进行规范解题过程的示范是必要的.

2.回顾并介绍：

像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体写出这个式子的方法,叫做待定系数法.

3.反思体会：

在前面的学习过程中我们发现数与形之间是怎样结合互化的.

对数←→形基本状态的概括整理,使原有认知清晰化、结构化.

综合运用

1.写出两个一次函数,使它们的图象都经过点（-2,3）.

2.生物学家研究表明,某种蛇的长度y（cm）是其尾长x（cm）的一次函数,当蛇的尾长为6cm时,蛇长为45.5cm；当尾长为14cm时,蛇长为105.5cm.当一条蛇的尾长为10cm时,这条蛇的长度是多少?

注:

在分析解决问题中巩固加深已有知识与经验,发展解决问题的能力.

4道题目可视学生情况机动处理,着眼于学生的发展,体现教学的层次性.第1、2两题当堂解决,由学生完成；下面3、4两题可视教学情况灵活处理（比如作为选做题）.

3.教科书P.35第6题：

一个一次函数的图象是经过原点的直线,并且这条直线过第四象限及点（2,-3a）与点（a,-6）,求这个函数的解析式.

4.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内,准备捐给希望工程,盒内钱数y（元）与存钱月数x（月）之间的关系如图所示,根据下图回答下列问题：

①求出y关于x的函数解析式.

②根据关系式计算,小明经过几个月才能存够200元?

回顾反思

1.用待定系数法求函数解析式的一般步骤（过程）

2.数形结合解决问题的一般思路.

作业

1.必做题：

教科书P.132练习1、2,135页习题11.2第5题

2.选做题：

教科书P.135第7题.

教学反思

14.2.2一次函数（4）

教学目标

①了解分段函数的特点,会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象.

②在涉及多变量的问题的解决中,能合理选择某个变量作为自变量,然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数.

③能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题,发展学生的数学应用能力.

④体会并感知数学建模的一般思想.

教学重点与难点

重点：

分段函数的初步认识与简单多变量问题的解决.

难点：

对数学建模的过程、思想、方法的领会,提升分析解决问题的能力.

教学准备

教师准备：

多媒体课件.

学生准备：

作图工具、方格子纸.

教学设计

1．复习：

在课本“11.1.3函数的图象”的学习中,我们曾学习了类似于下图的图象.

2.激疑：

上图的图象所表示的函数是正比例函数吗?

是一次函数吗?

你是怎样认为的?

注:

在前面函数图象的学习中,学生已接触了此类图象并能根据图象信息回答相应的问题.但在学生的印象中这个图只是表明了两个变量间的一种变化关系,是一种函数关系,而不知是什么类型的函数.在熟悉又陌生的事物面前,学生的思想被激发了.

学生可以从图象的特征,函数的性质等多方面进行讨论,教师先不必给出明确的判断,而是引导学生继续思考下面的问题.

探求新知

1.问题：

小芳以200米/分钟的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,又匀速跑10分钟.请写出这段时间里她的跑步速度y（米/分钟）随跑步时间x（分钟）变化的函数关系式.

注:

让学生通过讲述暴露其思维过程,有利于理清学生的思路.

建议先让学生思考后再让学生发言,对于有补充或不同意见的学生都让其充分发表意见.应当鼓励学生说出自己的思考过程（即你是怎样想的）.

然后由一位学生上前写出函数关系式,再分析其写法的准确性.

归纳此类函数解析式的特征与写法,并强调自变量取值范围应当写在相应函数解析式的后面.

突出写法的规范性,这是需要强调的基本功,应当落实到位.同时使学生初步从数的角度感受此类函数的特征.

2.请画出上述函数的图象.

建议通过投影仪将学生的成果展示评判,首先引导学生分析所画的图象是否正确,再引导学生分析图象的特点,并在与正比例函数、一次函数图象的比较中加深理解其特征.

注:

从数与形的角度全面感受分段函数的特点,并在与正比例函数、一次函数的比较中加深理解,完善认知.

3.得出分段函数的概念.

我们称此类函数为分段函数.开始时引入图象所表示的函数是分段函数吗?

你能写出它的解析式吗?

说说你的

做法.

注:

可视学生情况当堂解决或统一解题思路后课外解答.

在获取新知的基础上,回过来解决开头引入的问题,进一步享受学习的成功.

问题解决

1.提出问题：

A城有肥料200吨,B城有肥料300吨,现要把这些肥料全部运往C、D两乡.从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元,现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨,怎样调运可使总运费最小?

2.分析思考：

影响总运费的变量有哪些?

由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有几个量?

这些量之间有什么关系?

在分析题意的过程中,学生发现由A、B城分别运往C、D乡的肥料量共有4个量,它们都影响这总运费,同时,它们之间又是互相联系的.由于有七年级方程（组）以及不等式解决实际问题的经验,可以引导学生列表以分清各变量之间的关系.

3.解决问题：

师生共作,完成解题.可从解析式与图象中看出结果,结合函数性质进行理性思考.

4.回顾反思：

解决含有多个变量的问题时,可以分析这些变量间的关系,选取其中某个变量作为自变量,然后根据问题中的条件寻求可以反映实际问题的函数.

如果已知总运费的数目,求调运方案,则是学生学过的方程知识可以解决的,学生有这样的解题经验.如果是已知总运费的最大值,则用不等式知识可以解决.如果已知其中A—C的运量,则正向思维即可求总运费,这是算术思想就可以解决的.而此题是在变化情景中探求,突出变量数学的特征,此时亦可使学生初步感受函数方法与前述方法的联系,为下一单元用函数观点看方程与不等式埋下伏笔.这些感受可以在分析思考或回顾反思中视情况渗透.

拓展与思考

拓展：

若A城有肥料300吨,B城有肥料200吨,其他条件不变,又应怎样调运?

由学生用同样思路建立模型：

设总运费为y元,A城运往C乡的肥料量为x吨.可得：

y=4x+10140（40≤x≤240）

在讨论分析中得出结论,从解析式与图象以及函数性质可以看出：

当x=40时,y有最小值10300.

思考：

在上题的解决中,你认为在解决此类问题时需要注意哪些方面?

变式运用,可以巩固初学的知识与方法,加深领会.此变式初看是题变方法不变,似乎简单.可深入后又发现不变中又有变,从而加深对此类问题求解的感悟,明白自变量取值范围的重要性,以及解题的关键是在一般策略下具体问题具体分析,而非死记硬套.从而也有效促进其认知监控水平的提高.

布置作业

1.必做题：

教科书P.134练习、P.135习题11.2第1～9题.

2.选做题：

教科书P.136习题11.2第11、12题.

教学反思

14.3.1一次函数与一元一次方程

教学目标

①理解一次函数与一元一次方程的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题.

②学习用函数的观点看待方程的方法,初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.

③经历方程与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.

教学重点与难点

重点：

一次函数与一元一次方程的关系的理解.

难点：

一次函数与一元一次方程的关系的理解.

教学设计

导语

前面我们学习了一次函数.实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应,互相依存.它与我们七年级学过的一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组有着必然的联系.这节课开始,我们就学着用函数的观点去看待方程（组）与不等式,并充分利用函数图象的直观性,形象地看待方程（组）不等式的求解问题.这是我们学习数学的一种很好的思想方法.

注:

点明学习本节内容的必要性：

（1）函数与方程、方程组、不等式有着必然的联系；

（2）用函数的观点看待方程、方程组、不等式是我们学数学应该掌握的思想方法.给学生一个本节内容的大致框架.

引入新课

我们先来看下面的两个问题有什么关系：

（1）解方程2x+20=0.

（2）当自变量为何值时,函数y=2x+20的值为零?

问题：

①对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看,有什么相同和不同的地方?

②从问题本质上看,

（1）和

（2）有什么关系?

③作出直线y=2x+20（建议课前作出,以免影响本节课主题）,看看

（1）与

（2）是怎么样的一种关系?

注:

用具体问题作对比,帮助学生理解.

在学生议论的基础上,教师结合教科书38页揭示：

（1）与

（2）实际上是同一个问题.

探讨归纳

从前面的讨论我们可以看到：

一个一元一次方程的求解问题,可以与解某个相应的一次函数问题相一致.你认为在一般情况下,怎样的解一元一次方程问题与怎样的一次函数问题是同一的?

学生小组讨论（鼓励学生用自己的语言说明为什么同一?

图象上怎么看?

函数方程形式上怎么看?

）

师生共同归纳（教科书39页）（略）

让学生在探究过程中理解两个问题的同一性.

练习巩固

1.以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一个问题

序号

一元一次方程问题

一次函数问题

1

解方程3x-2=0

当x为何值时,y=3x-2的值为O?

2

解方程8x+3=0

3

当x为何值时,y=-7x+2的值为O?

4

解：

（略）

注：

第4题为开放题,鼓励学生有自己的想法与见解.如“解方程3x+5=8”与“当x为何值时,函数y=3x+5的值为8”是同一个问题等等

2.根据下列图象,你能说出哪些一元一次方程的解?

并直接写出相应方程的解?

解：

5x=0的解是x=0；x+2=0的解是x=-2；-3x+6=0的解是x=2；

由图象可得函数关系式是y=x-1,从而得出x-1=0的解是x=1.

注:

此处练习为补充.可以帮助学生在积累了一些理性认识的基础上,增加更多的形象

了解.

综合应用

教科书P.139例1（略）

对于解法2,还可以拓展成：

对于函数y=2x+5,当y=17时,求x的值.鼓励学生进一步思考.

注:

例1可看成是一次函数与一元一次方程关系的一个直接应用.

归纳提高

框图化小结：

从数的角度看：

求ax+b=0（a≠O）的解

x为何值时y=ax+b的值为0

从形的角度看：

求ax+b=0（a≠0）的解

确定直线y=ax+b与x轴的横坐标

从数和形两方面总结,帮助学生建立数形结合的观念.

布置作业

教科书P.145习题11.3第1、2题.

教学反思

14.3.2一次函数与一元一次不等式

教学目标

1理解一次函数与一元一次不等式的关系,会根据一次函数的图象解决一元一次不等

式的求解问题.

②学习用函数的观点看待不等式的方法,初步形成用全面的观点处理局部问题的思想.

③经历不等式与函数关系问题的探究过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想.

教学重点与难点

重点：

一次函数与一元一次不等式的关系的理解.

难点：

利用一次函数图象确定一元一次不等式的解集.

教学设计

复习引新

通过上节课的学习,我们已经知道,“解一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时,y=ax+b的值为0”是同一个问题.现在我们来看看：

（1）以下两个问题是不是同一个问题?

①解不等式：

2x-4>0

②当x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?

此处对教科书上引例稍作改变,让学生顺着上节课的思维,用类似的观点处理不等式问题.

（2）你如何利用图象来说明②?

（师生对以上两个问题一起议论,一起得出结论）

注:

当y取值从上节课的等于0变成了这节课的大于0,相应的x值也由一个定值变成一个范围；如何在图象上看,对学生来说需要思维的跳跃.

（3）“解不等式2x-4<0”可以与怎样的一次函数问题是同一的?

怎样在图象上加以说明?

这里安排（3）是及时巩固,使学生对y

阅读讨论

（1）让学生阅读教科书P.40内容,读后分组讨论：

你是如何思考书上提出的问题的?

你是如何理解书上最后一段的结论的?

让学生在讨论与思考中得出一般性结论.

（2）师生共同归纳.

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0的形式,所以解一元一次不等式可以看作：

当一次函数y=ax+b的值大（小）于0时,求自变量相应的取值范围.

新知应用

1.根据下列一次函数的图象,你能求出哪些不等式的解集?

并直接写出相应不等式的解集.

（1）

（2）

（对每一题都能写出四种情况（>0,<0,≥0,≤O）,

让学生在充分理解的基础上写出对应的x的取值范围.先小组内交流,然后反馈矫正.

注:

此处练习为补充.在没有涉及完整的图象法解一元一次不等式以前设计这样的练习,使画图象这一已会的过程暂时忽略,突出函数与不等式关系这一重点.同时进一步熟悉利用图象确定解集的方法.

解：

（1）（略）

（2）由图象可以得