安徽大学06071A《量子力学》试题及答案.docx

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安徽大学06071A《量子力学》试题及答案

安徽大学2006—2007学年第1学期

《量子力学》考试试卷（A卷）

（时间120分钟）

题号

一

二

三

四

五

六

七

总分

得分

阅卷人

一、简答题（每小题4分，共32分）

1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

2.（L2,L）的共同本征函数是什么？

相应的本征值又分别是什么？

3.给出如下对易关系：

[y,Lz]=

[L,p]=

[L,L]=

[σ,σ]=

⎛ψ（r,/2）⎫

4.完全描述电子运动的旋量波函数为ψ（r,sz）=ç⎪，

准确叙述ψ（r,/2）2及⎰d3rψ（r,-/2）

⎝ψ（r,-/2）⎭

2

分别表示什么样的物理意义。

5.二电子体系中，总自旋

S=s

+

s

，写出（S2,S

z）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。

6.给出一维谐振子升、降算符a+、a的对易关系式；粒子数算符N与a+、a的关系；哈密顿量H用

N或a+、a表示的式子；N（亦即H）的归一化本征态。

7.相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？

试举例加以说明。

8.对于阶梯形方势场

⎧V1,

x

V（x）=⎨

⎩V2,

，

x>a

如果（V2-V1）有限，则定态波函数ψ（x）连续否？

其一阶导数

ψ'（x）连续否？

二、证明题（第9题10分，共10分）

9.在直角坐标系中，证明：

[L,p2]=0，其中L为角动量算符，p为动量算符。

三、计算题（4小题，共58分）

10.一质量为m的粒子在一维势箱0

2⎛1πx3πx⎫

ψ（x）=

çsin+

a⎝2a

sin⎪

2a⎭

①该量子态是否为能量算符H的本征态？

②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？

③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？

（三小题各4分，共12分）

11.在t=0时刻，氢原子处于状态

ψ（r,0）=C⎡

⎣

1（r）+

21

1（r）+

32

1（r）⎤

23⎦

式中，ψn（r）为氢原子的第n个能量本征态。

计算t=0时能量取各值的概率与平均值，写出t>0时的波函数。

（12分）

2α2

12.一个质量为m的粒子在势V（x）作用下作一维运动。

假定它处在E=的能量本征态

2m

⎛α2

⎫1/4

-α2x22

ψ（x）=ç⎪e，

⎝⎭

①求粒子的平均位置；②求粒子的平均动量；

③求V（x）；④求粒子的动量在p→p+dp间的几率。

（四小题各4分，共16分）

13.

对于非谐振子，H=-d+λx4

，取试探波函数为

2μdx2

ψ（x）=α

0π1/4

e-α2x2/2

（与谐振子基态波函数形式相同），为参数，用变分法求基态能量。

（18分）

QM2006下学期（A）参考答案及评分标准

2006-2007学年第1学期《量子力学》（A卷）

参考答案及评分标准

一、简答题（每小题4分，共32分）

1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

答：

束缚态：

粒子在一定范围内运动，r→∞时，ψ

→0。

能级分立。

非束缚态：

粒子的运动范围没有限制，r→∞时，ψ不趋于0。

能级连续分布。

z

2.（L2,L）的共同本征函数是什么？

相应的本征值又分别是什么？

解：

（L2,L

）的共同本征函数是球谐函数Y

（θ,ϕ）。

L2Y

（θ,ϕ）=l（l+1）2Y

（θ,ϕ）,

LY（θ,ϕ）=mY

（θ,ϕ）。

3.给出如下对易关系：

[y,Lz]=?

[L,p]=?

[L,L]=?

[σ,σ]=?

yz

解：

[y,Lz]=ix

[Ly,pz]=ipx

[Lx,Lz]=-iLy

[σ,σ]=-2iσ

yxz

⎛ψ（r,/2）⎫

4.完全描述电子运动的旋量波函数为ψ（r,sz）=ç⎪，

准确叙述ψ（r,/2）2及⎰d3rψ（r,-/2）

⎝ψ（r,-/2）⎭

2

分别表示什么样的物理意义。

解：

ψ（r,/2）2

表示电子自旋向上（sz

=2）、位置在r处的几率密度；

⎰d3r

ψ（r,-/2）2表示电子自旋向下（s

=-2）的几率。

5.二电子体系中，总自旋

S=s

+

s

，写出（S2,S

z）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。

zSM

解：

（S2,S）的归一化本征态记为χ，则

S

自旋单态为

χ00=

1[α

（1）β

（2）-β

（1）α

（2）]

⎧χ11=α

（1）α

（2）

自旋三重态为

⎪

χ=

⎨10

⎪

1[α

（1）β

（2）+β

（1）α

（2）]

2

⎪⎩χ1-1=β

（1）β

（2）

QM2006下学期（A）参考答案及评分标准

6.给出一维谐振子升、降算符a+、a的对易关系式；粒子数算符N与a+、a的关系；哈密顿量H用N

或a+、a表示的式子；N（亦即H）的归一化本征态。

解：

[a,a+]=1,N=a+a,

H=⎛a+a+1⎫=⎛N+1⎫，

n=1（a+）n0。

ç⎪ç⎪

⎝⎭⎝⎭

7.相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？

试举例加以说明。

解：

相互不对易的力学量可以有共同的本征态。

例如：

Lx,Ly,Lz

相互不对易，但

ψ=f（r）Y0（0θ，ϕ）=

f（r）就是它们的共同本征态，本征值皆为0（f（r）是r的任意函数）。

8.对于阶梯形方势场

⎧V1,

x

V（x）=⎨

⎩V2,

，

x>a

如果（V2-V1）有限，则定态波函数ψ（x）连续否？

其一阶导数

ψ'（x）连续否？

解：

定态波函数ψ（x）连续；其一阶导数ψ'（x）也连续。

二、证明题（每小题10分，共10分）

1.在直角坐标系中，证明：

[L,p2]=0，其中L为角动量算符，p为动量算符。

证：

[L

p2]=[L,p2+p2+p2]=[L,p2]+[L,p2]

xxxyzxyxz

=py[Lx,py]+[Lx,py]py+pz[Lx,pz]+[Lx,pz]pz

=i（pypz+pzpy）-i（pzpy+pypz）=0；

同理，

[L,p2]=0，

[L,p2]=0

所以

[L,p2]=0

QM2006下学期（A）参考答案及评分标准

三、计算题（4小题，共58分）

1.一质量为m的粒子在一维势箱0

2⎛1πx3πx⎫

ψ（x）=

çsin+

a⎝2a

sin⎪

2a⎭

①该量子态是否为能量算符H的本征态？

（4分）

②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？

（4分）

③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？

（4分）

解：

①在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为

⎧

ψn⎨

⎪0,

sinnπx,

a

0

x≤0或x≥a

n2π22

En2μa2,

n=1,2,3,

对波函数的分析可知

ψ（x）=1ψ

2

1（x）+

3（x）

23

即粒子处在ψ1（x）和ψ3（x）的叠加态，该量子态不是能量算符H的本征态。

②由于ψ（x）是能量本征态ψ1（x）和ψ3（x）的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为

π22

E1=2μa2,

π22

E3=2μa2

其出现的概率分别为

⎛1⎫21

⎛3⎫23

ç2⎪=4,

ç⎪=

24

⎝⎭⎝⎭

③能量测量的平均值为

13⎛13⎫π22

7π22

E=4E1+4E3=ç4+4⨯9⎪2μa2=

2μa2

⎝⎭

2.在t=0时刻，氢原子处于状态

ψ（r,0）=C⎡

⎣

1（r）+

21

1（r）+

32

1（r）⎤

23⎦

n

式中，ψ（r）为氢原子的第n个能量本征态。

计算t=0时能量取各值的概率与平均值，写出t>0时的波函数。

（12分）

QM2006下学期（A）参考答案及评分标准

解：

氢原子的本征解为

μe41

En=-22n2

ψnlm

（r）=R

（r）Ylm

（θ,ϕ）

nl

其中，量子数的取值范围是

n=1,2,3,；

l=0,1,2,,n-1；

m=-l,-l+1,,0,,l-1,l

由波函数归一化条件可知归一化常数为

C=⎛1

⎝

+1+

3

1⎫-1/2

⎪

⎭2

能量取各值的概率为

W（E1）=W（E3

）=3；

8

W（E2

）=1

4

能量平均值为

=3（+

）+1

=-μe4⎡3⎛+1⎫+1⋅1⎤

E8E1E3

4E2

22

⎢8ç19⎪

44⎥

23⎛

μe4⎫23

⎣⎝⎭⎦

23

=48ç-

⎪=

⎭48

E1=

（-13.6eV）=-6.52eV

48

当t>0时，波函数为

ψ（r,t）=

3ψ（）

⎛-iEt⎫+1ψ



（）

⎛-iEt⎫+

3ψ（）

⎛-iEt⎫

81r

expç⎪

⎝⎭

2rexpç⎪

2⎝⎭

3rexpç

8⎝

⎪

⎭

2α2

3.一个质量为m的粒子在势V（x）作用下作一维运动。

假定它处在E=的能量本征态

2m

⎛α2

⎫1/4

-α2x22

ψ（x）=ç⎪e，

⎝⎭

①求粒子的平均位置；（4分）②求粒子的平均动量；（4分）

③求V（x）；（4分）④求粒子的动量在p→p+dp间的几率。

（4分）

+∞+∞

*

⎛α2

⎫1/2

-α2x2

解：

①

x=⎰ψ（x）xψ（x）dx=⎰xçπ⎪e

dx=0。

-∞-∞⎝⎭

QM2006下学期（A）参考答案及评分标准

⎛α2

⎫1/2+∞

-α2x22⎛

d⎫-α2x22

②p=çπ⎪⎰eç-idx⎪e

dx=0。

⎝⎭-∞⎝⎭

⎣

⎡2d2⎤

③由S.eq：

⎢-2mdx2

+V（x）⎥ψ（x）=Eψ（x），

（1）

⎦

2

而de-α2x22=（-α2+α4x2）e-α2x22

，

（2）

注意到

dx2

E=2α2

2m，（3）

将式

（2）、（3）代入

（1），可解得

V（x）=2α4x2/2m。

（4）

④ψ（x）=⎰p

pψ（x）dp=⎰ϕ（p）

pdp，

ϕ（p）=

pψ（x）=⎰

1e-ipx⋅ψ（x）dx

21/4+∞

21/4+∞

-α222

1⎛α⎫

-ipx

-α2x22

1⎛α⎫

2（x+2ipxα）

=2πçπ⎪

2

⎰e

-∞

1/4+∞

∙

e

-α2

dx=

22

2πçπ⎪⎰edx

1⎛α⎫

2（x+ipα）

-p222α2

=2πçπ

2

⎪e

⎭-∞

1/4

∙

edx

1/4

1⎛α⎫

-p222α2

⎛1⎫

-p222α2

=2πçπ⎪

∙

α⋅e

∙

=ç22⎪e

⎝απ⎭

粒子的动量在p→p+dp间的几率为

——波函数的动量表象（5）

P（p）dp=ϕ（p）2dp=⎛

1⎫1/2

e-p22α2dp

（6）

ç2α2π⎪

⎝⎭

2d24

4.对于非谐振子，H=-

2μdx2

+

λx

，取试探波函数为

ψ（x）=α

0π1/4

e-α2x2/2

（与谐振子基态波函数形式相同），为参数，用变分法求基态能量。

（18分）

2+∞

2μ⎰



d2

0dx20

解：

T=-ψ*

-∞

ψdx

QM2006下学期（A）参考答案及评分标准

32+∞222

=α⎰e-α

x2（1-α2x2）dx=α

（1）

2μ-∞4μ

+∞

V=λx4ψ2dx=λα

+∞

x4e-α

2x2dx=3λ

（2）

⎰0

-∞

（）α22

⎰

-∞

3λ

4α4

∂E（α）

由

∂α

Eα

=0，得

=T+V=

4μ

+4α4

（3）

2α-3λ=

2μα50

解得

代入式（3），得基态能量

α2=（6μλ

2）1/3

⎡⎛2⎫

⎤1/3

（4）

E0=

4⎢ç2μ⎪λ⎥

（5）

⎣⎝⎭⎦