版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第八章第4节.docx
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版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第八章第4节
第4节 直线、平面平行的判定及其性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
知识梳理
1.直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.
（2）判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面
a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α,a⊂β,α∩β＝b⇒a∥b
2.平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
（2）判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
a⊂α,b⊂α,a∩b＝P,a∥β,b∥β⇒α∥β
性质定理
两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β,a⊂α⇒a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b
[微点提醒]
平行关系中的三个重要结论
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
（2）平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
（3）垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.（ ）
（2）若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.（ ）
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（ ）
（4）如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（ ）
解析
（1）若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故
（1）错误.
（2）若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故
（2）错误.
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故（3）错误.
【参考答案】
（1）×
（2）× （3）× （4）√
2.（必修2P61A1
（2）改编）下列说法中,与“直线a∥平面α”等价的是（ ）
A.直线a上有无数个点不在平面α内
B.直线a与平面α内的所有直线平行
C.直线a与平面α内无数条直线不相交
D.直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
解析 因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此a和平面α内的任意一条直线都不相交,故选D.
【参考答案】D
3.（必修2P61A1
（1）改编）下列命题中正确的是（ ）
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
解析 根据线面平行的判定与性质定理知,选D.
【参考答案】D
4.（2018·长沙模拟）已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是（ ）
A.m∥α,n∥α,则m∥nB.m∥n,m∥α,则n∥α
C.m⊥α,m⊥β,则α∥βD.α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
解析 A中,m与n平行、相交或异面,A不正确；B中,n∥α或n⊂α,B不正确；根据线面垂直的性质,C正确；D中,α∥β或α与β相交,D错.
【参考答案】C
5.（2019·成都月考）若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内且过B点的所有直线中（ ）
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
解析 当直线a在平面β内且过B点时,不存在与a平行的直线,故选A.
【参考答案】A
6.（2019·衡水开学考试）如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH,
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF,
平面EFGH∩平面DCGH＝HG,
∴EF∥HG.同理EH∥FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
【参考答案】平行四边形
考点一 与线、面平行相关命题的判定
【例1】
（1）（2019·开封模拟）在空间中,a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是（ ）
A.若a⊥c,b⊥c,则a∥b
B.若a⊂α,b⊂β,α⊥β,则a⊥b
C.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
D.若α∥β,a⊂α,则a∥β
（2）（2018·聊城模拟）下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是（ ）
解析
（1）对于A,若a⊥c,b⊥c,则a与b可能平行、异面、相交,故A是假命题；
对于B,设α∩β＝m,若a,b均与m平行,则a∥b,故B是假命题；
对于C,a,b可能平行、异面、相交,故C是假命题；
对于D,若α∥β,a⊂α,则a与β没有公共点,则a∥β,故D是真命题.
（2）在B中,如图,连接MN,PN,
∵A,B,C为正方体所在棱的中点,
∴AB∥MN,AC∥PN,
∵MN∥DE,PN∥EF,
∴AB∥DE,AC∥EF,
∵AB∩AC＝A,DE∩EF＝E,
AB,AC⊂平面ABC,DE,EF⊂平面DEF,
∴平面ABC∥平面DEF.
【参考答案】
（1）D
（2）B
规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.
2.
（1）结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
（2）特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
【训练1】
（1）下列命题正确的是（ ）
A.若两条直线和同一个平面平行,则这两条直线平行
B.若一条直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行
C.若一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行
（2）（2018·安庆模拟）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP＝
BD1,则下面说法正确的是________（填序号）.
①MN∥平面APC；②C1Q∥平面APC；③A,P,M三点共线；④平面MNQ∥平面APC.
解析
（1）A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交；对于B选项,如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等,但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交.C正确.
（2）如图,对于①,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM,CN,
易得AM,CN交于点P,即MN⊂平面APC,所以MN∥平面APC是错误的.
对于②,由①知M,N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,且AN⊂平面APC,C1Q⊄平面APC.
所以C1Q∥平面APC是正确的.
对于③,由①知,A,P,M三点共线是正确的.
对于④,由①知MN⊂平面APC,又MN⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.
【参考答案】
（1）C
（2）②③
考点二 直线与平面平行的判定与性质
多维探究
角度1 直线与平面平行的判定
【例2－1】（2019·东北三省四市模拟）在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA＝AB＝1.
（1）证明:
EF∥平面PDC；
（2）求点F到平面PDC的距离.
（1）证明 取PC的中点M,连接DM,MF,
∵M,F分别是PC,PB的中点,∴MF∥CB,MF＝
CB,
∵E为DA的中点,四边形ABCD为正方形,
∴DE∥CB,DE＝
CB,
∴MF∥DE,MF＝DE,∴四边形DEFM为平行四边形,
∴EF∥DM,∵EF⊄平面PDC,DM⊂平面PDC,
∴EF∥平面PDC.
（2）解 ∵EF∥平面PDC,∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥DA,在Rt△PAD中,PA＝AD＝1,∴DP＝
.
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CB,∵CB⊥AB,PA∩AB＝A,∴CB⊥平面PAB,
∴CB⊥PB,则PC＝
∴PD2＋DC2＝PC2,
∴△PDC为直角三角形,
∴S△PDC＝
×1×
＝
.
连接EP,EC,易知VE－PDC＝VC－PDE,设E到平面PDC的距离为h,
∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA＝A,∴CD⊥平面PAD,
则
×h×
＝
×1×
×
×1,∴h＝
∴点F到平面PDC的距离为
.
角度2 直线与平面平行性质定理的应用
【例2－2】（2018·上饶模拟）如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为2,E,F分别是棱DD1,C1D1的中点.
（1）求三棱锥B1－A1BE的体积；
（2）试判断直线B1F与平面A1BE是否平行,如果平行,请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线,并说明理由.
解
（1）如图所示,VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝
S△A1B1B·DA＝
×
×2×2×2＝
.
（2）B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H,连BH交CD于点G,则BG就是所求直线.证明如下:
因为BA1∥平面CDD1C1,平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE,所以A1B∥GE.
又A1B∥CD1,所以GE∥CD1.
又E为DD1的中点,则G为CD的中点.
故BG∥B1F,BG就是所求直线.
规律方法 1.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”；而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.
【训练2】（2017·江苏卷）如图,在三棱锥A－BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F（E与A,D不重合）分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:
（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
证明
（1）在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD,
则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,
∴EF∥平面ABC.
（2）∵BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD＝BD,平面ABD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,
∴BC⊥平面ABD.
∵AD⊂平面ABD,∴BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC,AB⊂平面ABC,BC∩AB＝B,
∴AD⊥平面ABC,
又因为AC⊂平面ABC,∴AD⊥AC.
考点三 面面平行的判定与性质
典例迁移
【例3】（经典母题）如图所示,在三棱柱ABC－A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
（1）B,C,H,G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
证明
（1）∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,
∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.
（2）∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,
∴A1G綉EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【迁移探究1】在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示,连接A1C交AC1于点M,
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点,连接MD,
∵D为BC的中点,
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1,
DM⊄平面A1BD1,
∴DM∥平面A1BD1,
又由三棱柱的性质知,D1C1綉BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,
∴DC1∥平面A1BD1,
又DC1∩DM＝D,DC1,DM⊂平面AC1D,
因此平面A1BD1∥平面AC1D.
【迁移探究2】在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“点D,D1分别是AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1”,试求
的值.
解 连接A1B交AB1于O,连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O,所以BC1∥D1O,则
＝
＝1.
又由题设
＝
∴
＝1,即
＝1.
规律方法 1.判定面面平行的主要方法
（1）利用面面平行的判定定理.
（2）线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）.
2.面面平行条件的应用
（1）两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行.
（2）两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
【训练3】（2019·南昌二模）如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AB＝2CD＝2AD＝4,侧面PAB是等腰直角三角形,PA＝PB,平面PAB⊥平面ABCD,点E,F分别是棱AB,PB上的点,平面CEF∥平面PAD.
（1）确定点E,F的位置,并说明理由；
（2）求三棱锥F－DCE的体积.
解
（1）因为平面CEF∥平面PAD,平面CEF∩平面ABCD＝CE,
平面PAD∩平面ABCD＝AD,
所以CE∥AD,又AB∥DC,
所以四边形AECD是平行四边形,
所以DC＝AE＝
AB,
即点E是AB的中点.
因为平面CEF∥平面PAD,平面CEF∩平面PAB＝EF,平面PAD∩平面PAB＝PA,
所以EF∥PA,又点E是AB的中点,
所以点F是PB的中点.
综上,E,F分别是AB,PB的中点.
（2）连接PE,由题意及
（1）知PA＝PB,AE＝EB,
所以PE⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD＝AB,
所以PE⊥平面ABCD.
又AB∥CD,AB⊥AD,
所以VF－DEC＝
VP－DEC＝
S△DEC×PE＝
×
×2×2×2＝
.
[思维升华]
1.转化思想:
三种平行关系之间的转化
其中线面平行是核心,线线平行是基础,要注意它们之间的灵活转化.
2.直线与平面平行的主要判定方法
（1）定义法；
（2）判定定理；（3）面面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
（1）定义法；
（2）判定定理；（3）推论；（4）a⊥α,a⊥β⇒α∥β.
[易错防范]
1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误.
2.面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件.
3.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,易误认为这两个平面平行,实质上也可以相交.
4.运用性质定理,要遵从由“高维”到“低维”,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.
基础巩固题组
（建议用时:
40分钟）
一、选择题
1.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则（ ）
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α与直线l至少有两个公共点
D.α内的直线与l都相交
解析 因为l⊄α,直线l不平行于平面α,所以直线l只能与平面α相交,于是直线l与平面α只有一个公共点,所以平面α内不存在与l平行的直线.
【参考答案】B
2.（2019·大连双基测试）已知直线l,m,平面α,β,γ,则下列条件能推出l∥m的是（ ）
A.l⊂α,m⊂β,α∥βB.α∥β,α∩γ＝l,β∩γ＝m
C.l∥α,m⊂αD.l⊂α,α∩β＝m
解析 选项A中,直线l,m也可能异面；选项B中,根据面面平行的性质定理,可推出l∥m,B正确；选项C中,直线l,m也可能异面；选项D中,直线l,m也可能相交.故选B.
【参考答案】B
3.（2018·长郡中学质检）如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是（ ）
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能
解析 在三棱柱ABC－A1B1C1中,AB∥A1B1,
∵AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,
∴A1B1∥平面ABC,∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1,∴DE∥AB.
【参考答案】B
4.（2018·重庆六校联考）设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是（ ）
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
解析 对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理,选项B、C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.
【参考答案】D
5.（2019·合肥模拟）若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）
A.0条B.1条
C.2条D.1条或2条
解析 如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH.
∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,
∴EF∥平面BCD.
又∵EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD＝CD,∴EF∥CD.
又EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH.
∴CD∥平面EFGH,同理,AB∥平面EFGH,
所以与平面α（面EFGH）平行的棱有2条.
【参考答案】C
二、填空题
6.（2018·杭州模拟）如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF＝________.
解析 根据题意,因为EF∥平面AB1C,所以EF∥AC.又E是AD的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE＝DF＝1,故EF＝
.
【参考答案】
7.如图,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α,β之间,若AB＝2,AC＝1,∠BAC＝60°,OA∶OA′＝3∶2,则△A′B′C′的面积为________.
解析 相交直线AA′,BB′所在平面和两平行平面α,β相交于AB,A′B′,所以AB∥A′B′.同理BC∥B′C′,CA∥C′A′.所以△ABC与△A′B′C′的三内角相等,所以△ABC∽△A′B′C′,
＝
＝
.S△ABC＝
×2×1×
＝
所以S△A′B′C′＝
×
＝
×
＝
.
【参考答案】
8.（2019·郑州调研）设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n；
②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ；
③若α∩β＝n,m∥n,m∥α,则m∥β；
④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.
其中是真命题的是________（填上正确命题的序号）.
解析 ①m∥n或m,n异面,故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β,故③错误；④α∥β或α与β相交,故④错误.
【参考答案】②
三、解答题
9.（2019·武汉模拟）已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形,侧面PAB⊥平面ABCD,E是棱PA的中点.
（1）求证:
PC∥平面BDE；
（2）平面BDE分此棱锥为两部分,求这两部分的体积比.
（1）证明 在平行四边形ABCD中,连接AC,设AC,BD的交点为O,则O是AC的中点.
又E是PA的中点,连接EO,则EO是△PAC的中位线,所以PC∥EO,
又EO⊂平面EBD,PC⊄平面EBD,所以PC∥平面EBD.
（2）解 设三棱锥E－ABD的体积为V1,高为h,四棱锥P－ABCD的体积为V,
则三棱锥E－ABD的体积V1＝
×S△ABD×h,
因为E是PA的中点,所以四棱锥P－ABCD的高为2h,
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝
×S四边形ABCD×2h＝4×
S△ABD×h＝4V1,
所以（V－V1）∶V1＝3∶1,
所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.
10.如图,ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:
（1）BE∥平面DMF；
（2）平面BDE∥平面MNG.
证明
（1）连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,
连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
（2）因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,
又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点,
所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,
又MN⊂平面MNG,BD⊄平面MNG,
所以BD∥平面MNG,
又DE,BD⊂平面BDE,DE∩BD＝D,
所以平面BDE∥平面MNG.
能力提升题组
（建议用时:
20分钟）
11.（2019·石家庄模拟）过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有（ ）
A.4条B.6条C.8条D.12条
解析 如图,H,G,F,I是相应线段的中点,
故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中,
有FI,FG,GH,HI,HF,GI共6条直线.
【参考答案】B
12.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是（ ）
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
解析 A项,α,β可能相交,故错误；B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平
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