二次函数初中数学组卷.docx
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二次函数初中数学组卷
2014年06月11日二次函数初中数学组卷
一．选择题（共2小题）
1．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：
随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数
的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）
A．
5
B．
C．
4
D．
17﹣4π
2．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：
①∠EDF=90°；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③AD2+AF2=DG•DB；④若MC=
，则BF=2；
正确的结论有（ ）
A．
①②
B．
①②③
C．
③④
D．
①②③④
二．填空题（共1小题）
3．（2014•道外区三模）在等边△ABC中，BC=5，P在直线BC上，且BP：
PC=1：
4，AP的垂直平分线交AB于点M，交△ABC的另一边于点N，那么AN的长是 _________ ．
三．解答题（共17小题）
4．（2014•道外区三模）在等腰△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为AB的中点，以AC为斜边作直角△APC，连接PD．
（1）当点P在△ABC的内部时（如图1），求证
PD+PC=AP；
（2）当点P在△ABC的外部时（如图2），线段PD、PC、AP之间的数量关系是 _________ ．
（3）在
（2）的条件下，PD与AC的交点为E，连接CD（如图3），PC：
EC=7：
5，PD=
（AP＜PC），求线段PB的长．
5．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）尺规作图：
在AC上求作一点P，使BP+PC=AB．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在已作的图形中，连接PB，若AB=2cm，求底边BC的长．
6．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=
与一次函数y=kx+b（k＞0）分别交于点A与点B，直线与y轴交于点C，把直线AB绕着点C旋转一定的角度后，得到一条新直线．若新直线与双曲线y=
相交于点E、F，并使得双曲线y=
，y=
，连线y=kx+b以及新直线构成的图形能关于某条坐标轴对称，如果点A的横坐标为1，则点A、点E、点B、点F构成的四边形的面积是多少？
（用含k的代数式表示）
7．如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在
（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
8．（2014•南岗区三模）已知四边形ABCD中．AD=AB，AD∥BC，∠A=90°，M为边AD的中点，F为边BC上一点，连接MF，过射点作ME⊥MF，交边AB于点E
（1）如图1，当∠ADC=90°时，求证：
4AE+2CF=CD；
（2）如图2，当∠ADC=135°时，线段AE、CF、CD的数量关系为 __
（3）如图3．在
（1）的条件下，连接EF、EC，EC与FM相交于点K，线段FM关于FE对称的线段与AB相交于点N．若NE=
，FC=AE，求MK的长．
9．（2013•泉州质检）抛物线y=
x2﹣4x+k与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C（0，6），动点P在该抛物线上．
（1）求k的值；
（2）当△POC是以OC为底的等腰三角形时，求点P的横坐标；
（3）如图，当点P在直线BC下方时，记△POC的面积为S1，△PBC的面积为S2．试问S2﹣S1是否存在最大值？
若存在，请求出S2﹣S1的最大值；若不存在，请说明理由．
10．（2013•内江）已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．
（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：
S△ACD的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
11．（2013•南京）已知二次函数y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．
（1）求证：
不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D．
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
12．（2013•娄底）已知：
一元二次方程
x2+kx+k﹣
=0．
（1）求证：
不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）设k＜0，当二次函数y=
x2+kx+k﹣
的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式；
（3）在
（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？
13．（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接OM，求∠AOM的大小；
（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
14．（2013•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；
（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．
15．（2013•天津）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：
（Ⅰ）求y1与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）．
（1）求y2与x之间的函数关系式；
（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．
x
…
﹣1
0
3
…
y1=ax2+bx+c
…
0
0
…
16．（2013•永州）如图，已知二次函数y=（x﹣m）2﹣4m2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．
（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；
（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；
（3）在
（2）的基础上，设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．
17．（2013•常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（
，
），对称轴为直线x=﹣
，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=
MP，MD=
OM，OE=
ON，NF=
NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：
以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？
若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2013•郴州）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？
19．（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：
△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：
在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？
若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
20．（2013•长沙）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：
满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：
当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y=
是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？
请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；
（3）若二次函数y=
x2﹣
x﹣
是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．
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