等比数列知识点总结与典型例题+答案.docx
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等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题
2、通项公式:
4、等比数列的前n项和Sn公式:
（1）当q1时，Snnai
n
⑵当q1时，5罟
5、等比数列的判定方法:
等比数列
等比中项：
an2
an1an1（an1an10）
{an}为等比数列
通项公式：
an
ABnAB0{an}为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义：
若-a^qq0n2,且nN*或iqa“｛a“｝为等比数列an1
7、等比数列的性质：
（2）对任何m,nN*，在等比数列｛an｝中，有a.amqnm。
（3）若mnst（m,n,s,tN*），则a.amasat。
特别的，当mn2k时，得
2
anamak
注：
3]ana2an1a3an2
等差和等比数列比较:
等差数列
等比数列
定义
an1and
an1q（q0）an
递推公
式
anan1d；anamnmd
nm
anan1q；anamq
通项公
式
ana1（n1）d
ana1qn1（a1,q0）
中项
Aank2ank（n,kN*,nk0）
Gv'ankank（ankank0）（n,kN,nk0）
前n项
和
n
Sn2（a1an）
Snna“n（n1）d
2
na1（q1）
Sna11qna1anq
:
1（q2）
1q1q
重要
性质
amanapaq
（m,n,p,qN*,mnpq）
amanapaq
（m,n,p,qN*,mnpq）
经典例题透析
类型一：
等比数列的通项公式
例1．等比数列{an}中，a1a964,a3a720,求a11.
思路点拨：
由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出ai和q，可得an；或注意到下标1937，可以利用性质可求出a3、ay，再求aii.
总结升华：
1列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计
算量；
2解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.
举一反三：
【变式1]{an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。
【变式2]{an}为等比数列，an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【变式3]已知等比数列{an}，若a1a2a37,a^as8，求an。
类型二：
等比数列的前n项和公式
例2.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9求数列的公比
q.
类型三：
等比数列的性质
例3.等比数列｛a.｝中，若asa69,求Iog3a1Iog3a?
…Iog3昕.
举一反三：
【变式1］正项等比数列｛an｝中，若al•a100=100;则
Iga1+lga2++lga100=.
【变式2］在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入
32
的三个数的乘积为。
类型四：
等比数列前n项和公式的性质
例4.在等比数列｛an｝中，已知Sn48,S2n60,求San。
思路点拨：
等差数列中也有类似的题目我们仍然采用等差数列的解决
办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，，第n
个k项和仍然成等比数列。
举一反三:
【变式1］等比数列｛an｝中，公比q=2,S4=1,则S8=
【变式2］已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求:
S30=?
【变式3］等比数列｛an｝的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560，前n项中
最大的一项为54，求n.
【变式4】等比数列{an}中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=.
【变式5】等比数列{an}中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。
类型五：
等差等比数列的综合应用
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等
差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：
恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式
总结升华：
选择适当的设法可使方程简单易解。
一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a,a+d;若三数成等比数列，可设此三数为-，x,
y
xy。
但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而
简便。
举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三
项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的
三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91,
求这三个数。
【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，
并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
类型六：
等比数列的判断与证明
例6.已知数列｛an｝的前n项和Sn满足：
log5（Sn+1）=n（n€N+）,求出数列｛an｝的通项公式，并判断｛an｝是何种数列？
思路点拨：
由数列｛an｝的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断｛an｝类型.
举一反三：
【变式1】已知数列｛Cn｝，其中Cn=2n+3r，且数列｛Cn+1-pCn｝为等比数列，求常数p。
【答案】p=2或p=3；
【证明】设数列｛an｝、｛bn｝的公比分别为p,q，且pHq
【变式3】判断正误：
（1）｛an｝为等比数列a7=a3a4；
⑵若b2=ac,则a,b,c为等比数列;
⑶｛an｝,｛bn｝均为等比数列，贝U｛anbn｝为等比数列；
（4）｛an｝是公比为q的等比数列，贝U｛a2｝、丄仍为等比数列;
an
（5）若a,b,c成等比，贝Ulogma,logmb,logmc成等差.
类型七：
Sn与an的关系
例7.已知正项数列｛an｝，其前n项和Sn满足io&a25务6，且a1,
a3,a15成等比数列，求数列｛an｝的通项an.
总结升华：
等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是
ai（n
an
Sn1（n
举一反三：
12），尤其注意首项与其他各项的关系.
【变式】命题1:
若数列｛an｝的前n项和Sn=an+b（a工1），则数列｛an｝是等比数列；命题2：
若数列｛an｝的前n项和Sn=na-n,则数列｛an｝既是等差数列，又是等比数列。
上述两个命题中，真命题为个.
经典例题透析
类型一：
等比数列的通项公式
例1.等比数列｛an｝中，a1a964,a3a720,求a11.
思路点拨：
由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于ai和q的二
7，可以利用性质可
元方程组，解出a1和q，可得an；或注意到下标1求出a3、a7，再求a11.
解析:
总结升华:
算量;
的，故较多变形要用除法（除式不为零）
举一反三:
【变式1】｛an｝为等比数列，a1=3,a9=768,求a6
【答案】±96
法一：
设公比为q,则768=a1q8,q8=256,：
q=±2,二a6=±96;
法二：
a52=a1a9a5=±48q=±2,：
a6=±96。
【变式2】｛an｝为等比数列，an>0，且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【答案】64;
2.i/
•3^89a4516，又an>0,••a45=4
-3-.
…844845846a4564o
【答案】an2n1或an2
2.
a〔a3a2,・・a〔a?
a3
1a14
由
（2）得a11或i，以下同方法一。
q2q2
类型二：
等比数列的前n项和公式
q.
解析：
若q=i，则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.
因a1M0,得S3+S甘2S9,显然q=1与题设矛盾，故qz1.
整理得q3（2q6-q3-1）=0,
由qz0,得2q6-q3-1=0，从而（2q3+1）（q3-1）=0,
因q3Z1,故q3扌，所以q
举一反三:
例2.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9求数列的公比
【答案】121或罟
1
13盲q3或q3，则a1=1或a1=9
591-2
•••S5—121或S5=｝=型
131-19
3
T｛an｝是等比数列，二a1a10a2a9a3a8a4a7a5a69
55
--log3a1log3a2log3a1olog3（a1a2a3Lag）log3（a5a6）log3910
举一反三：
【变式1】正项等比数列｛an｝中，若a1•a100=100;则
Iga1+lga2++lga100=.
【答案】100;
tIga1+lga2+lga3++lga100=lg（a1•a2•a3a100）
而a1•a100=a2-a99=a3-a98==a50•a51
•••原式=lg（a1•a100）50=50lg（a1•a100）=50xlg100=100。
【变式2】在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的
32
三个数的乘积为
【答案】216;
加入的三项分别为a2，a3，a4，
23
・・a?
a3a4a3a3a3216。
类型四：
等比数列前n项和公式的性质
思路点拨：
等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决
办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，，第n个k项和仍然成等比数列。
解析:
法一：
令b仁Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n
观察b1=a1+a2++an,
b2=an+1+an+2++a2n=qn（a1+a2++an）,
b3=a2n+1+a2n+2++a3n=q2n（a1+a2++an）
易知b1,b2,b3成等比数列，二d辰12
二S3n=b3+S2n=3+60=63.
…S3n
法三:
…（S2n
…S3n
31（1
n\
q）
1
q
31（1
q）
1
q
n
5
q
4，
31
-64
1
q
48
由已知得
60
②一①得
1
③代入①得
5
即qn
S2n2Sn,
印（1q3n）
1
64（1即
63。
T{an}为等比数列，
Sn）Sn（S3nS2n）,
0nSn）'
Sn
S2n
（6048）2
48
Sn,
60
S2nSn,S3nS?
n也成等比数列，
63。
举一反三：
【变式1】等比数列
{an}中，公比
q=2,S4=1,则S8=
【答案】17；
S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4（a1+a2+a3+a4）=S4
+q4S4=S4（1+q4）=1X（1+24）=17
【变式2】已知等比数列｛an｝的前
S30=?
【答案】130;
法一：
S10,S20-S10,
•••（S20-S10）2=S10•（S30-S20）
即302=10（S30-40）,二S30=130.法二：
t2S1OS20,「.q1,••Sa'1q10）
TS10
n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求:
S30-S20构成等比数列，
20、
印（1q）
1q10,S201q
40,
10
1q
20
1q
…S30
【变式
最大的一项为
【答案】T
1•10C.
，…q3,•
4
3a1（1q）
3】
5
1q
（5）（133）130.
1q
等比数列｛an｝的项都是正数，若
54,求n.
Sn竺，二q1（否则邑
6560S2n
Sn=80,S2n=6560，前n项中
1）
S2n
...Sna1（1qn）=80
（1）
1qS2n空q2n）=6560
（2）,
1q
（2）一
（1）得：
1+qn=82,.qn=81……（3）
•••该数列各项为正数，.由（3）知q>1
.｛an｝为递增数列，.an为最大项54.
.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,
.81a1=54q（4）
二a12q代入
（1）得2q（181）80（1q）,
8133
.q=3,.n=4.
【变式4】等比数列｛an｝中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则
a5+a6=.
【答案】4;
令b1=a1+a2=a1（1+q）,b2=a3+a4=a1q2（1+q）,b3=a5+a6=a1q4（1+q）,
22
易知：
b1,b2,b3成等比数列，.b3=b2=亜=4,即a5+a6=4.
b1324
【变式5】等比数列｛an｝中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。
【答案】448;
•/｛an｝是等比数列，.（a4+a5+a6）=（a1+a2+a3）q3,.q3=8,
.a7+a8+a9=（a4+a5+a6）q3=56x8=448.
类型五：
等差等比数列的综合应用
例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32,则成等
差数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列•求原来的三个
数.
思路点拨：
恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量
设较少的未知数，并将其设为整式形式.
解析：
法一：
设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.
则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.
2
.a（ad）（ad32）
（1）
（a4）2（ad）（ad）⑵
2
由⑵得a=d兰（3）
8
由
（1）得32a=d2+32d（4）
（3）代⑷消a,解得d8或d=8.
3
二当d8时，a26;当d=8时,a=10
39
.原来三个数为2,26,338或2,10,50.
999
法二：
设原来三个数为a,aq,aq2,则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,
aq2-32成等比数列
.2aqaaq232
（1）
…（aq4）2a（aq232）……
（2）
由⑵得a—，代入
（1）解得q=5或q=13
q4
当q=5时a=2;当q=13时a2.
9
.原来三个数为2,10,50或2,些，空.
999
总结升华：
选择适当的设法可使方程简单易解。
一般地，三数成等差数
列，可设此三数为a-d,a,a+d;若三数成等比数列，可设此三数为-,x,
y
xy。
但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而
简便。
举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,,那么所得的三
项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的
三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【答案】为2,6，18或2I0,50；
999，
设所求的等比数列为a，aq，aq2；
则2（aq+4）=a+aq2，且（aq+4）2=a（aq2+32）；解得a=2，q=3或a|，q=-5；
故所求的等比数列为2，6，18或2,I0,50.
999
【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91,求这三个数。
【答案】1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1
设这三个数分别为-,a,aq
q
【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这
四个数.
【答案】0,4，8，16或15，9，3，1;
设四个数分别是x,y,12-y,16-x
.2yx12y…….
（1）
2
（12y）2y（16x）
（2）
由
（1）得x=3y-12，代入
（2）得144-24y+y2=y（16-3y+12）
.144-24y+y2=-3y2+28y,.4y2-52y+144=0,
.y2-13y+36=0,.y=4或9，
.x=0或15，
.四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
类型六：
等比数列的判断与证明
例6.已知数列{an}的前n项和Sn满足：
log5（Sn+1）=n（n€N+）,求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？
思路点拨：
由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公
式判断{an}类型.
解析：
・.Tog5（Sn+1）=n,.Sn+1=5n,.Sn=5n-1（n€N+）,
.a1=S1=51-1=4,
当n》2时，an=Sn-Sn-1=（5n-1）-（5n-1-1）=5n-5n-1=5n-1（5-1）=4x5n-1
而n=1时，4x5n-1=4x51-1=4=a1,
.n€N+时，an=4x5n-1
由上述通项公式，可知{an}为首项为4，公比为5的等比数列.
举一反三：
【变式1】已知数列{Cn},其中Cn=2n+3r,且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。
【答案】p=2或p=3；
•••{Cn+1-pCn}是等比数列，
二对任意n€N且n》2,有（Cn+1-pCn）2=（Cn+2-pCn+1）（Cn-pCn-1）
tCn=2n+3n,.[（2n+1+3n+1）-p（2n+3n）]2=[（2n+2+3n+2）-p（2n+1+3n+1）
]•[（2n+3n）-p（2n-1+3n-1）]
即
[（2-p）•2n+（3-p）•3n]2=[（2-p）•2n+1+（3-p）•3n+1]•[（2-p）•2n-1+（
3-p）•3n-1]
整理得：
1（2p）（3p）2n3n0,解得：
p=2或p=3,
6
显然Cn+1-pCnM0,故p=2或p=3为所求.
【变式2】设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明
数列｛Cn｝不是等比数列.
【证明】设数列｛an｝、｛bn｝的公比分别为p,q，且pHq
为证｛Cn｝不是等比数列，只需证gC3c；.
biq2a1b1pq,
k22.22—22、
»aipbiqaid（pq）
222222-C2（a1pdq）a1p
22
CiC3（aid）（aipbiq）
22
••CiC3C2aibi（pq）,
工0,c；
又Tp工q,ai工0,bi
•Cic3c|0即Cic3
•数列｛Cn｝不是等比数列.
【变式3】判断正误:
（1）｛an｝为等比数列a7=a3a4；
（2）若b2=ac,则a,b,c为等比数列；
（3）｛an｝,｛bn｝均为等比数列，贝U｛anbn｝为等比数列;
（4）
丄仍为等比数列;
an
｛an｝是公比为q的等比数列，贝U｛a；｝、
（5）若a,b,c成等比，贝Ulogma,logmb,logmc成等差.
【答案】
（1）错；a7=aiq6,a3a4=aiq2•aiq3=ai2q5,等比数列的下标和性质要求项数相同；
（2）错；反例：
02=0X0,不能说0,0,0成等比；
（3）对；｛anbn｝首项为aibi，公比为qiq2；
q2,ani
2
⑷对；av
an
（5）错；反例：
-2，-4，-8成等比，但logm（-2）无意义.
类型七：
Sn与an的关系
例7.已知正项数列｛an｝,其前n项和Sn满足iosna25an6，且al,a3,a15成等比数列，求数列｛an｝的通项an.
解析：
T10Sna；5an6,①
二10a!
a；5印6，解之得a1=2或a1=3.
又10Snia；i5am6（n2）,②
由①-②得10an（a；a；1）5©an1），即（a.a."（a.a.15）0
tan+an-1>0,二an-an-1=5（n>2）.
当a仁3时，a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列
--a1工3;
当a1=2时，a3=12,a15=72,有a32=a1a15,
--a1=2,.•an=5n-3.
总结升华：
等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是ana1（n1），尤其注意首项与其他各项的关系.
nSnSn1（n2）
举一反三：
【变式】命题1:
若数列｛an｝的前n项和Sn=an+b（a^1），则数列｛an｝是等比数列；命题2：
若数列｛an｝的前n项和Sn=na-n，贝擞列｛an｝既是等差数列，又是等比数列。
上述两个命题中，真命题为个.
【答案】0；
由命题1得，a1=a+b,当n》2时，an=Sn-Sn-1=（a-1）•an-1.
若｛an｝是等比数列，贝ya2a，即a（Ua,
a1ab
所以只有当b=-1且a丰0时，此数列才是等比数列.
由命题2得，a1=a-1，当n》2时，an=Sn-Sn-1=a-1,
显然｛an｝是一个常数列，即公差为0的等差数列，
因此只有当a-1工0,即卩az1时数列｛an｝才又是等比数列
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