新苏科版八年级数学上册单元测试《第2章 轴对称图形》E卷解析版.docx

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新苏科版八年级数学上册单元测试《第2章轴对称图形》E卷解析版

新苏科版八年级数学上册单元测试《第2章轴对称图形》E卷

一、选择题

1．下列四个汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（　　）

A．

三菱

B．

奔驰

C．

现代

D．

大宇

2．将一正方形纸片按图①、②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得的图案应该是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E．若AC=8cm，△ABE的周长为15cm，则AB的长为（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且CD=4cm，则AB的长为（　　）

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

5．已知等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（　　）

A．6cm或5cmB．7cm或5cmC．5cmD．7cm

6．已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

7．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（　　）

A．120°B．60°C．45°D．135°

8．如图，平面上有九个点，以这些点为顶点，能组成等腰梯形的个数是（　　）

A．0B．2C．4D．6

二、填空题

9．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形．

______

10．等腰△ABC中，∠A=80°，则∠B=______．

11．若等腰三角形底边上的高是底边的一半，则它的顶角度数为______．

12．若等腰梯形两底长度和是10，两底差是4，一底角为45°，则其面积为______．

13．如图，在等边△ABC中，AD与BE相交于点P，∠DPE=120°，AB=8，BD=2，则AE=______．

14．如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是______度．

15．如图，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．

（1）若∠C=70°，则∠BEC=______度；

（2）若BC=21cm，则△BCE的周长是______cm．

16．如图，∠MAN是一钢架，且∠MAN=15°，为使钢架更加坚固，需在其内部加一些钢管CD、DE、EF…添加的钢管长度都与AC相等，则最多能添加这样的钢管______根．

三、解答题

17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．

18．如图：

已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，若M为DC中点，且∠1=∠2，试说明梯形ABCD是等腰梯形．

20．小明发现：

若将4棵树栽于正方形的四个顶点上，如图①所示，则恰好构成一个轴对称图形．你还能找到其他两种栽树的方法，也使其组成一个轴对称图形吗？

请分别在图②、③中表示出来．如果栽5棵，又如何呢？

请在图④中表示出来．

21．马明和王群在解这样一道题：

“如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，AD=AC，BE=BC．求∠DCE的度数．”他们经过商量后，结论不一致，马明说：

“∠DCE的值与∠B有关，只有告诉∠B的度数才能求出∠DCE的度数．”王群说：

“∠DCE的度数是一个定值，与∠B的度数无关．”他们谁说的正确？

请说明理由．

22．如图①，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a＜b）．将纸片任意翻折（如图②），折痕为PQ（点P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内的一点C′处，PC′的延长线交直线AD于点M，再将纸片的另一部分翻折，使点A落在PM上的一点A′处，且A′M所在直线与PM所在直线重合（如图③），折痕为MN．猜想两折痕PQ、MN之间的位置关系，并说明理由．

23．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）图中有几个等腰三角形？

猜想：

EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．

（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？

如果有，分别指出它们．在第

（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？

（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？

EF与BE、CF关系又如何？

说明你的理由．

《第2章轴对称图形》

参考答案与试题解析

一、选择题

1．下列四个汽车标志图案中，不是轴对称图形的是（　　）

A．

三菱

B．

奔驰

C．

现代

D．

大宇

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称的定义结合各选项字母的特点即可得出答案．

【解答】解：

A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项正确；

D、是轴对称图形，故本选项错误；

故选：

C．

【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．

2．将一正方形纸片按图①、②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得的图案应该是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】剪纸问题．

【分析】一种方法是找一张正方形的纸按图1中

（1）

（2）的方式依次对折后，再沿图（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平所得的图案，另一种方法是看折的方式及剪的位置，找出与选项中的哪些选项不同，即可得出正确答案．

【解答】解：

在两次对折的时，不难发现是又折成了一个正方形，

第一次剪的是在两次对折的交点处，剪一小正方形，所以（C）（D）肯定错误，

第二次剪的是折成的小正方形的上面的一边，而另一边不变，所以（A）肯定错误，

故选：

B．

【点评】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行动手操作，可以直观的得到答案．

3．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E．若AC=8cm，△ABE的周长为15cm，则AB的长为（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】由题意可知BE=CE，因此AB=15﹣EC﹣AE=7cm．

【解答】解：

∵DE垂直平分线BC，

∴BE=CE，

∵AB+BE+AE=15cm，

∴AB+CE+AE=15cm，

∵AC=8cm，即CE+AE=8，

∴AB=7cm．

故选择B．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，关键在于求出BE=CE．

4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且CD=4cm，则AB的长为（　　）

A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm

【考点】直角三角形斜边上的中线．

【专题】计算题．

【分析】此题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形的性质直接求解．

【解答】解：

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，CD=4，

∴AB=2CD=8．

故选C．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．解决此题的关键是要熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

5．已知等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（　　）

A．6cm或5cmB．7cm或5cmC．5cmD．7cm

【考点】等腰三角形的性质．

【专题】计算题；分类讨论．

【分析】此题分为两种情况：

5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．

【解答】解：

当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（17﹣5）÷2=6（cm），能够组成三角形；

当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17﹣5×2=7（cm），能够组成三角形．

故该等腰三角形的底边长为：

5cm或7cm．

故选B．

【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系．

6．已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

【考点】梯形；全等三角形的判定与性质．

【分析】根据等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法进行分析即可．

【解答】解：

∵梯形ABCD中，AB=CD

∴∠ABC=∠DCB

∵BC=BC，AD=AD

∴△ABC≌△DCB，△ABD≌△DCA

∴∠DBC=∠ACB，∠BAC=∠CDB

∴∠ABD=∠DCA

∴△ABO≌△DCO

所以共有三对，故选C．

【点评】此题考查了等腰梯形的性质和全等三角形的判定的综合运用．

7．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（　　）

A．120°B．60°C．45°D．135°

【考点】等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】过点D作DE∥BC，可知△ADE是等边三角形，从而得到腰与下底的夹角的度数．

【解答】解：

如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E．

∴DE=CB=AD，

∵AD=AE，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠A=60°，

∴腰与下底的夹角为60°．

故选B．

【点评】此题考查等腰梯形的性质及梯形中常见的辅助线的作法；解题的关键是根据题意画出图形，证出各边之间的关系即可．

8．如图，平面上有九个点，以这些点为顶点，能组成等腰梯形的个数是（　　）

A．0B．2C．4D．6

【考点】等腰梯形的判定．

【分析】根据已知和等腰梯形的判定条件，画出图形即可得出答案．

【解答】解：

等腰梯形有四边形ADHM、AMFB、CGDB、CGHF，共4个．

故选C．

【点评】本题主要考查对等腰梯形的判定的理解和掌握，能正确画出图形是解此题的关键．

二、填空题

9．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形．

【考点】利用轴对称设计图案．

【专题】规律型．

【分析】图中是大写英文字母构成的轴对称图形，按字母顺序应填E．

【解答】解：

应填E的对称图形，如图：

．

【点评】解答此题要明确：

如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：

折痕所在的这条直线叫做对称轴．

10．等腰△ABC中，∠A=80°，则∠B=　80°或50°或20°　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．

【解答】解：

①∠A是顶角，

那么∠B=

×（180°﹣80°）=50°；

②∠A是底角，且∠A=∠B，

那么∠B=80°；

③∠A是底角，且∠A=∠C，

那么∠B=180°﹣2×80°=20°．

故填80°或50°或20°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

11．若等腰三角形底边上的高是底边的一半，则它的顶角度数为　90°　．

【考点】等腰直角三角形．

【分析】作出图形，根据等腰三角形三线合一的性质可知底边上的高也是底边的中线，求出三角形被分成两个等腰直角三角形，求出两底角，再根据三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．

【解答】解：

如图，根据题意，AD=

BC，

∵△ABC是等腰三角形，且AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∴△ABD，△ACD是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，

∴∠BAC=180°﹣45°×2=90°，

即这个等腰三角形的顶角度数是90°．

故答案为：

90．

【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，作出图形形象直观，更有助于问题的解决．

12．若等腰梯形两底长度和是10，两底差是4，一底角为45°，则其面积为　10　．

【考点】等腰梯形的性质．

【分析】首先作等腰梯形的两条高，易得四边形AEFD是矩形，Rt△ABE≌Rt△DCF；根据题意两底差是4，可得BE=CF=2，又由一底角为45°，可得△ABE是等腰直角三角形，即可得AE=BE=2；根据梯形的面积公式即可求得．

【解答】解：

过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，

∴AE∥DF，∠AEB=∠DFC=90°，

∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是矩形，

∴AD=EF，AE=DF，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），

∴BE=CF，

∵BC﹣AD=4，

∴BE=CF=2，

∵∠B=45°，

∴AE=BE=2，

∴S梯形ABCD=

（AD+BC）•AE=

×10×2=10．

∴其面积为10．

【点评】此题考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是注意过梯形的两个顶点作梯形的两条高是解答梯形题目中的常见辅助线．

13．如图，在等边△ABC中，AD与BE相交于点P，∠DPE=120°，AB=8，BD=2，则AE=　，6　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】由等边三角形的性质得出AC=AB=BC=8，∠ABD=∠BCE=60°，证出∠BAD=∠CBE，由ASA证明△ABD≌△BCE，得出BD=CE=2，即可得出AE的长．

【解答】解：

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=BC=8，∠ABD=∠BCE=60°，

∵∠DFE=120°，

∴∠APE=60°，

∵∠APE=∠BAD+∠ABP，∠ABD=∠CBE+∠ABP，

∴∠BAD=∠CBE，

在△ABD与△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（ASA），

∴CE=BD=2，

∴AE=AC﹣CE=6，

故答案为：

6

【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

14．如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是　60　度．

【考点】等腰梯形的性质；平面镶嵌（密铺）．

【分析】由图中可以看出：

密铺的一个顶点处的周角，由3个完全相等的等腰梯形的较大内角组成，∴等腰梯形的较大内角为360°÷3=120°．∵等腰梯形的两底平行，∴等腰梯形的底角（指锐角）是：

180°﹣120°=60°．

【解答】解：

由图可知，铺成的一个图形为平行四边形，而原图形为等腰梯形，则现铺成的图形的底角为：

180°÷3=60°．

【点评】解决本题的关键是明白：

围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

15．如图，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E两点．

（1）若∠C=70°，则∠BEC=　80　度；

（2）若BC=21cm，则△BCE的周长是　53　cm．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

【分析】

（1）根据△ABC中，AB=AC，∠C=70°，求出∠A的度数，再根据DE是AB的垂直平分线求出∠ABE的度数，再由三角形外角与内角的关系解答即可．

（2）根据DE是AB的垂直平分线可知，AE=BE，故BE+CE=AC=32cm，故△BCE的周长=AC+BC．

【解答】解：

（1）连接BE，

∵△ABC中，AB=AC，∠C=70°，

∴∠A=180°﹣2∠C=180°﹣140°=40°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠A=∠ABE，

∴∠BEC=∠A+∠ABE=40°+40°=80°．

（2）∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=32+21=53cm．

故分别填80，53．

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的性质；分别进行角、线段的等量代换是正确解答本题的关键．

16．如图，∠MAN是一钢架，且∠MAN=15°，为使钢架更加坚固，需在其内部加一些钢管CD、DE、EF…添加的钢管长度都与AC相等，则最多能添加这样的钢管　5　根．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】依次计算出图形中的各个角，根据等腰三角形的底角一定是锐角，不能是直角或钝角，即可判断．

【解答】解：

∵AC=CD

∴∠CDA=∠A=15°

∴∠DCE=∠CDA+∠A=30°

同理，∠CED=∠DCE=30°

∴∠CDE=120°

∴∠EDF=180°﹣∠ADC﹣∠CDE=180°﹣15°﹣120°=45°

∵DE=EF

∴∠EFD=∠EDF=45°

∴∠DEF=90°

∴∠GEF=180°﹣∠CED﹣∠EFD=180°﹣30°﹣90°=60°

∵EF=FG

∴∠EFG=60°

∴∠GFN=180°﹣∠EFD﹣∠EFG=180°﹣45°﹣60°=75°

∵GF=GH

∴∠GHF=∠GFH=75°

∴∠FGH=30°

∴∠MGH=180°﹣∠EGF﹣∠FGH=180°﹣60°﹣30°=90°

再作与CD相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的线段是：

CD、DE、EF、FG、GH共有5条．

故答案是：

5．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角，正确求得图形中各个角的度数是关键．

三、解答题

17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD平分∠ABC．请找出图中其他的等腰三角形，并选择其中的一个说明理由．

【考点】等腰三角形的判定与性质．

【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，可求得5∠A=180°，继而求得∠A，∠ABC与∠C的度数，然后由BD平分∠ABC，易得∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，则可证得结论．

【解答】解：

△ABD、△BCD．

理由：

∵在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，

∴∠ABC=∠C=2∠A，

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+2∠A=180°，

解得：

∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=36°，

∴∠A=∠ABD=36°，∠BDC=∠C=72°，

∴△ABD与△BCD是等腰三角形．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．注意由已知条件求得各角的度数是关键．

18．如图：

已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

【考点】作图—基本作图．

【专题】作图题．

【分析】

（1）作出∠AOB的平分线，

（2）作出CD的中垂线，（3）找到交点P即为所求．

【解答】解：

作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P．

【点评】解答此题要明确两点：

（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；

（2）中垂线上的点到两个端点的距离相等．

19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，若M为DC中点，且∠1=∠2，试说明梯形ABCD是等腰梯形．

【考点】等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】先利用全等三角形的判定得出△DMA≌△CMB，得DA=CB，从而得出梯形ABCD为等腰梯形．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴AM=BM．

∵AB∥CD，

∴∠DMA=∠1，∠CMB=∠2．

∴∠DMA=∠CMB．

∵DM=CM，

∴△DMA≌△CMB．

∴AD=BC．

∴梯形ABCD为等腰梯形．

【点评】此题考查了学生对等腰梯形的判定的掌握情况，且在证明的过程中也对全等三角形的判定进行了考查，做题时要注意灵活运用．

20．小明发现：

若将4棵树栽于正方形的四个顶点上，如图①所示，则恰好构成一个轴对称图形．你还能找到其他两种栽树的方法，也使其组成一个轴对称图形吗？

请分别在图②、③中表示出来．如果栽5棵，又如何呢？

请在图④中表示出来．

【考点】利用轴对称设计图案．

【分析】根据轴对称的性质设计出图形即可．

【解答】解：

如图所示．

【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

21．马明和王群在解这样一道题：

“如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，AD=AC，BE=BC．求∠DCE的度数．”他们经过商量后，结论不一致，马明说：

“∠DCE的值与∠B有关，只有告诉∠B的度数才能求出∠DCE的度数．”王群说：

“∠DCE的度数是一个定值，与∠B的度数无关．”他们谁说的正确？

请说明理由．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】题中给出了多组相等的边，而让求角的度数，这实际上就是由边相等关系转化为角相等关系的题，可以利用方程的相关知识进行解答．

【解答】解：

王群说的对，

理由：

∵AD=AC，

∴∠ACD=∠ADC．

又∵∠ACD=∠DCE+∠ACE，∠ADC=∠BCD+∠B，

∴∠ACE+∠DCE=∠BCD+∠B①，

∵BE=BC，

∴∠CED=∠ECB．

∵∠CED=∠ACE+∠A，∠ECB=∠BCD+∠DCE，

∴∠BCD+∠DCE=∠ACE+∠A②，

∴①+②，得2∠DCE=∠A+∠B．

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴2∠DCE=90°．

∴∠DCE=45°．

∴∠DCE的度数是一个定值，与∠B的度数无关．

【点评】本题综合考查等腰三角形的性质、三角形的外角和定理、直角三角形的两锐角互余，以及有关方程的计算等知识．由线段相等转化为角相等，列出方程求解是正确解答本题的关键．

22．如图①，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a＜b）．将纸片任意翻折（如图②），折痕为PQ（点P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内的一点C′处，PC′的延长线交直线AD于点M，再将纸片的另一部分翻折，使点A落在PM上的一点A′处，且A′M所在直线与PM所在直线重合（如图③），折痕为MN．猜想两折痕PQ、MN之间的位置关系，并说明理由．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由平行线的性质可知∠AMP=∠CPM，然后利用翻折的性质可证明∠MPQ=∠NMP，最后根据平行线的判定定理可知PQ∥MN．

【解答】解：

PQ∥MN．

理由：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

又∵M在AD上，

∴AM∥BC．

∴∠AMP=∠MPC．

由翻折得∠MPQ=∠CPQ=

∠MPC，∠NMP=∠AMN=

∠AMP．

∴∠MPQ=∠NMP．

∴PQ∥MN．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、平行线的性质和判定，掌握翻折的性质是解题的关键．

23．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）图中有几个等腰三角形？

猜想：

EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．

（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？

如果有，分别指出它们．在第

（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在