组合数学(第四版)课后习题答案.pdf
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SY0721129刘佳第1页第2章第2章鸽巢原理鸽巢原理2.4练习题1、关于本节中的应用4,证明对于每一个k1,2,21存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋(情形k21是在应用4中处理的情况)。
能否判断:
存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋?
证明:
证明:
设ia表示在前i天下棋的总数若正好有ia=k,则命题得证。
若不然,如下:
共有11周,每天至少一盘棋,每周下棋不能超过12盘有771i,且13217721aaa21,2,1k有kkakakak13217721观察以下154个整数:
kakakaaaa77217721,每一个数是1到k132之间的整数,其中153132k由鸽巢原理,这154个数中至少存在两个相等的数7721,aaa都不相等,kakaka7721,都不相等ji,,使ia=kaj即这位国际象棋大师在第1j,2j,i天总共下了k盘棋。
综上所述,对于每一个k1,2,21存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋。
当k=22时,132+k=154,那么以下154个整数22,22,22,77217721aaaaaa在1到154之间。
)若这154个数都不相同则它们能取到1到154的所有整数,必然有一个数是222222ia,771i等于22的数必然是某个ia,771iSY0721129刘佳第2页则在前i天,这位国际象棋大师总共下了22盘棋。
)若这154个数中存在相同的两个数7721,aaa都不相等,kakaka7721,都不相等ji,,使ia=kaj即这位国际象棋大师在第1j,2j,i天总共下了k盘棋。
综上所述,存在连续若干天,在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋。
5、证明,如果从n3,2,1中选择1n个整数,那么总存在两个整数,它们之间最多差2。
证明:
证明:
把n3,2,1按顺序三个数字分为一组,共有n组,它们是3,2,1,6,5,4,nnn3,13,23由鸽巢原理,从n组整数中,选择1n个整数,至少有两个整数属于同一组且根据以上分组方式,这两个数之间最多相差2即总存在两个整数,它们之间最多差2。
*7、证明,对任意给定的52个整数,存在其中的两个整数,要么两者的和能被100整除,要么两者的差能被100整除。
证明:
证明:
任何一个整数的后两位,都是00,01,02,03,,99之一现在对所有整数按照后两位数的不同分组如下:
00,99,01,98,02,51,49,50,共有51个组。
由鸽巢原理,对于任意给定的52个整数,至少存在两个整数属于同一组。
属于同一组的两个数,要么后两位数相同,要么后两位数相加等于100若这两个数后两位相同,那么这两者的差能被100整除;若这两个数后两位相加等于100,那么两者的和能被100整除。
11、一个学生有37天用来准备考试。
根据过去的经验,她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1个小时。
证明,无论她如何安排她的学习时间(不过,每天都是整数个小时),都存在连续的若干天,在此期间她恰好学习了13个小时。
证明:
证明:
设ia表示在前i天学习的小时数。
有37天准备考试,每天至少学习1小时,总学习时间不超过60小时SY0721129刘佳第3页有371i,且6013721aaa我们还有:
73131313143721aaa观察以下74个整数:
13,13,13,37213721aaaaaa每一个数是1到73之间的整数。
由鸽巢原理,这74个数中至少存在两个相等的数3721,aaa都不相等,13,13,133721aaa都不相等ji,,使ia=13ja即这个学生在第1j,2j,i天恰好总共学习了13个小时。
14、一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
如果我每分钟从袋子里取出1种水果,那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果?
答:
答:
45分钟。
下面证明此结论:
最坏的情况是,拿了若干次之后,还是不能拿到1打相同的水果。
但是这个次数的极限是每种水果拿了11个,也就是总共拿了44次。
因为若拿到第45次时,必定有一种水果拿到了12个(1打)。
也就是说拿45次,肯定至少已拿出了1打相同种类的水果。
15、证明,对任意1n个整数1a,2a,1na存在两个整数ia和ja,ji,使得iaja能够被n整除。
证明:
证明:
任何一个整数被n除的余数是以下n个数之一0,1,2,,1n由鸽巢原理,对于任意1n个整数1a,2a,1na,它们除以n的余数至少有两个相同不妨设这两个数为ia和ja(ji),iaja能够被n整除。
19、)证明,在边长为1的等边三角形内任意选择5个点,存在2个点,其间距离之多为1/2。
证明:
证明:
把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为4部分SY0721129刘佳第4页每一部分都是边长为1/2的等边三角形在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/2由鸽巢原理,任意选择5个点,至少有2个点属于同一个小三角形即:
在边长为1的等边三角形内任意选择5个点,存在2个点,其间距离之多为1/2。
)证明,在边长为1的等边三角形内任意选择10个点,存在2个点,其间距离之多为1/3。
证明:
证明:
把边长为1的等边三角形按照右图方式分割为9部分每一部分都是边长为1/3的等边三角形在同一个小三角形中相距最远的2个点距离为1/3由鸽巢原理,任意选择10个点,至少有2个点属于同一个小三角形即:
在边长为1的等边三角形内任意选择10个点,存在2个点,其间距离之多为1/2。
)确定一个整数nm,使得如果在边长为1的等边三角形内任意选择nm个点,则存在2个点,其间距离之多为1/n。
证明:
证明:
由等边三角形分割成小等边三角形的变化规律:
1,4,9,16,25,2n可知:
边长为1的等边三角形,可以分割为2n个边长为1/n的等边三角形。
边长为1/n的等边三角形内部,相距最远的2个点距离为1/n由鸽巢原理,任意选择12nmn个点,至少有2个点属于同一个小三角形即:
在边长为1的等边三角形内任意选择12nmn个点,存在2个点,其间距离之多为1/n。