安徽大学07081B《量子力学》试题及答案文档格式.docx

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，则粒子在立体角dΩ中被测到的几率为

。

z

6.（L2,L）的共同本征函数是，相应的本征值分别

是和。

7.

⎡⎣z,pz⎤⎦=

，⎡⎣Lx,Lz⎤⎦=

，[y,Lz]=，

⎡⎣σy,σx⎤⎦=

，⎡⎣Ly,pz⎤⎦=

。

⎛ψ（r,/2）⎫

8.完全描述电子运动的旋量波函数为ψ

（r,sz）=ç

⎪，则

ψ（r,/2）2

⎝ψ（r,-/2）⎭

表示，

⎰d3rψ（r,-/2）2表示。

三、证明题（每小题10分，共20分）

p2

9.一维运动中，哈密顿量

H=+V（x），证明：

2m

ip2dd

①[x,H]=

=

mmdx

；

②[p,H]=-idxV（x）。

10.在直角坐标系中，证明：

[L,p2]=0，其中L为角动量算符，p为动量算符。

四、计算题（共40分）

11.设粒子处于一维无限深势阱

V（x）=⎧0,

a

⎩

⎨∞,

0或

中，求处于定态ψn（x）中的粒子位置x的平均值。

（10分）

12.一质量为m的粒子在一维势箱0<

a中运动，其量子态为

2⎛1πx3πx⎫

ψ（x）=

ç

sin+

a⎝2a

sin⎪

2a⎭

①该量子态是否为能量算符H的本征态？

②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？

③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？

（15分）

13.

一维无限深势阱（0<

a）中的粒子，受到微扰

H'

=⎧2λx/a,

a/2

a/2<

的作用，求基态能量的一级修正。

2007-2008学年第一学期《量子力学》（B）卷参考解答及评分标准

一、简答题

答：

束缚态：

粒子在一定范围内运动，r→∞时，ψ

→0。

能级分立。

非束缚态：

粒子的运动范围没有限制，r→∞时，ψ不趋于0。

能级连续分布。

2.

一质量为的粒子在一维无限深方势阱V（x）=⎧0,

解：

ψ

⎧

（x）=⎪

⎪

π22n2

sinnπx,

2a

0,

2a,

x≤0,x≥2a

En=

8μa2,

n=1,2,3,

ψ

（x）=Ae-α2x2/2H

（αx）,An=。

E=⎛n+1⎫ω,

n=0,1,2,

2

nç

⎪

⎝⎭

（1）电子具有自旋角动量s，它在空间任意方向的投影只有两个取值：

±

2；

（2）电子具有自旋磁矩M，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，

即

自旋回转磁比值

gs=

=e=2⎛取

mc⎝

e

2mc

为单位⎫，

⎭

轨道回转磁比值

gl=

=e

=1。

二、填充题

，则粒子在立体角dΩ中被测到

∞

的几率为P=dΩ⎰ψ（r,θ,ϕ）2r2dr0

6.（L2,L）的共同本征函数是球谐函数Y

（θ,ϕ）

，相应的本征值分别是

L2Y

（θ,ϕ）=l（l+1）2Y

lm

和LY（θ,ϕ）=mY

（θ,ϕ）。

⎣⎡z,pz⎦⎤=i

⎣⎡Lx,Lz⎦⎤=-iLy

[y,Lz]=ix

⎡⎣σy,σx⎤⎦=-2iσz⎡⎣Ly,pz⎤⎦=ipx

⎛ψ（r,

/2）⎫

ψ（r,/2）2表示电子自旋向上（s

=2）、位置在r处的几率密度；

⎰d3r

ψ（r,-/2）2表示电子自旋向下（s

=-2）的几率。

三、证明题

[x,H]=

，[p,H]=-idxV（x）。

[]=1[

2]=1⋅2

=ip=2d

证：

x,H

2mx,p

2mipm

，

mdx

[p,H]=[p,V（x）]=-i

dV（x）。

dx

[L,p2]=0，其中L为角动量算符，p为动量算

符。

[L

p2]=[L,p2+p2+p2]=[L,p2]+[L,p2]

xxxyzxyxz

=py[Lx,py]+[Lx,py]py+pz[Lx,pz]+[Lx,pz]pz

=i（pypz+pzpy）-i（pzpy+pypz）=0；

同理，

[L,p2]=0，

[L,p2]=0

所以

四、计算题

a

a，

2a

⎪0,

nπx

x=⎰sin2xdx=。

a0a2

①在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为

ψn⎨

sinnπx,

x≤0或x≥a

n2π22

En2μa2,

n=1,2,3,

对波函数的分析可知

ψ（x）=1ψ

1（x）+

3（x）

23

即粒子处在ψ1（x）和ψ3（x）的叠加态，该量子态不是能量算符H的本征态。

②由于ψ（x）是能量本征态ψ1（x）和ψ3（x）的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为

π22

E1=2μa2,

π22

E3=2μa2

其出现的概率分别为

⎛1⎫21

⎛3⎫23

2⎪=4,

⎪=

24

⎝⎭⎝⎭

③能量测量的平均值为

13⎛13⎫π22

7π22

E=4E1+4E3=ç

4+4⨯9⎪2μa2=

2μa2

13.一维无限深势阱（0<

0a2a

一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为

（0）=π22n2

（0）

nπx

En

2μa2

ψn

sin

πx

n=1,2,3,

基态，

E1=2μa2,

ψ1=

sin。

基态能量的一级修正为

E

（1）=H'

=⎰

ψ（0）2'

=2⎰a

2sin2πx⋅2λxdx+2⎰a

sin2πx⋅2λ⎛1-x⎫dx。

a0aa

aa2aç

作变换：

u=πx,

x=au,

π

dx=adu；

p

代入上式完成积分：

v=π-πx,

x=a-av,

dx=-adv。

（1）

1

=4λ

π2

⎰sin2

u⋅udu-4λ

ππ2

2（π-v）

∙vdv

8λπ2

⎛12⎫

=π2

sin2u⋅udu=ç

0⎝2

+⎪λ，

π⎭

π22⎛12⎫

E1=E1

+

E1

=2μa2+ç

2+π2⎪λ。