学年高中数学第一章三角函数1周期现象2角的Word格式文档下载.docx
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（k∈Z）.
梳理 终边相同角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×
，k∈Z}，
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
1.终边与始边重合的角是零角.（ ×
）
提示 终边与始边重合的角是k·
2.小于90°
的角是锐角.（ ×
提示 锐角是指大于0°
且小于90°
的角.
3.钝角是第二象限角.（ √ ）
4.第二象限角是钝角.（ ×
提示 第二象限角不一定是钝角.
类型一 周期现象的应用
例1 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
考点 周期现象
题点 周期现象的应用
解 因为1小时＝60分钟＝12×
5分钟，且水车5分钟转一圈，
所以1小时内水车转12圈.
又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，
所以每转一圈，最多盛水16×
10＝160（升），
所以水车1小时内最多盛水160×
12＝1920（升）.
反思与感悟
（1）应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的.
（2）只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决.
跟踪训练1 利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？
解 设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×
所以y＝
·
160＝32x，为使水车盛800升的水，
则有32x≥800，所以x≥25，
即水车盛800升的水至少需要25分钟.
类型二 象限角的判定
例2 在0°
～360°
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
（1）－150°
；
（2）650°
（3）－950°
15′.
考点 象限角、轴线角
题点 象限角
解
（1）因为－150°
＝－360°
＋210°
，所以在0°
范围内，与－150°
角终边相同的角是210°
角，它是第三象限角.
（2）因为650°
＝360°
＋290°
范围内，与650°
角终边相同的角是290°
角，它是第四象限角.
（3）因为－950°
15′＝－3×
＋129°
45′，所以在0°
范围内，与－950°
15′角终边相同的角是129°
45′角，它是第二象限角.
反思与感悟 判断象限角的步骤
（1）当0°
≤α<
时，直接写出结果.
（2）当α<
0°
或α≥360°
时，将α化为k·
＋β（k∈Z，0°
≤β<
），转化为判断角β所属的象限.
跟踪训练2
（1）判断下列角所在的象限，并指出其在0°
范围内终边相同的角.
①549°
②－60°
③－503°
36′.
（2）若α是第二象限角，试确定2α，
是第几象限角.
解
（1）①∵549°
＝189°
，∴549°
角为第三象限的角，与189°
角终边相同.
②∵－60°
＝300°
－360°
，∴－60°
角为第四象限的角，与300°
③∵－503°
36′＝216°
24′－2×
，∴－503°
36′角为第三象限的角，与216°
24′角终边相同.
（2）由题意得90°
<
α<
180°
（k∈Z），①
所以180°
＋2k·
2α<
故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上的角.
由①得45°
90°
（k∈Z），
当k为偶数时，令k＝2n（n∈Z），
得45°
＋n·
（n∈Z），
故
是第一象限角.
当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得45°
＋180°
即225°
270°
为第三象限角.
综上可知，
为第一或第三象限角.
类型三 终边相同的角
例3 在与角10030°
终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；
（3）[360°
，720°
）的角.
考点 终边相同的角
题点 终边相同的角
解 与10030°
终边相同的角的一般形式为β＝k·
＋10030°
（1）由－360°
＜k·
＜0°
，得－10390°
＜－10030°
，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°
.
（2）由0°
＜360°
，得－10030°
＜－9670°
，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°
（3）由360°
≤k·
＜720°
，得－9670°
＜－9310°
，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
跟踪训练3 写出与α＝－1910°
终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°
≤β＜360°
的元素β写出来.
解 由终边相同的角的表示知，
与角α＝－1910°
终边相同的角的集合为{β|β＝k·
－1910°
，k∈Z}.
∵－720°
，即－720°
∴3
≤k＜6
（k∈Z），故取k＝4，5，6.
当k＝4时，β＝4×
＝－470°
当k＝5时，β＝5×
＝－110°
当k＝6时，β＝6×
＝250°
例4 写出终边在直线y＝－
x上的角的集合.
解 终边在y＝－
x（x<
0）上的角的集合是S1＝{α|α＝120°
，k∈Z}；
终边在y＝－
x（x≥0）上的角的集合是S2＝{α|α＝300°
因此，终边在直线y＝－
x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°
，k∈Z}∪{α|α＝300°
即S＝{α|α＝120°
，k∈Z}∪{α|α＝120°
＋（2k＋1）·
，k∈Z}＝{α|α＝120°
，n∈Z}.
故终边在直线y＝－
x上的角的集合是S＝{α|α＝120°
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<
0两种情况讨论，最后再进行合并.
跟踪训练4 写出终边在直线y＝
解 终边在y＝
x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝30°
终边在y＝
0）上的角的集合是S2＝{α|α＝210°
因此，终边在直线y＝
x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°
，k∈Z}∪{α|α＝210°
即S＝{α|α＝30°
，k∈Z}∪{α|α＝30°
，k∈Z}＝{α|α＝30°
故终边在直线y＝
x上的角的集合是S＝{α|α＝30°
1.下列是周期现象的为（ ）
①闰年每四年一次；
②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；
③某超市每天的营业额；
④某地每年6月份的平均降雨量.
A.①②④B.③④
C.①②D.①②③
题点 周期现象的判定
答案 C
解析 ①②是周期现象；
③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；
④中每年6月份的平均降雨量也是随机的，不是周期现象.
2.与－457°
角终边相同的角的集合是（ ）
A.{α|α＝k·
＋457°
，k∈Z}
B.{α|α＝k·
＋97°
C.{α|α＝k·
＋263°
D.{α|α＝k·
－263°
解析 －457°
＝－2×
，故选C.
3.2018°
是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
解析 2018°
＝5×
＋218°
，故2018°
是第三象限角.
4.一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3s，又经过0.2s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是s.
答案 1.4
解析 如图，质点从O点向左运动，O→M用了0.3s，M→A→M用了0.2s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期
＝0.2＋0.3×
2＝0.8（s），从而当质点第三次经过M时还要经过的时间应为M→O→B→O→M所用时间，为0.3×
2＋0.8＝1.4（s）.
5.已知，如图所示.
（1）写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
题点 区域角的表示
解
（1）终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·
＋300°
（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α|k·
≤α≤k·
1.判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现.
2.由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合.与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·
，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义.
3.熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论.
一、选择题
1.（2017·
甘肃兰州一中期末）下列命题正确的是（ ）
A.终边在x轴非正半轴上的角是零角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若β＝α＋k·
（k∈Z），则α与β终边相同
题点 任意角的综合应用
答案 D
解析 终边在x轴非正半轴上的角为k·
，k∈Z，零角为0°
，所以A错误；
480°
角为第二象限角，但不是钝角，所以B错误；
285°
角为第四象限角，但不是负角，所以C错误，故选D.
2.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°
的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°
的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A.A＝BB.B＝CC.A＝CD.A＝D
考点 任意角的概念
题点 对任意角概念的理解
3.探索如图所呈现的规律，判断2017至2018箭头的方向是（ ）
答案 B
4.若α是第四象限角，则180°
－α是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析 可以给α赋一特殊值－60°
，
则180°
－α＝240°
，故180°
－α是第三象限角.
5.四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①，②，③，④号位置上（如图），第1次前后排动物互换位置，第2次左右列互换座位，…这样交替进行下去，那么第2017次互换座位后，小兔的位置对应的是（ ）
①猴
②兔
③猫
④鼠
开始
①猫
②鼠
③猴
④兔
第1次
①鼠
②猫
③兔
④猴
第2次
①兔
②猴
③鼠
④猫
第3次
A.编号①B.编号②
C.编号③D.编号④
6.角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为（ ）
A.α＋β＝k·
，k∈Z
B.α＋β＝k·
C.α－β＝k·
D.α－β＝k·
解析 特殊值法：
令α＝30°
，β＝150°
，则α＋β＝180°
.直接法：
∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°
－α＋k·
，k∈Z，即α＋β＝k·
，k∈Z.
二、填空题
7.如图所示，变量y与时间t（s）的图像如图所示，则时间t至少隔s时y＝1会重复出现1次.
答案 2
8.已知角α＝－3000°
，则与α终边相同的最小正角是.
答案 240°
解析 与α＝－3000°
终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3000°
令－3000°
>
，解得k>
故当k＝9时，θ＝240°
满足条件.
9.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是；
终边落在OB的位置上，且在－360°
内的角的集合是；
终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.
答案 {α|α＝120°
，k∈Z} {315°
，－45°
} {α|－45°
≤α≤120°
解析 终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°
终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°
取k＝0，－1得α＝315°
故终边落在OB的位置上，
且在－360°
内的角的集合是{315°
}.
终边落在阴影部分的角的集合是{α|－45°
10.若α＝k·
＋45°
，k∈Z，则
是第象限角.
答案 一或三
解析 ∵α＝k·
，k∈Z，
∴
＝k·
＋22.5°
当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，
＝n·
，n∈Z，∴
为第一象限角；
当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，
＋202.5°
综上，
是第一或第三象限角.
三、解答题
11.已知角β的终边在直线
x－y＝0上.
（1）写出角β的集合S；
（2）写出集合S中适合不等式－360°
β<
720°
的元素.
解
（1）如图，直线
x－y＝0过原点，倾斜角为60°
，在0°
范围内，终边落在射线OA上的角是60°
，终边落在射线OB上的角是240°
，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
S1＝{β|β＝60°
S2＝{β|β＝240°
所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°
，k∈Z}∪{β|β＝60°
＝{β|β＝60°
，k∈Z}＝{β|β＝60°
（2）由于－360°
，即－360°
60°
，n∈Z.
解得－
n<
，n∈Z，所以n＝－2，－1，0，1，2，3.
所以集合S中适合不等式－360°
的元素为
＝－300°
－1×
＝－120°
＋0×
＋1×
＝240°
＋2×
＝420°
＋3×
＝600°
12.游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
（1）你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？
（2）转四圈需要多少时间？
（3）你第四次距地面最高需要多少时间？
（4）转60分钟时，你距离地面是多少？
解
（1）是周期现象，周期12分钟.
（2）转四圈需要时间为4×
12＝48（分钟）.
（3）第一次距离地面最高需
＝6（分钟），而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×
3＋6＝42（分钟）.
（4）因为60÷
12＝5，所以转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5（米）.
13.已知－180°
，且角α的终边与其7倍角的终边重合，求角α.
解 ∵角α的终边与它的7倍角的终边重合.
∴7α＝k·
＋α（k∈Z），
∴α＝k·
又∵－180°
∴－3<
k<
3（k∈Z），
∴当k分别取－2，－1，0，1，2时，对应的α为－120°
，－60°
，0°
，60°
，120°
四、探究与拓展
14.设集合A＝{α|α＝45°
，k∈Z}∪{α|α＝135°
，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°
，k∈Z}，则（ ）
A.A∩B＝∅B.AB
C.BAD.A＝B
解析 对于集合A，
α＝45°
＝45°
或α＝135°
＋90°
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°
，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°
∴A＝B.故选D.
15.（2017·
山西平遥一中月考）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°
），如果两只蚂蚁都在第14s时回到A点，并且在第2s时均位于第二象限，求α，β的值.
解 根据题意，可知14α，14β均为360°
的整数倍，
故可设14α＝m·
，m∈Z，14β＝n·
，n∈Z，
则α＝
，m∈Z，β＝
由两只蚂蚁在第2s时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角.
因为0°
，所以0°
2β<
因为2α，2β均为钝角，即90°
所以45°
，45°
即
m<
<
，m，n∈Z，
又α<
β，所以m<
n，从而可得m＝2，n＝3，
即α＝
，β＝
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