安徽大学07081A《量子力学》试题及答案.docx
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安徽大学07081A《量子力学》试题及答案
安徽大学2007—2008学年第1学期
《量子力学》考试试卷（A卷）
（时间120分钟）
题号
一
二
三
四
总分
得分
阅卷人
一、简答题（每小题5分，共20分）
1.能级简并、简并度。
2.用球坐标表示，粒子波函数表为几率。
ψ（r,θ,ϕ）
，写出粒子在球壳（r,r+dr
）中被测到的
3.粒子在一维δ势阱
V（x）=-γδ（x）
（γ>0）
中运动，波函数为ψ（x），写出ψ'（x）的跃变条件。
4.写出电子自旋sz的二本征值和对应的本征态。
二、填空题（每小题5分，共20分）
5.量子力学中，体系的任意态ψ（x）可用一组力学量完全集的共同本征态ψn（x）展开，展开式为，展开式系数。
⎛ψ（r,2）⎫
6.一个电子运动的旋量波函数为ψ
（r,sz）=çψ（r,-2）⎪，电子自旋向上（sz
=2）、
位置在r处的几率密度为；电子自旋向下（s=-2）的几率为
。
7.二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为
；它们的力学量完全集分别是
和；在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是
和。
8.①
⎡x,d⎤=
；②⎡d,
x2⎤=。
⎢dx⎥⎢dx⎥
⎣⎦⎣⎦
三、证明题（每小题10分，共20分）
9.设力学量A不显含时间t，证明在束缚定态下，
dA=0。
dt
10.粒子自旋处于sz
=2的本征态
⎛1⎫
=ç⎪
0
，试证明sx和sy的不确定关系：
⎝⎭
=2/4。
四、计算题（共40分）
⎛1
ç221
Y11
⎫
⎪⎛ψ⎫
11.氢原子处于状态
ψ（r,s）=ç
⎪=ç
1⎪，
ç⎪
ç-R21Y10⎪
⎝2⎭
⎝ψ2⎭
①求轨道角动量的z分量Lz的平均值；
②求自旋角动量的z分量sz的平均值；
③求总磁矩M
=-e
2μ
L-es
m
的z分量Mz的平均值。
（12分）
12.考虑在无限深势阱（0（12分）
13.对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为e-λx2，λ为参数。
用变分法求基态能量。
（16分）
2007-2008学年第一学期《量子力学》（A）卷参考解答及评分标准
一、简答题
1.能级简并、简并度。
答：
量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为能级简并。
把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。
2.用球坐标表示，粒子波函数表为
ψ（r,θ,ϕ）
，写出粒子在球壳（r,r+dr）中
被测到的几率。
π2π
解：
P=r2dr⎰sinθdθ⎰ψ（r,θ,ϕ）2dϕ。
00
3.粒子在一维δ势阱
V（x）=-γδ（x）
（γ>0）
中运动，波函数为ψ（x），写出ψ'（x）的跃变条件。
解：
ψ'（0+）-ψ'（0-）=-2mγψ（0）。
2
4.写出电子自旋sz的二本征值和对应的本征态。
解：
sz
=,
2
1
α=χ12（sz）=ç0⎪
；s=-,
z2
0
β=χ-12（sz）=ç1⎪。
⎝⎭⎝⎭
二、填充题
5.量子力学中，体系的任意态ψ（x）可用一组力学量完全集的共同本征态
ψn（x）
展开，展开式为
ψ（x）=∑cnψn（x）
n
，展开式系数
c=（ψ（x）,ψ（x））=ψ*（x）ψ（x）dx
nn⎰n
⎛ψ（r,2）⎫
6.
一个电子运动的旋量波函数为ψ（r,sz）=çψ（r,-2）⎪，电子自旋向上
（sz
=2）、位置在r处的几率密度为
ψ（r,/2）2；电子自旋向下（s
=-2）
的几率为⎰d3rψ（r,-/2）2。
7.
二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为耦合表象
和非耦合表象；它们的力学量完全集分别是（J2,J2,J2,J）和（J2,J,J2,J
）；在
12z11z22z
两种表象中，各力学量共同的本征态分别是
j1j2jm和
j1m1j2m2。
8.计算下列对易式：
（1）
⎡x,
d⎤=-1
（2）⎡d,
x2⎤=2x
⎢dx⎥⎢dx⎥
⎣⎦⎣⎦
三、证明题
9.
设力学量A不显含时间t，证明在束缚定态下，证：
设束缚定态为ψ，即有
dA=0。
dt
Hψ=Eψ，ψH=Eψ，
dA=1
dti
ψ[A,H]ψ
+∂A。
∂t
因A不显含时间t，所以∂A=0，因而
∂t
dA=1
dti
ψ[A,H]ψ
=1ψ
i
（AH-HA）ψ
=1[ψ
i
（AH）ψ
-ψ（HA）ψ
]=1[EψAψi
-
EψAψ
]=0。
10.粒子自旋处于sz
=2的本征态
⎛1⎫
=ç⎪
0
，试证明sx和sy的不确定关系
⎝⎭
=2/4
解：
（∆sx
）2=（s
-
sx
）2=s2-s2。
x
但s2=2/4（常数），
+ˆ
⎛01⎫⎛1⎫
sx=αsxα=（10）ç⎪ç⎪=0，
x
2
所以（∆s）2=2/4。
⎝10⎭⎝0⎭
同理，所以
（∆s）2=2/4。
y
=2/4。
四、计算题
11.氢原子处于状态
⎛1
ç
ψ（r,s）=ç
Y11
⎫
⎪⎛ψ⎫
=ç⎪，
ç⎪
ç-R21Y10⎪
⎝2⎭
⎝ψ2⎭
①求轨道角动量的z分量Lz的平均值；
②求自旋角动量的z分量sz的平均值；
③求总磁矩M
=-e
2μ
L-es
m
的z分量Mz的平均值。
⎛1⎫2
⎛3⎫21
解：
①
Lz=ç2⎪
+ç-2⎪⨯0=4。
⎝⎭⎝⎭
⎛1⎫2⎛
3⎫2⎛⎫
②sz=ç2⎪⨯2+ç-2⎪⨯ç-2⎪=-4。
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
③M=-eL-es
⎛e⎫⨯⎛⎫⎛e⎫⨯⎛-⎫=e=1M。
z2μz
μz=ç-2μ⎪ç4⎪+ç-μ⎪ç4⎪8μ4B
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12.考虑在无限深势阱（0解：
二电子体系，总波函数反对称。
一维势阱中，体系能级为
π2222
E=（n1
122μa2
+n2）,
n1,n2=1,2,
（1）基态：
E11=π22
μa2。
空间部分波函数是对称的：
ψ11=φ1
（1）φ1
（2）,
⎛
çφn=
⎝
sinnπ
a
⎫
x⎪。
⎭
自旋部分波函数是反对称的：
总波函数
χ00=
1[α
（1）β
（2）-α
（2）β
（1）]。
Φ=ψχ
=1φ1
（1）α
（1）
φ1
（2）α
（2）。
1100
2φ1
（1）β
（1）
φ1
（2）β
（2）
（2）第一激发态：
E12=5π22
2μa2。
空间部分波函数：
ψS=
[φ1
（1）φ2
（2）+φ1
（2）φ2
（1）]，
ψ=1[φ
（1）φ
（2）-φ
（2）φ
（1）]。
A1212
自旋部分波函数：
⎧α
（1）α
（2）
⎪
⎪
χS（1,2）=⎨β
（1）β
（2），
⎪1
⎪[α
（1）β
（2）+α
（2）β
（1）]
χA（1,2）=
⎩⎪2
1[α
（1）β
（2）-α
（2）β
（1）]。
二电子体系的总波函数
⎧
⎪
⎪
⎪ψAχS=
Φ=⎪
⎧α
（1）α
（2）
⎪
1[φ
（1）φ
（2）-φ
（2）φ
（1）]⋅⎪β
（1）β
（2）
⎪
⎨⎪1
[α
（1）β
（2）+α
（2）β
（1）]
⎪⎪⎩2
⎪=1[φ
（1）φ
（2）+φ
（2）φ
（1）]⋅[α
（1）β
（2）-α
（2）β
（1）]
⎩
⎪ψSχA21212
基态不简并，第一激发态是四重简并的。
13.对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为e-λx2，λ为参数。
用变分
法求基态能量。
解：
设基态波函数ψ
=Ce-λx2，归一化，得
⎰Ce-λx2
2
dx=
C2⎰
∞e-2λx2dx=
2⎛π
Cç
1/2
⎪=1
-∞-∞
⎝2λ⎭
取
⎛2λ⎫1/4
=ç⎪
⎝⎭
则有
1/4
ψ=⎛2λ⎫e-λx2
π
ç⎪
⎝⎭
（）2d2122
Hx=-
2μdx2
+μωx
2
+∞⎛2λ⎫
1/2+∞
-λx2⎛
2d21
22⎫
-λx2
E（λ）=⎰ψ
Hψdx=ç⎪e
⎝⎭
ç-2μdx2
+
μωx⎪edx
2
-∞
1/2⎡
2+∞
-∞⎝
⎭
+∞⎤
=⎛2λ⎫
λ⎰e-2λx2（1-2λx2）dx+1μω2⎰e-2λx2⋅x2dx
⎢
π
ç⎪
⎝⎭⎣μ-∞
⎥
2-∞⎦
=λ2+μω2
（1）
2μ8λ
由
∂E（λ）=2
∂λ2μ
μω2
8λ20
得
λ=±μω
2
考虑ψ（x）在x→∞处要求有限的条件，取
λ=μω=1α2
（2）
22
代入式
（1），得谐振子（一维）基态能量
E=1ω
02
（3）
与严格解求得的结果完全一致。
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