中考数学一轮复习 题型分类训练题型7 二次函数综合型问题.docx

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中考数学一轮复习题型分类训练题型7二次函数综合型问题

共24题　答对____题

1.（2017天水12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－

x2＋bx＋c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，－1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式；

（2）平移

（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为

时，试证明：

平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点；

（3）在

（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP＋BQ是否存在最小值？

若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

第1题图

2.（2017河北11分）如图，已知点O（0，0），A（－5，0），B（2，1），抛物线l：

y＝－（x－h）2＋1（h为常数）与y轴的交点为C.

（1）若l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；

（2）设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1>x2≥0，比较y1与y2的大小；

（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．

第2题图

3.（2017武汉12分）已知抛物线y＝

x2＋c与x轴交于A（－1，0），B两点，交y轴于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图①完成你的探究）；

（3）如图②，点P是线段OB上一动点（不包括点O，B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．

第3题图

4.（2017大连12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m）．翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE.设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C、F、D的抛物线为y＝ax2＋bx＋c.

（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；

（2）若点G的坐标为（0，－3），求该抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM＝

EA？

若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．

第4题图

5.（2017河南11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F.点D，E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE.

（1）请直接写出抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置发现：

当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：

对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：

若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

第5题图

6.（2017呼和浩特12分）已知：

抛物线y＝x2＋（2m－1）x＋m2－1经过坐标原点，且当x<0时，y随x的增大而减小．

（1）求抛物线的解析式，并写出y<0时，对应x的取值范围；

（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B,DC⊥x轴于点C.

①当BC＝1时，直接写出矩形ABCD的周长；

②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

拓展训练试题——二次函数与图形面积问题

7.（2017安顺14分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋

与直线AB交于点A（－1，0），B（4，

）．点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标．

第7题图

8.（2017无锡12分）一次函数y＝

x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C.

（1）求点C的坐标；

（2）设二次函数图象的顶点为D.

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；

②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

第8题图

9.（2017桂林12分）如图，已知抛物线y＝－

x2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．

（1）直接写出抛物线的解析式：

____________________；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式：

当t为何值时，△CED的面积最大？

最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

第9题图

10.（2017深圳12分）如图①，关于x的二次函数y＝－x2＋bx＋c经过点A（－3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC＝3S△EBC，若存在，求点F坐标，若不存在，说明理由．

第10题图

11.（2017黔东南州12分）如图，已知二次函数y1＝－x2＋

x＋c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b.

（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？

若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

第11题图

12.（2017兰州12分）已知二次函数y＝ax2的图象经过点（2，1）．

（1）求二次函数y＝ax2的解析式；

（2）一次函数y＝mx＋4的图象与二次函数y＝ax2的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点．

　①当m＝

时（图①），求证：

△AOB为直角三角形；

　②试判断当m≠

时（图②），△AOB的形状，并证明；

（3）根据第

（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）

第12题图

13.（2017长春12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x－1）2＋4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（3，0），点P在这条抛物线上，且不与B、C两点重合．过点P作y轴的垂线与射线BC交于Q，以PQ为边作Rt△PQF，使∠PQF＝90°，点F在点Q的下方，且QF＝1，设线段PQ的长度为d，点P的横坐标为m.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）求d与m之间的函数关系式；

（3）当Rt△PQF的边PF被y轴平分时，求d的值；

（4）以OB为边作等腰直角三角形OBD，当0

第13题图

14.（2017岳阳12分）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？

若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？

若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

第14题图

15.（2014临沂13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（－1，0）和点B（1，0），直线y＝2x－1与y轴交于点C，与抛物线交于点C，D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A到直线CD的距离；

（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上．当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．

第15题图

16.（2017贵阳12分）如图，经过点C（0，－4）的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于A（－2，0），B两点．

（1）a________0，b2－4ac________0（填“>”或“<”）；

（2）若该抛物线关于直线x＝2对称，求抛物线的函数表达式；

（3）在

（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形，若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

第16题图

17.（2017毕节10分）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

（3）是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？

若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

第17题图

18.（2017陕西10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋5x＋4的顶点为M，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）求抛物线y＝x2＋5x＋4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；

（3）设

（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′、B′两点，与y轴交于C′点．在以A、B、C、M、A′、B′、C′、M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

19.（2017成都12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：

y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为

，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

20.（2014遵义14分）如图，二次函数y＝

x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（3，0）、B（－1，0），与y轴交于点C.若点P、Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

第20题图

21.（2017甘孜州12分）如图，已知抛物线y＝ax2－5ax＋2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线BC的解析式；

（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？

若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

第21题图

22.（2017黔南州12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－

x2＋bx＋c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.

（1）求b，c的值；

（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；

（3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？

若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．

第22题图

23.（2017哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx＋1（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y＝ax2－（6a－2）x＋b（a≠0）与直线AC交于另一点B，点B坐标为（4，3）．

（1）求a的值；

（2）点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，在x轴上点Q的右侧取点M，使MQ＝

，在QP的延长线上取点N，连接PM，AN，已知tan∠NAQ－tan∠MPQ＝

，求线段PN的长；

（3）在

（2）的条件下，过点C作CD⊥AB，使点D在直线AB下方，且CD＝AC，连接PD，NC，当以PN，PD，NC的长为三边长构成的三角形面积是

时，在y轴左侧的抛物线上是否存在点E，连接NE，PE，使得△ENP与以PN，PD，NC的长为三边长的三角形全等？

若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

24.（2017荆州12分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，□ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC＝6，∠BCD＝60°，点E是AB边上一点，AE＝3EB，⊙P过D、O、C三点，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点D、B、C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：

ED是⊙P的切线；

（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y＝ax2＋bx＋c上吗？

请说明理由；

（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．